八年级数学特殊三角形测试题答案.docx
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八年级数学特殊三角形测试题答案.docx
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八年级数学特殊三角形测试题答案
特殊三角形测试题
参考答案与试题解析
一、选择题(共14小题)
1.下列能判定三角形是等腰三角形的是( )
A.
有两个角为30°、60°
B.
有两个角为40°、80°
C.
有两个角为50°、80°
D.
有两个角为100°、120°
考点:
等腰三角形的判定;三角形内角和定理。
专题:
计算题。
分析:
根据三角形内角和定理可求得第三个角的度数,再根据有两个角相等的三角形是等腰三角形进行判定.
解答:
解:
A,因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°,所以此选项不正确;
B,因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°,所以此选项不正确;
C,因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°,有两个角相等,所以此选项正确;
D,因为100°+120°>180°,所以此选项不正确;
故选C.
点评:
此题主要考查等腰三角形的判定与三角形内角和定理的综合运用.
2.等腰三角形的顶角的外角为70°,那么一个底角的度数为( )
A.
35°
B.
55°
C.
65°
D.
110°
考点:
等腰三角形的性质;三角形的外角性质。
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分析:
利用等腰三角形的限制,得到两底角相等,结合三角形内角与外角的关系:
三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和,可直接得到结果.
解答:
解:
∵等腰三角形两底角相等,三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和,
∴每一个底角为70°÷2=35°,
∴底角的度数为35°.
故选A.
点评:
此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系;本题比较简单,属于基础题.
3.以下列各数为边长,不能组成直角三角形的是( )
A.
3,4,5
B.
4,5,6
C.
5,12,13
D.
6,8,10
考点:
勾股定理的逆定理。
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分析:
根据勾股定理的逆定理知,当三角形中三边存在:
a2+b2=c2关系时是直角三角形.
解答:
解:
A、能,因为32+42=52;
B、不能,因为不符合勾股定理的逆定理;
C、能,因为52+122=132;
D、能,因为62+82=102.
故选B.
点评:
本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
4.△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=4:
5:
9,则△ABC是( )
A.
直角三角形,且∠A=90°
B.
直角三角形,且∠B=90°
C.
直角三角形,且∠C=90°
D.
锐角三角形
考点:
三角形内角和定理。
分析:
利用三角形的内角和和三角的比即可求得.
解答:
解:
设∠A=4x,∠B=5x,∠C=9x,
则4x+5x+9x=180,
x=10,
所以∠C=90°,
则△ABC是直角三角形,且∠C=90°.
故选C.
点评:
三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.
5.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.
两个锐角对应相等
B.
一条直角边和一个锐角对应相等
C.
两条直角边对应相等
D.
一条直角边和一条斜边对应相等
考点:
直角三角形全等的判定。
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分析:
根据已知及全等三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.
解答:
解:
A、不正确,全等三角形的判定必须有边的参与;
B、正确,符合判定AAS;
C、正确,符合判定SAS;
D、正确,符合判定HL.
故选A.
点评:
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
6.(2006•淮安)若等腰三角形底角为72°,则顶角为( )
A.
108°
B.
72°
C.
54°
D.
36°
考点:
等腰三角形的性质;三角形内角和定理。
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专题:
计算题。
分析:
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质,可以计算其顶角的度数.
解答:
解:
∵等腰三角形底角为72°
∴顶角=180°﹣(72°×2)=36°
故选D.
点评:
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质来计算.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.下列结论中,不一定成立的是( )
A.
∠A与∠1互余
B.
∠B与∠2互余
C.
∠A=∠2
D.
∠1=∠2
考点:
直角三角形的性质。
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分析:
A、B根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断;
C、根据同角的余角来找等量关系;
D、分∠A=∠B和∠A≠∠B两种情况来讨论.
解答:
解:
A、在Rt△ACD中,∠ADC=90°,所以∠A与∠1互余,正确;
B、在Rt△BCD中,∠BDC=90°,所以∠B与∠2互余,正确;
C、∵∠A+∠1=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠A=∠2,正确;
D、当∠A=∠B时,AC=AB,所以CD既是∠C的角平分线,也是斜边上的高与中线,所以∠1=∠2,正确;当∠A≠∠B时,∠1≠∠2,错误;
故选D.
