高中数学函数知识点总结大全.docx
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高中数学函数知识点总结大全
函数知识点大全一次函数一、定义与定义式:
有如下关系:
y和因变量x自变量y=kx+b的一次函数。
x是y则此时称的正比例函数。
x是y时,b=0特别地,当为常数,k≠0)k(y=kx即:
二、一次函数的性质:
k的变化值成正比例,比值为x的变化值与对应的1.yy=kx+b即:
取任何实数)b为任意不为零的实数k(轴上的截距。
y为函数在b时,x=0当2.三、一次函数的图像及性质:
个步骤3.作法与图形:
通过如下1)列表;1()描点;2()连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道3(2轴的交点)y轴和x点,并连成直线即可。
(通常找函数图像与),都满足等式:
y,x(P)在一次函数上的任意一点1.性质:
(2)2。
(y=kx+b)正比例函数的图像总0,-b/k轴总是交于(x,与b),0轴交点的坐标总是(y一次函数与是过原点。
与函数图像所在象限:
b,k.3y时,直线必通过一、三象限,0>k当的增大而增大;x随的增大而减小。
x随y时,直线必通过二、四象限,0<k当当时,直线必通过一、二象限;0>b时,直线通过原点b=0当时,直线必通过三、四象限。
0<b当)表示的是正比例函数的图像。
0,0(O时,直线通过原点b=O特别地,当0>k这时,当时,直线只通过二、四象限。
0<k时,直线只通过一、三象限;当四、确定一次函数的表达式:
);y1,x1(A已知点的一次函数的表达式。
B、A),请确定过点y2,x2(B。
y=kx+b)设一次函数的表达式(也叫解析式)为1(。
所以可以列y=kx+b),都满足等式y,x(P)因为在一次函数上的任意一点2(个方程:
y1=kx1+b„„①2出y2=kx2+b„„②和的值。
b,k)解这个二元一次方程,得到3()最后得到一次函数的表达式。
4(五、一次函数在生活中的应用:
。
s=vt的一次函数。
v是速度s一定,距离t当时间1.f当水池抽水速度2.设水池中原有的一次函数。
t是抽水时间g水池中水量一定,。
g=S-ft。
S水量六、常用公式:
(不全,希望有人补充)1.y1-y2)/(x1-x2)值:
(k求函数图像的|x1-x2|/2轴平行线段的中点:
x求与2.|y1-y2|/2轴平行线段的中点:
y求与3.-x2)^2+(y1-y2)^2求任意线段的长:
√(x14.y1-y2)与(x1-x2)(注:
根号下(的平方和)二次函数定义与定义表达式I.y和因变量x一般地,自变量之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c时,a<0时,开口方向向上,a>0决定函数的开口方向,a为常数,a≠0,且c,b,a(开口方向向下).越小开口就越大,IaI越大开口就越小,IaI还可以决定开口大小,IaI的二次函数。
x为y则称二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式II.为常数,a≠0)c,b,a(y=ax^2+bx+c一般式:
P抛物线的顶点y=a(x-h)^2+k[顶点式:
])k,h((A轴有交点x仅限于与)[₂)(x-x₁y=a(x-x交点式:
)的0,₂x(B)和0,₁x]抛物线3注:
在:
种形式的互相转化中,有如下关系-4ac)/2ab±√b^2=(-₂,x₁h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax二次函数的图像III.的图像,y=x^2在平面直角坐标系中作出二次函数可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质IV.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线1.。
x=-b/2a。
P对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点时,抛物线的对称轴是b=0特别地,当)x=0轴(即直线y,坐标为P抛物线有一个顶点2.(4ac-b^2)/4a),P(-b/2aP时,-b/2a=0当轴上。
x在P时,=b^2-4ac=0Δ轴上;当y在决定抛物线的开口方向和大小。
a二次项系数3.当时,抛物线向下开口。
0<a时,抛物线向上开口;当0>a越大,则抛物线的开口越小。
|a|a和二次项系数b一次项系数4.共同决定对称轴的位置。
轴左;y),对称轴在0>ab同号时(即b与a当与a当轴右。
y),对称轴在0<ab异号时(即b
轴交点。
y决定抛物线与c常数项5.)c,0轴交于(y抛物线与轴交点个数x抛物线与6.个交点。
2轴有x时,抛物线与0>=b^2-4acΔ时,抛物线与=b^2-4ac=0Δ个交点。
1轴有x-x=的取值是虚数(X轴没有交点。
x时,抛物线与0<b^2-4ac=Δ的4acb±√b^2-)2a,整个式子除以i值的相反数,乘上虚数二次函数与一元二次方程V.,y=ax^2+bx+c特别地,二次函数(以下称函数)y=0当的一元二次方程(以下称方程),x时,二次函数为关于ax^2+bx+c=0即轴有无交点即方程有无实数根。
x此时,函数图像与轴交点的横坐标即为方程的根。
x函数与y=ax^2.二次函数1各式中,a≠0)的图象形y=ax^2+bx+c(,+ky=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2,状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
