第一章导数及其应用(复习课).ppt
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第一章导数及其应用(复习课).ppt
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导数及其应用,知识结构,、导数的概念,、几种常见函数的导数公式,、求导法则,、复合函数求导,、导数的几何意义,、导数的应用,1判断函数的单调性2求函数的极值3求函数的最值,例2:
用公式法求下列导数:
(1)y=(3)y=ln(x+sinx)
(2)y=(4)y=,解
(1)y=
(2)(3)(4),例3、已知f(x)=2x2+3xf
(1),f(0)=解:
由已知得:
f(x)=4x+3f
(1),f
(1)=4+3f
(1),f
(1)=-2f(0)=40+3f
(1)=3(-2)=-6,例1已经曲线C:
y=x3x+2和点A(1,2)。
求在点A处的切线方程?
解:
f/(x)=3x21,k=f/
(1)=2所求的切线方程为:
y2=2(x1),即y=2x,变式1:
求过点A的切线方程?
例1已经曲线C:
y=x3x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程?
解:
变1:
设切点为P(x0,x03x0+2),,切线方程为y(x03x0+2)=(3x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2(x03x0+2)=(3x021)(1x0)化简得(x01)2(2x0+1)=0,,当x0=1时,所求的切线方程为:
y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k=f/(x0)=3x021,,当x0=时,所求的切线方程为:
y2=(x1),即x+4y9=0,1)如果恒有f(x)0,那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递增;,2)如果恒有f(x)0,那么y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。
一般地,函数yf(x)在某个区间(a,b)内,定理,f(x)0,f(x)0,如果在某个区间内恒有,则为常数.,返回,(A),(B),(C),(D),C,(04浙江理工类),高,考,试,练习:
尝,设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是(),题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:
解:
(1)因为,所以,因此,函数在上单调递增.,
(2)因为,所以,当,即时,函数单调递增;,当,即时,函数单调递减.,解:
(3)因为,所以,因此,函数在上单调递减.,(4)因为,所以,当,即时,函数单调递增;,当,即时,函数单调递减.,题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:
题型三分类讨论单调性,1.讨论二次函数的单调区间.,解:
由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是,由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是,总结:
当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
纳,1什么情况下,用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便?
2试总结用“导数法”求单调区间的步骤?
归,总结:
1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域2单调区间不能用“”联系,而只能用“,”隔开,注意,2)如果a是f(x)=0的一个根,并且在a的左侧附近f(x)0,那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,1)如果b是f(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f(x)0,在b右侧附近f(x)0,那么f(b)是函数f(x)的一个极大值,注:
导数等于零的点不一定是极值点,2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,函数的最大(小)值与导数,返回,例4(2001文)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间。
分析:
f(x)在x=1处有极小值-1,意味着f
(1)=-1且f
(1)=0,故取点可求a、b的值,然后根据求函数单调区间的方法,求出单调区间。
略解:
单增区间为(-,-1/3)和(1,+)单间区间为(-1/3,1),练习巩固:
设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4
(1)、求a、b、c的值
(2)、求函数的单调区间,答案
(1)a=-3,b=0,c=0
(2)单增区间为(-,0)和(2,+),解:
由已知,函数f(x)过原点(0,0),f(0)=c=0f(x)=3x2+2ax+b且函数f(x)与y=0在原点相切,f(0)=b=0即f(x)=x3+ax2由f(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a,由已知,即,解得a=-3,例2:
求参数,解:
由已知得,因为函数在(0,1上单调递增,增例2:
本题用到一个重要的转化:
小结:
利用导数的几何意义求切线的斜率;求函数的单调区间,只要解不等式f(x)0或f(x)0即可;求函数f(x)的极值,首先求f(x),在求f(x)=0的根,然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定;函数f(x)在a,b内的最值求法:
求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的为最小值。
导数的应用主要表现在:
定积分及其应用,1、求曲边梯形的思想方法是什么?
2、定积分的几何意义、物理是什么?
3、微积分基本定理是什么?
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,
(2)取近似求和:
任取xixi-1,xi,第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。
(3)取极限:
,所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值:
xi,xi+1,xi,
(1)分割:
在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:
每个小区间宽度x,定积分的定义,如果当n时,S的无限接近某个常数,,这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割-近似代替-求和-取极限得到解决.,定积分的定义:
定积分的相关名称:
叫做积分号,f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,a,b叫做积分区间。
积分下限,积分上限,按定积分的定义,有
(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,
(2)设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,定积分的定义:
例1、求曲线与直线x轴所围成的图形面积。
略解:
根据定积分的几何意义所求面积为,
(一)利用定积分求平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,平面图形的面积,特别注意图形面积与定积分不一定相等,1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
略解:
设切点坐标为,则切线方程为,切线与x轴的交点坐标为,则由题可知有,所以切点坐标与切线方程分别为,
(1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形;
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分的上、下限;(3)确定被积函数;(4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。
小结:
求平面图形面积的方法与步骤:
几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
当时,则所求图形的面积为,
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