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集合子集
集合、子集
集合.子集
一.学习目标
1.理解集合的概念.
2.掌握集合的表示法:
列举法.描述法.图示法.
3.理解子集的概念,掌握〝属于.包含.相等〞三种关系的有关术语和符号,形成正确.简明的集
合语言.
二.例题
第一阶梯
1.什么是集合.集合的元素?
怎样表示元素与集合的关系?
集合有哪些基本性质?
参考答案:
一组对象的全体,就形成一个集合.集合里的各个对象叫做集合的元素.集合用大写拉丁字母表示,
如N.Z.Q等.元素用小写拉丁字母表示,如a.
集合和元素的关系是〝属于〞和〝不属于〞的关系,其符号是〝∈〞和〝〞.,如a是集合A的元素,
记作a∈A,如果a不是集合B的元素,记作aB.
集合的元素有两个基本性质:
(1)确定性对于集合A和元素_有明确的关系,是_∈A,还是_A,二者必居其一.
(2)互异性在同一集合中,任何两个元素必须是不同的,相同的元素,只能算作一个.例如方程_2+
2_+1=0有相等二根:
_1=-1,_2=-1,但在集合语言,方程_2+2_+1=0的解集应是{-1},而不
可写为{-1,-1}.
任何集合的元素都有上述两个共性,所以我们把元素的确定性和互异性称为集合的基本性质.
说明:
集合和元素是最原始的不定义概念,就和〝点〞.〝线〞.〝面〞一样,都是不加定义的.因此,你
不要追求集合的严格定义,只能用它的两个基本性质理解它.由元素的确定性和互异性,必然推出集
合的元素具有无序性,例如,{1,2,3}={1,3,2}.
请记住常用数集的代号:
N={自然数}={正整数},Z={整数},
Q={有理数},Q+={正有理数},
R={实数},R+={正实数}
2.怎样表示集合?
参考答案:
3.什么叫子集.等集.真子集?
什么叫空集?
参考答案:
任意的__Icirc;A_THORN;_THORN;__Icirc;B,则称A是B的子集,记作A_Iacute;B,读作A包含于B,或说B包含A.
如果A_Iacute;B,且B_Iacute;A,则称A=B.
如果A_Iacute;B,且A≠B,则称A是B的真子集,记作A_Igrave;B,不含任何元素的集合叫做空集,记作f.
说明:
(1)关于子集和真子集有下列推论:
①A_Iacute;B_THORN;A_Igrave;B或A=B,且二者必居其一;
②A_Igrave;B_THORN;_THORN;A_Iacute;B;
③A_Iacute;A(A是任何集合);
④规定f_Iacute;A(A是任何集合).
(2)子集与真子集是集合与集合的包含关系,等集是集合与集合的相等关系.〝包含〞与〝相等〞关
系都是集合与集合的关系,它们和元素与集合的关系不同,后者是属于(_Icirc;_Icirc;)与不属于(_Iuml;_Iuml;)
的关系.〝包含〞.〝相等〞.〝属于〞是重要的三大关系,易错易混,要注意区分.
第二阶梯
1.化简下列集合:
(1){__=_2};
(2){_)};
(3){不超过10的质数}.
[提示]
用列举法来化简集合.
[参考答案]
(1){__=_2}={-1,0,1}.
(2)原集合化简为{-1,}.
(3)原集合化简为{2,3,5,7}.
[说明]
列举法具有化简有限集合的功能.
2.已知集合A{_,
_y,_y-1},__Icirc;Z,y_Icirc;Z,且y≠0.如果0_Icirc;A,求A.
[提示]
利用集合元素的互异性,分类讨论
[参考答案]
由0_Icirc;A,y≠0_THORN;_THORN;_=0,或_y-1=0.
若_=0,则_y=0,此时A中的元素_._y相同,所以_≠0.
若_y-1=0,由于_,y
_Icirc;Z,所以_=y=1,或_=y=-1.