轴称对顶点坐标解析式x=00),(0y=ax^2x=h0),(hy=a(x-h)^2x=hk),(hy=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+cx=-b/2a,(-b/2a[4ac-b^2]/4a)个单位得到,h向右平行移动y=ax^2的图象可由抛物线y=a(x-h)^2时,h>0当当个单位得到.|h|时,则向左平行移动h<0个单位,就可以k个单位,再向上移动h向右平行移动y=ax^2时,将抛物线h>0,k>0当的图象;y=a(x-h)^2+k得到个单位可得到|k|个单位,再向下移动h向右平行移动y=ax^2时,将抛物线h>0,k<0当的图象;y=a(x-h)^2+k时,将抛物线向左平行移动h<0,k>0当个单位可得到k个单位,再向上移动|h|的图象;y=a(x-h)^2+k个单位可得到|k|个单位,再向下移动|h|时,将抛物线向左平行移动h<0,k<0当的图象;y=a(x-h)^2+ky=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为因此,研究抛物线这给画图象提供了方的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.便.时开口向下,对称a<0时,开口向上,当a>0y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:
当.抛物线2x=-b/2a轴是直线.[4ac-b^2]/4a),(-b/2a,顶点坐标是x随y时,-b/2a≤x,当a>0y=ax^2+bx+c(a≠0),若.抛物线3≥x的增大而减小;当的增大而增大;当x随y时,-b/2ax≤,当a<0的增大而增大.若x随y时,-b/2ax≥的增大而减小.x随y时,-b/2a的图象与坐标轴的交点:
y=ax^2+bx+c.抛物线4(0轴一定相交,交点坐标为y图象与
(1);c),
是一元二x1,x2,其中的0),₂B(x和0),₁A(x轴交于两点x,图象与=b^2-4ac>0当△
(2)ax^2+bx+c=0次方程₁-x₂AB=|x(a≠0)的两根.这两点间的距离|轴只有一个交点;x.图象与=0当△为任何实数时,都有x轴的上方,x时,图象落在a>0轴没有交点.当x.图象与<0当△为任何实数时,都有x轴的下方,x时,图象落在a<0;当y>0.y<0值)大(最小y时,x=-b/2a,则当a>0(a<0)的最值:
如果y=ax^2+bx+c.抛物线5.=(4ac-b^2)/4a顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值..用待定系数法求二次函数的解析式6当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知
(1)可设解析式为一的三对对应值时,y、x般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:
(2)h)^2+k(a≠0).y=a(x-y=a(x-x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
x当题给条件为已知图象与(3))(a≠0).₂)(x-x₁.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二7次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.反比例函数k≠0)的函数,叫做反比例函数。
为常数且x(k/k=y形如的一切实数。
0的取值范围是不等于x自变量反比例函数图像性质:
反比例函数的图像为双曲线。
图像关于原点对称。
f(-x)=-f(x),由于反比例函数属于奇函数,有从反比例函数的解析式可以得出,另外,向两个坐标轴作在反比例函数的图像上任取一点,∣。
k垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣)时的函数图像。
-2和2分别为正和负(k如图,上面给出了时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数0>K当时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数0<K当反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
知识点:
这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,1.。
|k|面积为)为常数m/(x±m)k=y即(若在分母上加减任意一个实数,x/k=y对于双曲线2.就,减一个数时向右平移)(加一个数时向左平移,相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
对数函数的规a的反函数。
因此指数函数里对于,它实际上就是指数函数对数函数的一般形式为定,同样适用于对数函数。
所表示的函数图形:
a右图给出对于不同大小
因为它们互的对称图形,y=x可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线为反函数。
的实数集合。
0)对数函数的定义域为大于1()对数函数的值域为全部实数集合。
2()这点。
0,1)函数总是通过(3(大于a)4(时,函数为单调递减函数,0大于1小于a时,为单调递增函数,并且上凸;1并且下凹。
)显然对数函数无界。
5(指数函数能够取整x,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得指数函数的一般形式为个实数集合为定义域,则只有使得的不同大小影响函数图形的情况。