点评:
解答本题时,主要利用了直角三角形中两个锐角互余的性质.
8.下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是( )
A.
三个角的比为1:
2:
3
B.
三条边满足关系a2=b2﹣c2
C.
三条边的比为1:
2:
3
D.
三个角满足关系∠B+∠C=∠A
考点:
勾股定理的逆定理;三角形内角和定理。
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分析:
根据直角三角形的判定方法,对选项进行一一分析,排除错误答案.
解答:
解:
A、三个角的比为1:
2:
3,设最小的角为x,则x+2x+3x=180°,x=30°,3x=90°,故正确;
B、三条边满足关系a2=b2﹣c2,故正确;
C、三条边的比为1:
2:
3,12+22≠32,故错误;
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A,则∠A为90°,故正确.
故选C.
点评:
本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可;若已知角,只要求得一个角为90°即可.
9.等腰△ABC中,AC=AB,两腰中线交于一点O,则AO与BC的关系是( )
A.
相等
B.
互相垂直
C.
AO垂直平分BC
D.
AO、BC互相垂直
考点:
等腰三角形的性质。
分析:
根据题意,画出图形,在△ABC中,AB=AC,E、F是AB、AC的中点,可△BCF≌△CBE,得OB=OC,又可得证△AOB≌△AOC,得AO为三角形ABC的角平分线,即可得出AO垂直平分BC,答案选C.
解答:
解:
根据题意,如下图,CE、BF分别为AB、AC的中线,
在△ABC中,AB=AC,故BE=CF,∠ABC=∠ACB,BC为公共边,
∴△BCE≌△CBF,
∴∠ECO=∠FBC,
又OB=OC,AB=AC,AO为公共边,
∴△AOB≌△AOC,
∠BAO=∠CAO,
即AO为等腰△ABC的角平分线,
即AO垂直平分BC.
故答案选C.
点评:
本题考查了构成三角形全等的条件以及在等腰三角形中底边上的高和中线及角平分线三线合一的知识点.发现并利用△AOB≌△AOC是正确解答本题的关键.
10.在等腰△ABC中,如果AB的长是BC的2倍,且周长为40,那么AB等于( )
A.
20
B.
16
C.
20或16
D.
以上都不对
考点:
等腰三角形的性质;三角形三边关系。
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专题:
分类讨论。
分析:
根据已知分析哪个是底哪个是腰,再根据周长公式列方程求解即可.注意本题不用分类讨论,因为AB的长是BC的2倍,如果AB为底边,则两腰的长的和为AB,不能构成三角形.
解答:
解:
由题意知,在等腰△ABC中,只能BC是底边,则有AC=AB=2BC,
∵AB+AC+BC=40
∴5BC=400
∴BC=8
∴AB=16.
故选B.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质,两腰相等;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
二.填空题(共4小题)
11.(2002•福州)等腰三角形的两边长分别为2和7,则它的周长是
考点:
等腰三角形的性质;三角形三边关系。
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专题:
分类讨论。
分析:
在三角形中,两边之和大于第三边.所以,据此很容易找到等腰三角形的腰与底边.
解答:
解:
(1)假设等腰三角形的腰是2,则2+2=4,4<7,也就是说两边之和小于第三边,所以假设不成立;
(2)假设等腰三角形的腰是7,则7+7=14,14>7,也就是说两边之和大于第三边;7﹣7=0,则0<2,即两边之差小于第三边,所以假设成立,所以等腰三角形的周长是7+7+2=16,即等腰三角形的周长是16.
综上,等腰三角形的周长为16
点评:
解答本题的难点是分清等腰三角形的腰的长度与底边的长度,如何来区分呢?
根据三角形中的三边关系,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是
考点:
等腰三角形的性质;三角形内角和定理。
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专题:
分类讨论。
分析:
本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况.
解答:
解:
此题要分情况讨论:
当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;
当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,
故顶角是90°﹣20°=70°.
综上,三角形的顶角度数为110°或70°.
点评:
注意此类题的两种情况.其中考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于
和它不相邻的两个内角的和.
13.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分,则它的底边长是 .
考点:
等腰三角形的性质。
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分析:
等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分,但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长,哪个是6,哪个是9,因此,有两种情况,需要分类讨论.
