②除以小于1的数,商大于被除数:
a÷b=c 当b<1时,c>a (a≠0 b≠0)
③除以等于1的数,商等于被除数:
a÷b=c 当b=1时,c=a
四、分数除法混合运算
1、混合运算用递等式计算,等号写在第一个数字的左下角。
2、运算顺序:
①连除:
属同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数,等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。
加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。
②混合运算:
没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算括号外面。
注:
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
五、比
(一)比的意义
1、比的意义:
两个数相除也叫两个数的比
2、比的符号和读、写法
(1)比的符号:
比用符号“∶”表示,叫做比号。
(2)比的写法:
把“比”字用比号代替。
3、比的读法:
两种形式的比都读作几比几。
如15比10读作15比10。
4、比的各部分名称:
比式中,比号(∶)前面的数叫比的前项,比号后面的数叫做比的后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
注:
连比如“3:
4:
5”读作:
3比4比5
5、求比值的方法
求两个数的比值,就是用比的前项除以后项。
注:
区分比和比值:
比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。
比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。
6、比和除法、分数的区别:
(1)意义不同:
比表示两个量(或数)的一种关系;除法是一种运算;分数则是一个数。
(2)表示方法不同:
作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;但分数不一定表示两个量的比。
(3)结果表达不同:
除法一般要求出商;比只有求比值时才通过计算求出商;而分数本身就是一个数值,无需计算。
(二)比的基本性质
1、比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、化简比意义
把两个数的比化成最简单的整数比,叫做化简比,也叫做比的化简。
3、化简比的方法:
整数比的化简方法:
把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
分数比的化简方法:
(1)比的前项和后项中含有分数的,把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数,变成整数比,再进行化简。
(2)利用求比值的方法也可以化简分数比,但结果必须写成比的形式。
小数比的化简方法:
先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数,变成整数比,再进行化简。
4、化简比和求比值的区别
(1)意义不同:
求比值是比的前项除以后项所得的商,化简比是把两个数的比化成最简单的整数比。
(2)运算方法不同:
求比值是前项除以后项,化简比是根据比的基本性质运算。
(3)结果的含义不同:
求比值的结果是一个数,化简比的结果是一个比。
(三)分数除法和比的应用
1、已知单位“1”的量用乘法。
例:
甲是乙的
,乙是15,求甲是多少?
即:
甲=乙×
(15×
=9)
2、未知单位“1”的量用除法。
例:
甲是乙的
,甲是15,求乙是多少?
即:
甲=乙×
(15÷
=25)(建议列方程解答)
3、分数应用题基本数量关系
(1)甲是乙的几分之几?
甲=乙×几分之几(例:
甲是15的
,求甲是多少?
15×
=9)
乙=甲÷几分之几(例:
9是乙的
,求乙是多少?
9÷
=15)
甲是乙的几分之几=甲÷乙(例:
9是15的几分之几?
9÷15=
)(“是”字相当“÷”号,乙是单位“1”)
(2)甲比乙多(少)几分之几?
A、差÷乙=
(“比”字后面的量是单位“1”的量)
(例:
9比15少几分之几?
(15-9)÷15=
=
=
)
B、多几分之几是:
–1
(例:
15比9多几分之几?
15÷9-1=
-1=
–1=
)
C、少几分之几是:
1–
(例:
9比15少几分之几?
1-9÷15=1–
=1–
=
)
4、按比例分配:
把一个量按一定的比进行分配的方法叫做按比例分配。
例如:
已知甲乙的和是56,甲、乙的比3∶5,求甲、乙分别是多少?
方法一:
56÷(3+5)=7甲:
3×7=21乙:
5×7=35
方法二:
甲:
56×
=21乙:
56×
=35
例如:
已知甲是21,甲、乙的比3∶5,求乙是多少?
方法一:
21÷3=7乙:
5×7=35
方法二:
甲乙的和21÷
=56乙:
56×
=35
方法二:
甲÷乙=
乙=甲÷
=21÷
=35
第四单元 圆
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征:
由曲线围成封闭图形,无顶点,外形美观,易滚动。
3、圆心o:
圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.圆多次对折之后,这些折痕相交于圆中心的一点,即圆心。
圆心确定圆的位置。
半径r:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。
半径确定圆的大小。
直径d:
通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
在同一个圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。
直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍:
d=2r或 r=d÷2
4、圆是轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴,半圆只有一条对称轴。
5、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。
(2)画圆步骤:
定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率:
圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母π表示。
即:
圆周率π=周长÷直径≈3.14,所以圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)
圆周长公式:
c=πd,c=2πr
注:
圆周率π是一个无限不循环小数,3.14是近似值。
3、周长的变化的规律:
半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径=2πr÷2+d=πr+d
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份数越多拼成的图像越接近长方形。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长×宽
所以:
圆的面积=长方形的面积=长×宽=圆的周长的一半(πr)×圆的半径(r)
S圆=πr×r=πr2
2、圆面积的变化的规律:
半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
环形面积=大圆面积–小圆面积=πr大2-πr小2=π(r大2-r小2)
注:
一个圆的半径增加a厘米,周长就增加2πa厘米;一个圆的直径增加b厘米,周长就增加πb厘米。
第五单元百分数
一、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
注:
百分数指的是两个数的比,因此百分数也叫做百分率或百分比。
1、百分数和分数的区别
(1)意义不同。
百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。
”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。
因此,百分数后面不能带单位名称。
分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数”。
分数还可以表示两数之间的倍数关系。
(2)应用范围不同。
百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。
而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
(3)书写形式不同。
百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。
因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:
真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。
任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.
