热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答.pdf
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1第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。
解:
已知理想气体的物态方程为,pVnRT
(1)由此易得11,pVnRVTpVT
(2)11,VpnRpTpVT(3)2111.TTVnRTVpVpp(4)1.2证明任何一种具有两个独立参量,Tp的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数,根据下述积分求得:
lnTV=dTdp如果11,TTp,试求物态方程。
解:
以,Tp为自变量,物质的物态方程为,VVTp其全微分为.pTVVdVdTdpTp
(1)全式除以V,有11.pTdVVVdTdpVVTVp根据体胀系数和等温压缩系数T的定义,可将上式改写为2.TdVdTdpV
(2)上式是以,Tp为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有ln.TVdTdp(3)若11,TTp,式(3)可表为11ln.VdTdpTp(4)选择图示的积分路线,从00(,)Tp积分到0,Tp,再积分到(,Tp),相应地体积由0V最终变到V,有000ln=lnln,VTpVTp即000pVpVCTT(常量),或.pVCT(5)式(5)就是由所给11,TTp求得的物态方程。
确定常量C需要进一步的实验数据。
31.3在0C和1np下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K7.810.npT和T和可近似看作常量,今使铜块加热至10C。
问:
(a)压强要增加多少np才能使铜块的体积维持不变?
(b)若压强增加100np,铜块的体积改变多少?
a)根据1.2题式
(2),有.TdVdTdpV
(1)上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差dV,温度差dT和压强差dp之间的关系。
如果系统的体积不变,dp与dT的关系为.TdpdT
(2)在和T可以看作常量的情形下,将式
(2)积分可得2121.TppTT(3)将式
(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态和终态的压强差和温度差满足式(3)。
但是应当强调,只要初态1,VT和终态2,VT是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式(3)。
这是因为,平衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。
将所给数据代入,可得52174.851010622.7.810nppp因此,将铜块由0C加热到10C,要使铜块体积保持不变,压强要增强622np(b)1.2题式(4)可改写为21211.TVTTppV(4)将所给数据代入,有457144.8510107.8101004.0710.VV因此,将铜块由0C加热至10C,压强由1np增加100np,铜块体积将增加原体积的44.0710倍。
1.4简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数T数值都很小,在一定温度范围内可以把和T看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为000(,),01.TVTpVTTTp解:
以,Tp为状态参量,物质的物态方程为,.VVTp根据习题1.2式
(2),有.TdVdTdpV
(1)将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在和T可以看作常量的情形下,有000ln,TVTTppV
(2)或0000,.TTTppVTpVTpe(3)考虑到和T的数值很小,将指数函数展开,准确到和T的线性项,有0000,1.TVTpVTpTTpp(4)如果取00p,即有00,01.TVTpVTTTp(5)1.5描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力J,物态方程是,0fJLT实验通常在1np下进行,其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为51JLLT等温杨氏模量定义为TLJYAL其中A是金属丝的截面积,一般来说,和Y是T的函数,对J仅有微弱的依赖关系,如果温度变化范围不大,可以看作常量,假设金属丝两端固定。
试证明,当温度由1降至2时,其张力的增加为21JYATT解:
由物态方程,0fJLT
(1)知偏导数间存在以下关系:
1.JLTLTJTJL
(2)所以,有.LJTJLJTTLALYLAY(3)积分得21.JYATT(4)与1.3题类似,上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程,只要金属丝的初态是平衡态,两态的张力差21,JJLTJLT就满足式(4),与经历的过程无关。
1.6一理想弹性线的物态方程为2020,LLJbTLL6其中L是长度,0L是张力J为零时的L值,它只是温度T的函数,b是常量.试证明:
(a)等温扬氏模量为20202.LbTLYALL在张力为零时,03.bTYA其中A是弹性线的截面面积。
(b)线胀系数为330033011,2LLLTL其中0001.dLLdT(c)上述物态方程适用于橡皮带,设31300K,1.3310NK,Tb62410110m,510KA,试计算当0LL分别为0.5,1.0,1.5和2.0时的,JY值,并画出,JY对0LL的曲线.解:
(a)根据题设,理想弹性物质的物态方程为2020,LLJbTLL
(1)由此可得等温杨氏模量为22002200221.TLLLJLbTLYbTALALLALL
(2)张力为零时,003,.bTLLYA(b)线胀系数的定义为1.JLLT由链式关系知71,LTJLLTJ(3)而20002220020302,21,LTLLdLJLLbbTTLLLLdTLJbTLLL所以23000222300003200330021111.212LLdLLLLbbTLLLLdTdLLLLLdTTLbTLLL(4)(c)根据题给的数据,,JY对0LL的曲线分别如图1-2(a),(b),(c)所示。
81.7抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入,当压强达到外界压强0p时将活门关上,试证明:
小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U与原来在大气中的内能0U之差为000UUpV,其中0V是它原来在大气中的体积,若气体是理想气体,求它的温度与体积。
解:
将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能0U由式(1.5.3)0UUWQ
(1)确定。
由于过程进行得很迅速,过程中系统与外界没有热量交换,0.Q过程中外界对系统所做的功可以分为1W和2W两部分来考虑。
一方面,大气将系统压入小匣,使其在大气中的体积由0V变为零。
由于小匣很小,在将气体压入小匣的过程中大气压强0p可以认为没有变化,即过程是等压的(但不是准静态的)。
过程中大气对系统所做的功为1000.WpVpV另一方面,小匣既抽为真空,系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力,与外界也就没有功交换,则20.W因此式
(1)可表为000.UUpV
(2)如果气体是理想气体,根据式(1.3.11)和(1.7.10),有00,pVnRT(3)000()()1VnRUUCTTTT(4)式中n是系统所含物质的量。
代入式
(2)即有0.TT(5)活门是在系统的压强达到0p时关上的,所以气体在小匣内的压强也可看作0p,其物态方程为00.pVnRT(6)与式(3)比较,知0.VV(7)1.8满足npVC的过程称为多方过程,其中常数n名为多方指数。
试证9明:
理想气体在多方过程中的热容量nC为1nVnCCn解:
根据式(1.6.1),多方过程中的热容量0lim.nTnnnQUVCpTTT
(1)对于理想气体,内能U只是温度T的函数,,VnUCT所以.nVnVCCpT
(2)将多方过程的过程方程式npVC与理想气体的物态方程联立,消去压强p可得11nTVC(常量)。
(3)将上式微分,有12
(1)0,nnVdTnVTdV所以.
