第2章 25 251 直线与圆的位置关系.docx
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第2章25251直线与圆的位置关系
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
核心素养
1.掌握直线与圆的三种位置关系:
相交、相切、相离.(重点)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(难点)
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.(难点)
通过研究直线与圆的位置关系,提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.
“大漠孤烟直,长河落日圆”,这是唐代诗人王维的诗句.它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察下面三幅太阳落山的图片.
图片中,地平线与太阳的位置关系怎样?
结合初中知识总结,直线与圆有几种位置关系?
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法:
设圆心到直线的距离d=
d<r
d=r
d>r
代数法:
由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
思考:
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点?
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系,是从不同的方面,不同的思路来判断的.“几何法”更多地侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.
3.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;
第二步:
通过代数运算,解决代数问题;
第三步:
把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断.( )
(2)过圆外一点作圆的切线有两条.( )
(3)当直线与圆相离时,可求圆上点到直线的最大距离和最小距离.( )
(4)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.( )
[提示]
(1)√
(2)√ (3)√ (4)√
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相交B.相切
C.相离D.无法判断
B [圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=
=1.∵d=r,∴直线与圆相切.故选B.]
3.设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=( )
A.1B.
C.
D.2
D [直线y=x过圆x2+y2=1的圆心C(0,0),则|AB|=2.]
4.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________.
x+2y-5=0 [由题意,得kOP=
=2,则该圆在点P处的切线的斜率为-
,所以所求切线方程为y-2=-
(x-1),即x+2y-5=0.]
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
[解] 法一:
将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得,
(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
∵Δ=4m(3m+4),
∴
(1)当Δ>0时,即m>0或m<-
时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
(2)当Δ=0时,即m=0或m=-
时,直线与圆相切,
即直线与圆只有一个公共点;
(3)当Δ<0时,即-
即直线与圆没有公共点. 法二: 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d= = . (1)当d<2时,即m>0或m<- 时,直线与圆相交, 即直线与圆有两个公共点; (2)当d=2时,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; (3)当d>2时,即- 即直线与圆没有公共点. 直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法: 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法: 根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法: 若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. [跟进训练] 1.已知直线l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆C: (x-1)2+(y-2)2=25,则直线l与圆C的位置关系为________. 相交 [由直线方程得(2x+y-7)m+x+y-4=0,令 得 故直线l过定点A(3,1). 由|AC|= = <5得A点在圆内,因此直线l与圆C相交.] 直线与圆相切问题 [探究问题] 1.怎样解决直线与圆相切问题? [提示] 一般采用几何法,即圆心到直线的距离等于半径. 2.当点(x0,y0)在圆外时,过该点的直线与圆相切有几条? 当设点斜式只求出一个解时怎么办? [提示] 有两条.虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况,当只求出一个解时,另一条一定是x=x0. 【例2】 (1)已知直线l: ax+by-3=0与圆M: x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为________. (2)过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程. [思路探究] (1)利用MP⊥l,同时点P在直线l上. (2)先确定点A在圆外,利用d=r求切线方程. (1)x+2y-3=0 [根据题意,圆M: x2+y2+4x-1=0, 即(x+2)2+y2=5,其圆心M(-2,0), 直线l: ax+by-3=0与圆M: x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2), 则P在直线l上且MP与直线l垂直. kMP= =2,则有- =- ,则有b=2a, 又由P在直线l上,则有-a+2b-3=0,可解得a=1,b=2, 则直线l的方程为x+2y-3=0.] (2)[解] 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1, 所以点A在圆外,故切线有两条. ①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k, 则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0. 设圆心为C, 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1, 所以 =1,即|k+4|= , 所以k2+8k+16=k2+1,解得k=- . 所以切线方程为- x-y+ -3=0, 即15x+8y-36=0. ②若直线斜率不存在, 圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1, 这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4. 圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程: 先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为- ,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0. (2)点在圆外时 ①几何法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就得切线方程. ②代数法: 设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程. 