(4)百分数不能带单位名称;当分数表示具体数时可带单位名称
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:
小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:
小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:
先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:
分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
二、用百分数解决问题
1、求常见的百分率如:
达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等,求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几 (甲-乙)÷乙甲÷乙-1
求乙比甲少百分之几 (甲-乙)÷甲1-乙÷甲
3、求一个数的百分之几是多少
一个数(单位“1”)×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数
部分量÷百分率=单位“1”的量
5、折扣、打折的意义:
几折就是十分之几也就是百分之几十
“八折”的含义是:
现价是原价的80%。
“八五折”的含义是:
现价是原价的85%。
公式:
现价=原价×折数(通常写成百分数形式)
6、纳税:
缴纳的税款叫做应纳税额。
(应纳税额)÷(总收入)=(税率)
(应纳税额)=(总收入)×(税率)
7、利率
(1)存入银行的钱叫做本金。
(2)取款时银行多支付的钱叫做利息。
(3)利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%
注:
国债和教育储蓄的利息不纳税
第六单元统计
1、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数量占总数的百分比,因此也叫百分比图。
2、常用统计图的优点:
(1)条形统计图能清楚的看出每个数量的多少。
(2)折线统计图不仅能看出各个数量的多少,还可以反应出数量的增减变化的情况。
(3)扇形统计图可以清楚的反应各部分数量和总量的关系。
第七单元数学广角
(一)鸡兔同笼假设法:
解法1:
鸡的只数=(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)
兔的只数=总只数-鸡的只数
解法2:
兔的只数=(总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)
鸡的只数=总只数-兔的只数
(二)方程法:
假设兔有X只,则鸡的只数是(总只数-X)只,然后找出数量关系式列示即可。
我国明朝珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算题:
一百馒头一百僧,
大僧三个更无争,
小僧三人分一个,
大小和尚各几丁?
如果译成白话文,其意思是:
有100个和尚分100个馒头,正好分完。
如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问:
大、小和尚各有几人?
方法一:
用方程解
解:
设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意列得方程:
3x+ (100-x)=100
x=25
100-25=75人
方法二:
鸡兔同笼法
(1)假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个?
3×100=300(个)
(2)这样多吃了几个呢?
300-100=200(个)
(3)为什么多吃了200个呢?
这是因为把小和尚当成大和尚,那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头?
3-
=
(个)
(4)每个小和尚多算了
个馒头,一共多算了200个,所以小和尚有:
小和尚:
200÷
=75(人)
大和尚:
100-75=25(人)
方法三:
分组法
由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头。
我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个馒头,那么100个和尚总共分为100÷(3+1)=25组,因为每组有1个大和尚,所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚,所以有25×3=75个小和尚。
这是《直指算法统宗》里的解法,原话是:
“置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个。
”所谓“实”便是“被除数”,“法”便是“除数”。
列式就是:
100÷(3+1)=25(组)
大和尚:
25×1=25(人)
小和尚:
100-25=75(人)或25×3=75(人)
三、整数、分数、百分数应用题结构类型
(一)求甲是乙的几倍(或几分之几或百分之几)的应用题。
解法:
甲数除以乙数
例:
校园里有杨树40棵,柳树有50棵,杨树的棵树占柳树的百分之几?
(或几分之几?
)
(二)求甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少的应用题。
解答分数应用题,首先要确定单位“1”,在单位“1”确定以后,一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应,这种关系叫“量率对应”,这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍(几分之几或百分之几)是多少用乘法,单位“1”×分率=对应数量
例:
六年级有学生180人,五年级的学生人数是六年级人数的56。
五年级有学生多少人?
180×56=150
(三)已知甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少,求甲数(即求标准量或单位“1”)的应用题。
解法:
对应数量÷对应分率=单位“1”
例:
育红小学六年级男生有120人,占参加兴趣活动小组人数的35.六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人?
120÷35=200(人)