中考《圆》有关的证明和计算.docx
- 文档编号:11611398
- 上传时间:2023-06-01
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:567.40KB
中考《圆》有关的证明和计算.docx
《中考《圆》有关的证明和计算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考《圆》有关的证明和计算.docx(26页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中考《圆》有关的证明和计算
(对)辅导专题讲解
备课时间:
授课时间:
年级:
初三
学生姓名:
授课老师:
课题:
圆的证明与计算
教学目标
对所学过的与几何有关的性质、定理要熟记,并通过多做题达到熟能生巧
重点
会进行圆的有关计算与证明
难点
对一些解题方法的理解与运用
教学内容
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:
主要是用来证明四点共圆•
(2)垂径定理:
主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等
(3)三者之间的关系定理:
主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等
(4)圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等•
(5)切线的性质定理:
主要是用来证明一一垂直关系.
(6)切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线•
(7)切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等•
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化•这在
圆中的证明和计算中经常用到•
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:
①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。
知识点一:
判定切线的方法:
(1)右切点明确,则连半径,证垂直。
常见手法有:
全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:
角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系
是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结
常添加的辅助线•例:
方法一:
若直线l过OO上某一点A,证明1是OO的切线,只需连0A,证明0A丄l就行了,简称“连
半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直
例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的OO交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交
OD延长线于F.
求证:
EF与OO相切.
例2如图,AD是/BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:
PA与OO相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
•/AD是/BAC的平分线,
•••/DAB=/DAC.
•/PA=PD,
•••/2=Z1+/DAC.
•••/2=ZB+/DAB,
•••/仁/B.
又•••/B=/E,
•••/仁/E
•/AE是OO的直径,
•AC丄EC,/E+/EAC=90°.
•••/1+/EAC=90°.
即OA丄PA.
•PA与OO相切.
证明二:
延长AD交OO于E,连结OA,OE.
•/AD是/BAC的平分线,
•BE=C1E,c
•OE丄BC.
•/E+/BDE=900.
•/OA=OE,•/E=/1.
例5如图,AB是OO的直径,CD丄AB,且OA2=OD•OP.
求证:
PC是OO的切线.
AG交BD于E,交CD于F.
CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我
例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,求证:
CE与厶CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△
们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄OC即可得解.
证明:
取FG中点0,连结0C.
TABCD是正方形,
•••BC丄CD,△CFG是Rt△
•/0是FG的中点,
•0是Rt△CFG的外心.
•/0C=0G,
•••/3=/G,
•/AD//BC,
•/G=Z4.
•/AD=CD,DE=DE,
/ADE=/CDE=45°,
•△ADE◎△CDE(SAS)
•••/4=Z1,Z1=/3.
//0
vZ2+Z3=90,
•••/1+Z2=90°.
即CE丄0C.
•••CE与厶CFG的外接圆相切
方法二:
若直线l与OO没有已知的公共点,又要证明I是OO的切线,只需作OA丄I,A为垂足,证
明OA是OO的半径就行了,简称:
“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何综合题)
例1如图,AB=AC,D为BC中点,OD与AB切于E点.
求证:
AC与OD相切.
分析:
说明:
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,
这类习题多数与角平分线有关
例2:
已知:
如图,AC,BD与OO切于A、B,且AC//BD,若/COD=90
求证:
CD是OO的切线.
证明一:
连结OA,OB,作OE丄CD,E为垂足.
•••AC,BD与OO相切,
•AC丄OA,BD丄OB.
•/AC//BD,
•••/1+/2+Z3+/4=180°.
•/COD=90°,
•/2+Z3=90°,/1+/4=90°.
•/4+Z5=900.
•Z1=/5.
•Rt△AOCsRt△BDO.
ACOC
•
"OBOD.
•/OA=OB,
ACOC
"OAOD.
又•/CAO=/COD=900,
•△AOCODC,
•/1=/2.
又•OA丄AC,OE丄CD,
证明二:
证明三:
•••OE=OA.
•E点在OO上.
•CD是OO的切线.
连结OA,OB,作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.
•••AC,BD与OO相切,
•AC丄OA,BD丄OB.
•/AC//BD,
•/F=/BDO.
又•••OA=OB,
•△AOF◎△BOD(AAS)
•OF=OD.