提醒: 切线的斜率不存在的情况,不要漏解. [跟进训练] 2.若圆C: x2+y2+2x-4y+3=0,关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆C所作的切线长的最小值为________. 4 [因为圆C: x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即a-b=3.又圆的半径为 , 当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为 = ≥3 ,所以切线长的最小值为 =4.] 直线与圆相交问题 【例3】 (1)求直线l: 3x+y-6=0被圆C: x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|. (2)过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|AB|=8,求直线l的方程. [思路探究] (1)利用交点坐标直接求解. (2)直线l要分斜率存在和不存在两种情况,建立方程,通过解方程得解. [解] (1)联立直线l与圆C的方程,得 解得 所以交点为A(1,3),B(2,0).故直线l: 3x+y-6=0被圆C: x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|= = . (2)将圆的方程配方得(x+1)2+(y-2)2=25, 由圆的性质可得,圆心到直线l的距离d= =3. ①当直线l的斜率不存在时,x=-4满足题意; ②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0. 由点到直线的距离公式,得3= , 解得k=- ,所以直线l的方程为5x+12y+20=0. 综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系 +d2=r2解题. (2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长. (3)利用弦长公式,设直线l: y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2|= . [跟进训练] 3.直线m: x+y-1=0被圆M: x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( ) A.4 B.2 C. D. B [∵x2+y2-2x-4y=0,∴(x-1)2+(y-2)2=5, ∴圆M的圆心坐标为(1,2),半径为 ,又点(1,2)到直线x+y-1=0的距离d= = ,直线m被圆M截得的弦长等于2 =2 .故选B.] 直线与圆位置关系的综合 【例4】 一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? [思路探究] 先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系,把有关的几何元素用坐标和方程表示出来,然后把此实际问题转化为代数问题来解决. [解] 以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示),其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域为圆x2+y2=9及其内部,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为 + =1,即4x+7y-28=0.圆心(0,0)到直线4x+7y-28=0的距离d= = ,而半径r=3, 因为d>r,所以直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影响. 直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)审题: 认真审题,明确题意,从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知; (2)建系: 建立平面直角坐标系,求出相关各点的坐标,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与圆的方程; (3)求解: 利用直线与圆的方程的有关知识求解问题; (4)还原: 将运算结果还原到实际问题中去. [跟进训练] 4.如图所示,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,则水面下降1米后,水面宽度为( ) A.14米B.15米 C. 米D.2 米 D [以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得A(6,-2), 设圆的半径长为r,则C(0,-r), 则圆的方程为x2+(y+r)2=r2. 将点A的坐标代入上述方程,可得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100, 当水面下降1米后,水面所在弦的端点为A′,B′, 可设A′(x0,-3)(x0>0),代入x2+(y+10)2=100,解得x0= , ∴水面宽度|A′B′|=2 米.] 1.直线与圆的位置关系反映在三个方面: 一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 2.与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解,体现了直观想象的数学素养,但注意验证所求直线的斜率不存在的情形,避免漏解. 3.坐标法解决问题的一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系; (2)设出已知点的坐标,求出未知点的坐标及曲线的方程; (3)利用所学公式列出方程(组),通过计算得出代数结论; (4)反演回去,得到几何问题的结论. 1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( ) A.过圆心 B.相切 C.相离D.相交但不过圆心 D [圆心坐标为(1,-1),圆心到直线3x+4y+12=0的距离为d= = <r=3.又点(1,-1)不在直线3x+4y+12=0上,所以直线与圆相交且不过圆心.选D.] 2.过点P(0,1)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交于A,B两点,若|AB|= ,则该直线的斜率为( ) A.±1B.± C.± D.±2 A [由题意设直线l的方程为y=kx+1,因为圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),半径为r=1,又弦长|AB|= ,所以圆心到直线的距离为d= = = ,所以有 = ,解得k=±1.] 3.若直线 x-2y=0与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( ) A. B.5 C. D.25 C [设圆心到直线的距离为d,则d= = .由直线与圆相切可得r= .故选C.] 4.过点A(-1,4)作圆C: (x-2)2+(y-3)2=1的切线l,则切线l的方程为________. y=4或3x+4y-13=0 [设方程为y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0.∴d= =1,∴4k2+3k=0, 解得k=0或k=- .故切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.] 5.已知圆C经过点A(2,0),B(1,- ),且圆心C在直线y=x上. (1)求圆C的方程; (2)过点 的直线l截圆所得弦长为2 ,求直线l的方程. [解] (1)AB的中点坐标 ,AB的斜率为 .可得AB垂直平分线方程为2 x+6y=0,与x―y=0的交点为(0,0),圆心坐标(0,0),半径为2, 所以圆C的方程为x2+y2=4. (2)直线的斜率存在时,设直线的斜率为k,又直线l过 , ∴直线l的方程为y- =k(x-1), 即y=kx+ -k, 则圆心(0,0)到直线的距离d= ,又圆的半径r=2,截得的弦长为2 , 则有 +( )2=4,解得: k=- , 则直线l的方程为y=- x+ . 当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,满足题意. ∴直线l的方程为x=1或y=- x+ .
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