解答:
解:
根据题意画出图形,如图,
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x,BC=y,
∵BD是腰上的中线,
∴AD=DC=x,
若AB+AD的长为6,则2x+x=6,
解得x=2,
则x+y=9,即2+y=9,
解得y=7;
若AB+AD的长为9,则2x+x=9,
解得x=3,
则x+y=6,即3+y=6,
解得y=3;
所以等腰三角形的底边可能为3,也可能为7.
故填7或3.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质;在解决与等腰三角形有关的问题,由于等腰所具有的特殊性质,很多题目在已知不明确的情况下,要进行分类讨论,才能正确解题,因此,解决和等腰三角形有关的边角问题时,要仔细认真,避免出错.
14.已知直角三角形的两直角边长为3cm和4cm,则斜边上的中线长是 cm,斜边上的高为 cm.
考点:
勾股定理;直角三角形斜边上的中线。
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分析:
根据勾股定理先求出斜边,依据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出中线长.再根据面积相等求出斜边上的高.
解答:
解:
根据勾股定理,斜边长为
=5cm,由于斜边上的中线长等于斜边的一半,故斜边上的中线长是
cm,根据面积相等,设斜边上的高为xcm,列方程得:
•3•4=
•5•x,解得x=
cm.
故答案为
,
.
点评:
利用面积相等来解题,是解决直角三角形问题的常用的方法,可有效简化计算.
15.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠BCA的平分线AD、CD交于点D,若∠B=70°,则∠ADC= 度.
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
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分析:
根据三角形内角和以及∠B的度数,先求出(∠BAC+∠BCA),然后根据角平分线的性质求出(∠DAC+∠ACD),从而再次利用三角形内角和求出∠ADC.
解答:
解:
∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线,
∴∠ADC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)
=180°﹣
(∠BAC+∠BCA)
=180°﹣
(180°﹣∠B)
=90°+
∠B=125°.
故填125°.
点评:
主要考查了三角形的内角和是180°.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.
16.如图,要为一段高为5米,长为13米的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要 米长.
考点:
勾股定理的应用。
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专题:
应用题。
分析:
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高,因此利用勾股定理求出水平距离即可.
解答:
解:
根据勾股定理,楼梯水平长度为
=12米,则红地毯至少要12+5=17米长.
点评:
本题是一道实际问题,结合勾股定理解答.
三.解答题(共5小题)
17.如图,△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=13,AC=5,则△ACD的周长为
考点:
线段垂直平分线的性质。
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分析:
根据线段垂直平分线定理,△ACD的周长=AC+BC.
解答:
解:
在Rt△ABC中,AB=13,AC=5
由勾股定理得BC=12.
∵DE垂直且平分AB
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
∴BD+CD=AD+CD=12.
∴AC+CD+AD=17.
即△ACD的周长为17
点评:
本题考查的是线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点,和线段两端点的距离相等),难度一般.
18.如图,已知在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,∠C=70°,请将这个三角形分成两个等腰三角形.(要求标出每个等腰三角形的内角度数)
考点:
等腰三角形的性质。
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专题:
作图题。
分析:
要得到两个等腰三角形,可过点A作直线AD=AC,又有角的关系可知两个均为等腰三角形.
解答:
解:
如图所示
∠BAD=∠B=35°,∠DCA=∠ADC=70°,
∠DAC=40°,∠BDA=110°.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质;要保留作图痕迹,按题目的要求标出内角的度数.
19.如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,DE∥AB,交AC于点E,判断△ADE是不是等腰三角形,并说明理由.
考点:
等腰三角形的判定;平行线的性质。
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分析:
利用等腰三角形的三线合一的性质:
底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合.得到∠BAD=∠CAD,两直线平行,内错角相等,则∠BAD=∠ADE,即∠CAD=∠ADE,即可证得△ADE是等腰三角形.
解答:
解:
△ADE是等腰三角形.
理由如下:
∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一),
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE(两直线平行,内错角相等),
∴∠CAD=∠ADE,
∴AE=DE(等角对等比),
∴△ADE是等腰三角形.
点评:
本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质;进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
20.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等.试说明AE=DF的理由.
考点:
全等三角形的判定与性质.