a如图所示为可以看到:
1(的情0不大于a,对于0大于a指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是)况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
的实数集合。
0指数函数的值域为大于)2(函数图形都是下凹的。
)3(大于a)4(,则为单调递减的。
0大于1小于a,则指数函数单调递增;1,)0(当然不能等于趋向于无穷大的过程中0从a就是当可以看到一个显然的规律,)5(Y轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于X轴与Y函数的曲线从分别接近于轴的负半轴的单调递增函数的位置。
X轴的正半轴与是从递减到递增的一y=1其中水平直线个过渡位置。
永不相交。
轴X函数总是在某一个方向上无限趋向于)6()这点。
1,0函数总是通过()7(显然指数函数无界。
)8(奇偶性)为偶函数2)为奇函数(1注图:
(.定义1f(x)一般地,对于函数就叫做奇f(x),那么函数f(x)-f(-x)=,都有x)如果对于函数定义域内的任意一个1(函数。
)如果对于函数定义域内的任意一个2(就叫做偶函f(x),那么函数f(-x)=f(x),都有x数。
那么函同时成立,f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x),x如果对于函数定义域内的任意一个)3(既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
f(x)数f(-x)=-f(x),x如果对于函数定义域内的任意一个)4(那么都不能成立,f(-x)=f(x)与既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
f(x)函数说明:
①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言则这如果一个函数的定义域不关于原点对称,偶函数的定义域一定关于原点对称,②奇、个函数一定不是奇(或偶)函数。
然后再严格按照奇、首先是检验其定义域是否关于原点对称,判断函数的奇偶性,(分析:
比较得出结论)f(x)偶性的定义经过化简、整理、再与
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义.奇偶函数图像的特征:
2轴或轴对称图形。
y奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于定理的图像关于原点对称f(x)为奇函数《==》f(x))-x,-y)→(x,y点(奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
偶函数奇偶函数运算3..两个偶函数相加所得的和为偶函数
(1).两个奇函数相加所得的和为奇函数
(2)...一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数(3)..两个偶函数相乘所得的积为偶函数(4)..两个奇函数相乘所得的积为偶函数(5)..一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数(6).定义域A使对于集合f,是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系A,B(高中函数定义)设为集合f:
A--B和它对应,那么就称f(x)中都有唯一确定的数B,在集合x中的任意一个数A的取值范围x叫作自变量,x。
其中,A属于集合y=f(x),x的一个函数,记作B到集合A叫作函数的定义域;值域名称定义在数学中是函数在定义域中应,函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域变量所有值的集合常用的求值域的方法)图象法(数形结合),2)化归法;(1()函数单调性法,3()复合函数8)判别式法,(7)反函数法(逆求法),(6)换元法,(5)配方法,(4()基本不等式法等10)三角代换法,(9法,(关于函数值域误区实行“定义域优先”平时数学中,值域是函数构造的三个基本“元件”。
对应法则、定义域、在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化然而事物均具有二重性,的原则,无可置疑。
使学生对函数的掌握时好时坏,事造成了一手“硬”一手“软”,了,对值域问题的探究,何况它们二者随时处于互相转绝不能厚此薄皮,定义域与值域二者的位置是相当的,实上,如果函数的值域是无限集的。
(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)化之中那么求函数值域不总是容易的,话,还必须联系函反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案,从这个如果加强了对值域求法的研究实践证明,求值域的问题有时比求定义域问题难,角度来讲,和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,(即集合中每一个元素都是这个“值域”是所有函数值的集合实际上这是两个不同的概念。
(即集合中的元素不一而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合,函数的取值)而“范围”却不一定是“值域”。
也就是说:
“值域”是一个“范围”,。
定都满足这个条件)
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