•••/COD=9O°,
•CF=CD,/1=/2.
又•••OA丄AC,OE丄CD,
•OE=OA.
•E点在OO上.
•CD是OO的切线.
连结AO并延长,作OE丄CD于E,取CD中点F,连结OF.
•••AC与OO相切,
•AC丄AO.
•/AC//BD,
•AO丄BD.
•••BD与OO相切于B,
•AO的延长线必经过点B.
•AB是OO的直径.
•/AC//BD,OA=OB,CF=DF,
•OF//AC,
•/1=/COF.
•••/COD=900,CF=DF,
1
•OF=CD=CF.
2
•/2=/COF.
•/OA丄AC,0E丄CD,
•OE=OA.
•E点在OO上.
•CD是OO的切线
仁/2•证明三
说明:
证明一是利用相似三角形证明/1=/2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/
是利用梯形的性质证明/1=/2,这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
课后练习:
(1)如图,AB是OO的直径,
BC丄AB,AD//OC交OO于D点,求证:
CD为OO的切线;
A
(2)
如图,以RtAABC的直角边AB为直径作OO,交斜边DE是OO的切线•
(3)如图,以等腰厶ABC的一腰为直径作OO,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE丄AC于E(或E为CF中点),求证:
DE是OO的切线•
(4)如图,AB是OO的直径,AE平分/BAF,交OO于点E,过点E作直线ED丄AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,求证:
CD是OO的切线.
知识点二:
与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:
如:
①构建矩形转化线段;②构建"射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);射影定理:
所谓射影,就是正投影。
其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的
正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质:
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这
条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
2
公式Rt△ABC中,/BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
:
(1)(AD);=BDDC,
22⑵(AB);=BDBC,⑶(AC);=CDBC。
等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
A
B0C
3构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;
4构造勾股定理模型(已知线段长度);
5构造三角函数(已知有角度的情况);
©找不到,找相似
(2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
(3)建模思想:
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型:
图形1:
如图1:
AB是OO的直径,点E、C是OO上的两点,基本结论有:
(1)在“AC平分/BAE”;“AD丄CD”;“DC是OO的切线”三个论断中,知二推一。
(2)如图2、3,DE等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。
(3)如图(4):
若CK丄AB于K,则:
1
1CK=CD;BK=DE;CK=BE=DC;AE+AB=2BK=2AD;
2
2"ADCs"ACB二AC2=AD?
AB
(4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG丄CD于E时(如图5),则:
①DE=GB:
②DC=CG:
③AD+BG=AB;
122
④AD?
BG=DG2=DC2
4
G
O交AC于点E,基本结
图形2:
如图:
Rt"ABC中,/ACB=90°。
点论有:
A
O是AC上一点,
以oc为半径作o
A
“BD=BC”。
四个论断中,知一推三。
(1)
在“BO平分/CBA”;“BO//DE”;“AB是OO的切线”
(2)
①G是"BCD的内心;②CG=GD;③"BCOs"CDE二BO?
DE=CO?
CE=CE2;2
(3)
(4)
在图
(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
AE1
如图(3),若①BC=CE,则:
②——=—=tan/ADE:
③BC:
AC:
AB=3:
4:
5;(在①、②、③中AD2
知一推二)④设BE、CD交于点H「则BH=2EH
图形3:
如图:
Rt"ABC中,/ABC=90°,以AB为直径作OO交AC于D,基本结论有:
如右图:
(1)DE切OO=E是BC的中点;
(2)若DE切OO,则:
①DE=BE=CE;
2D、O、B、E四点共圆=/CED=2/A
3CD-CA=4BE2,DE=CD=BC
RBDBA
C
E
B
图形特殊化:
在
(1)的条件下
如图1:
DE//AB="ABC、"CDE是等腰直角三角形;
如图2:
若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:
①DE
EF
图形4:
如图,"ABC中,AB=AC,以AB为直径作OO,交BC于点D,交AC于点F,
基本结论有:
(1)DE丄AC=DE切OO;
(2)在DE丄AC或DE切OO下,有:
①"DFC是等腰三角形;
②EF=EC:
③D是BF的中点。
④与基本图形1⑤连AD,产生母子三角形。
图形5:
:
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于
在①、②、③及④CD是OO的切线”四个论断中,知一推三)
1
④AD-BC=AB=R2;
4
(2)如图2,连AE、CO,则有:
CO//AE,CO?