分析:
可通过构建全等三角形来证明,连接CD,那么CD就是直角三角形斜边上的中线,那么DC=AD,∠DAC=∠DCA,在三角形AED和DFC中,已知的条件有AD=CD,ED=FC,只要再证得两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论,由于ED、CF平行,那么∠EDA=∠DAF=∠DCA,这样就构成了两三角形全等的条件(SAS)就能得出AE=DF的结论了.
解答:
解:
连接CD,
∵∠ACB=90°,D是AB边的中点
∴CD=AD,∠DAC=∠DCF
∵DE与CF平行且相等
∴∠EDA=∠DAC
∴∠EDA=∠DCF
在△AED和△CFD中
AD=CD,
∠EDA=∠DCF,
DE=CF
∴△AED≌△CFD(SAS)
∴AE=DF.
点评:
此题考查简单的线段相等,可以通过构建全等三角形来证明.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
21.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:
BD=2CE.
考点:
等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。
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专题:
证明题。
分析:
根据已知条件,易证△BFE≌△BCE,所以BF=BC,所以∠F=∠BCE,根据等腰三角形三线合一这一性质,CE=FE,再证明△ABD≌△ACF,证得BD=CF,从而证得BD=2CE.
解答:
证明:
∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
在△BFE和△BCE中
,
∴△BFE≌△BCE(ASA),
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠FAC=∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠F=∠ADB=67.5°,
又AB=AC,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF(AAS),
∴BD=CF,
∴BD=2CE.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质.
22.如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点,EC⊥BC,EC=BD,DF=FE.求证:
(1)△ABD≌△ACE;
(2)AF⊥DE.
考点:
全等三角形的判定与性质。
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专题:
证明题。
分析:
(1)要证△ABD≌△ACE,现具备的条件是两边相等,缺夹角或第三边相等,由已知知道证夹角相等是比较容易的.而第三边AD=AE与已知相差很远,不易求出.
(2)利用
(1)的结论△ABD≌△ACE得出AD=AE,在等腰三角形ADE中,又因为已知DF=EF,所以可利用等腰三角形的三线合一的性质得出结论AF⊥DE.
解答:
证明:
(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠BCA=45°.
又EC⊥BC,
∴∠ACE=90°﹣45°=45°.
∴∠B=∠ACE.
在△ABD与△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)由
(1)知△ABD≌△ACE,
∴AD=AE.
等腰△ADE中,DF=EF,
∴AF⊥DE(等腰三角形三线合一).
点评:
本题考查了全等三角形的判定和性质;三角形全等的问题要找准三角形中现有的条件然后找需要的条件,根据所给出的已知条件结合图形得出所需条件.等腰三角形中三线合一是非常重要的.注意应用.
如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)在图①中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
(3)运用①②解答中所积累的经验和知识,完成下题.如图②在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD)∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE长.
②
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;直角梯形.
分析:
(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.
(2)借助
(1)的全等得出∠BCE=∠DCF,∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°,即∠GCF=∠GCE,又因为CE=CF,CG=CG,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
再设DE=x,利用
(1)、
(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.
解答:
(1)证明:
在正方形ABCD中,BC=CD,∠B=∠CDF=90°
在△CBE和△CDF中
BC=CD
∠B=∠CDF=90°
BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS),
∴CE=CF;
(2)解:
GE=BE+GD,
理由:
∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF,
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°,
在△ECG和△FCG中
CE=CF,
∠GCF=∠GCE,
GC=GC,
∴△ECG≌△FCG(SAS),
∴EG=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD;
(3)解:
过C作CG⊥AD于G,
在直角梯形ABCD中
AD∥BC,∠A=∠B=90°
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形,
∴AG=BC=12,
∵∠DCE=45°,由①②可得ED=BE+DG,
设DE=x,则DG=x-4,
∴AD=16-x
在Rt△AED中,∵DE2=AD2+AE2,∴x2=(16-x)2+82
∴x=10,
即DE=10.
点评:
本题是一道几何综合题,内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.本题的设计由浅入深,循序渐进,考虑到学生的个体差异.从阅卷的情况看,本题的得分在4-8分的学生居多.前两个小题学生做得较好,第三小题,因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题,数学学习能力不强,造成本小题得分率较低.
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