当_=y=1时,A={1,1,0}P这与元素互异相矛盾,因此,只能_=y=-1.
所以,A={-1,1,0}.
3.下列命题中,正确的是().
(A)R+_Icirc;
R (B)Z+_Eacute;_Eacute; {__≥0,__Icirc;Z} (C)空集是任何集合的真子集 (D)f_Icirc;{f}
[提示]
(A)中R+不是元素,R+与R的关系是包含关系,不是属于关系.
(B)0_Icirc;{__≥0,__Icirc;
Z},但0_Iuml;Z+.
(C)当任何集合为空集时,即为反例.
(D){f}表示以空集f为元素的集合,故(D)正确.
[参考答案](D)
4.已知A={_1≤_≤2},B={_(_-1)(_-a)≤0,a_Icirc;R},且A_Igrave;B,求实数a的取值集合
[提示]
用数轴表示数集A,B,比较端点,即可解.
[参考答案]
A={_1≤_<2=.如图4.
对于B:
当a=1时,B={1},此时A_Igrave;B无解;
当a<1时,B={_a≤_≤1},此时A_Igrave;B也无解;
当a>1时,B={_1≤_≤a},此时A_Igrave;B,得解a≥a,综上,a的取值集合是{aa≥2}.
[说明]
用数轴表示集合是集合的一种图示法,属于数形结合法,是解决集合问题的好方法.
第三阶梯
1.判定下列A和B的关系:
(1)
(2)
(3)
(4)
[提示]
利用子集.真子集和等集的概念解题.
[参考答案]
(1)因为.
(2)因为A=φ,所以A=B.
(3)A={__≥3},B={y
y≥1},所以A_Eacute;B.
(4)
[说明]
判定两个集合之间的关系的通法:
通过元素与集合的关系(),确定集合与集合的关系
();数形结合,用图示法.注意集合的列举法.描述法和图示法三法之间的相互转化,
其中描述法较难,常将描述法转化为列举法或图示法.
2.
(1)列出下列集合的所有子集:
.
(2)试猜想有限集的子集个数
[提示]
(1)根据子集的定义,一一列举各集合的子集,注意列举和计数的规律.
(2)根据
(1),用归纳法猜测.
[参考答案]
(1)A1的子集:
φ,
A2的子集:
φ,,,
(2)由
(1)可知:
A1,A2,A3的子集个数分别为21,22,23.
∴猜想An的子集个数为2n.
三.练习题
1.方程组
()
A. B. C. D.
2.已知,,.
如果a∈M0,b∈M1,c∈M2,那么a+b-c∈
A. B. C. D.
3.=
A. B. C. D.
4.集合M={1,2},P={_a_-1=0},若P_Igrave; M,则满足条件的实数a的个数是(
)
A.无穷多
B.3 C.2 D.1
5.集合{12的正因数}用列举法表示为
6.集合{1,2,3}的所有真子集是
7.一次函数y=2_-2的图象与坐标轴的交点的集合是
8.若{_(a+1)__gt;a+1,a∈R}={_
__lt;1},那么a的取值范围是
9.已知集合A={__2+_-2=0},
B={_(_2+_-2)(_2+a_+4)=0},如果A_Igrave;B,那么实数a的取值集合
是
10.一次函数y=2_-2的图象与坐标轴的交点的集合是________________
11.若{_(a+1)__gt;a+1,a∈R}={_
__lt;1},那么a的取值范围是________________
12.已知集合A={__2+_-2=0},
B={_(_2+_-2)(_2+a_+4)=0),如果A_Igrave;B,那么实数a的取值集合
是_______________
答案:
1---4 C,C,D,B
5.{1,2,3,4,6,12}
6.φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}
7.{(1,0),(0,-2)}
8.a_lt;-1
9.{aa_gt;4,或a≤-4}
10.{(1,0),(0,-2)}
11.a_lt;-1
12.{aa_gt;4,或a≤-4}
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