AE=2R2(与基本图形2重合)
(3)
如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,则:
EG=FG.
基本结论有:
图形7:
如图,"ABC内接于O0,1为厶ABC的内心。
基本结论有:
(1)
如图1,①BD=CD=ID:
②Dl2=DE-DA;
1
③/AIB=90°+_/ACB;
2
(2)如图2,若/BAC=60°,则:
BD+CE=BC.
图形8:
已知,AB是O0的直径,C是BG中点,CD丄AB于D。
BG交CD、AC于E、F。
基本结论有:
1
(1)CD=—BG;BE=EF=CE;GF=2DE
2
1
(反之,由C!
=_BG或BE=EF可得:
C是BG中点)
2
1
(2)0E=AF,0E//ACODEs"AGF
2
(3)BEBG=BDBA
(4)若D是OB的中点,则:
①"CEF是等边三角形;②bC=CG=AG
范例讲解:
例题1:
△ABP中,/ABf=90°,以AB为直径作O0交AP于C点,弧CF=CB,过C作AF的垂线,垂足为MMC的延长线交BP于D.
(1)求证:
CD为O0的切线;
(2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求EF的值。
AF
直角梯形ABCD中,/BCD90°,AB=AD+BCAB为直径的圆交BC于E,连0CBD交于F.
CD为O0的切线⑵若BE=3,求BF的值
AB5DF
例题
⑴求证:
BE
例题3:
如图,AB为直径,PB为切线,点C在O0上,AC//OP
(1)求证:
PC为OO的切线。
DG
(2)过D点作DELABE为垂足,连AD交BC于GCG=3,DE=4,求上]的值。
例题4(2009调考):
如图,已知△ABC中,以边BC为直径的OO与边AB交于点D点E为BD的中点,
AFABC的角平分线,且AFLEC
(1)求证:
AC与OO相切;
(2)若AC=6,BC=8,求EC的长
家庭练习:
__
1.如图,RtAABC,以AB为直径作OO交AC于点D,BD=DE,过D作AE的垂线,F为垂足.
(1)求证:
DF为OO的切线;
(2)若DF=3,OO的半径为5,求tanZBAC的值.
3.如图,AB为OO的直径,半径0C丄AB,D为AB延长线上一点,过D作OO的切线,E为切点,连结CE交AB于点F.
(1)求证:
DE=DF;
(2)连结AE,若0F=1,BF=3,求tan./A的值.
4.如图,Rt△ABC中,/C=90°BD平分/ABC,以AB上一点0为圆心过B、D两点作O0,O0交AB于点一点E,EF丄AC于点F.
(1)求证:
O0与AC相切;
(2)
若EF=3,BC=4,求tan/A的值.
5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作OO交BC于点D,DE丄AC于E.
(1)求证:
DE为OO的切线;
(2)若BC=45,AE=1,求cos.AEO的值.
6
.如图,BD为OO的直径,A为BC的中点,AD交BC于点E,F为BC延长线上一点,且FD=FE.
(1)求证:
DF为OO的切线;
(2)若AE=2,DE=4,△BDF的面积为83,求tan.EDF的值.
7、如图,AB是OO的直径,M是线段0A上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且/ECF=ZE.
(1)求证:
CF是OO的切线;
(2)设OO的半径为1,且AC=CE=,求AM的长.
8、如图,AB是OO的直径,BC丄AB,过点C作OO的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,且AD+BC=CD.
(1)求证:
AD是OO的切线;
(2)
设0E交AC于F,若0F=3,EF=2,求线段BC的长.
9、如图,△ABC中,AB=BC,以AB为直径的O0交AC于点D,且CD=BD.
(1)求证:
BC是O0的切线;
(2)已知点M、N分别是AD、CD的中点,BM延长线交O0于E,EF//AC,分别交BD、BN的延长线于H、F,若DH=2,求EF的长.
(3)
11、如图,"ABC中,AB=AC,以AC为直径的O0与AB相交于点E,点F是BE的中点.
(1)求证:
DF是O0的切线.
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长
16
聚龙教育关注成长每一天
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 有关 证明 计算