(1)nVVTnT(4)代入式
(2),即得,
(1)1nVVpVnCCCTnn(5)其中用了式(1.7.8)和(1.7.9)。
1.9试证明:
理想气体在某一过程中的热容量nC如果是常数,该过程一定是多方过程,多方指数npnVCCnCC。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解:
根据热力学第一定律,有10.dUQW
(1)对于准静态过程有,WpdV对理想气体有,VdUCdT气体在过程中吸收的热量为,nQCdT因此式
(1)可表为().nVCCdTpdV
(2)用理想气体的物态方程pVvRT除上式,并注意,pVCCvR可得()().nVpVdTdVCCCCTV(3)将理想气体的物态方程全式求微分,有.dpdVdTpVT(4)式(3)与式(4)联立,消去dTT,有()()0.nVnpdpdVCCCCpV(5)令npnVCCnCC,可将式(5)表为0.dpdVnpV(6)如果,pVCC和nC都是常量,将上式积分即得npVC(常量)。
(7)式(7)表明,过程是多方过程。
1.10声波在气体中的传播速度为sp假设气体是理想气体,其定压和定容热容量是常量,试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及给出:
1121aauuhh200,-1其中00,uh为常量。
解:
根据式(1.8.9),声速a的平方为2v,ap
(1)其中v是单位质量的气体体积。
理想气体的物态方程可表为,mpVRTm式中m是气体的质量,m是气体的摩尔质量。
对于单位质量的气体,有1v,pRTm
(2)代入式
(1)得2.aRTm(3)以,uh表示理想气体的比内能和比焓(单位质量的内能和焓)。
由式(1.7.10)(1.7.12)知0,1RTmumu0.1RTmhmh(4)将式(3)代入,即有20,
(1)auu20.1ahh(5)式(5)表明,如果气体可以看作理想气体,测定气体中的声速和即可确定气体的比内能和比焓。
1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流,由于气压随高度而降低,空气上升时膨胀,下降时收缩,空气的导热率很小,膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程,试计算大气温度随高度的变化率dTdz,并给出数值结果。
12解:
取z轴沿竖直方向(向上)。
以()pz和()pzdz分别表示在竖直高度为z和zdz处的大气压强。
二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强,即()()(),pzpzdzzgdz
(1)式中()z是高度为z处的大气密度,g是重力加速度。
将()pzdz展开,有()()(),dpzdzpzpzdzdz代入式
(1),得()().dpzzgdz
(2)式
(2)给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。
以m表大气的平均摩尔质量。
在高度为z处,大气的摩尔体积为()mz,则物态方程为()(),()mpzRTzz(3)()Tz是竖直高度为z处的温度。
代入式
(2),消去()z得()().()dmgpzpzdzRTz(4)由式(1.8.6)易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为1.STTpp(5)综合式(4)和式(5),有1().SdTdmgTzpzdzpdzR(6)大气的1.41(大气的主要成分是氮和氧,都是双原子分子),平均摩尔质量为3122910kgmol,9.8msmg,代入式(6)得110Kkm.dTzdz(7)式(7)表明,每升高1km,温度降低10K。
这结果是粗略的。
由于各种没有考虑的因素,实际每升高1km,大气温度降低6K左右。
131.12假设理想气体的pVCC和之比是温度的函数,试求在准静态绝热过程中TV和的关系,该关系式中要用到一个函数FT,其表达式为ln()1dTFTT解:
根据式(1.8.1),理想气体在准静态绝热过程中满足0.VCdTpdV
(1)用物态方程pVnRT除上式,第一项用nRT除,第二项用pV除,可得0.VCdTdVnRTV
(2)利用式(1.7.8)和(1.7.9),,pVpVCCnRCC可将式
(2)改定为10.1dTdVTV(3)将上式积分,如果是温度的函数,定义1ln(),1dTFTT(4)可得1ln()lnFTVC(常量),(5)或()FTVC(常量)。
(6)式(6)给出当是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
1.13利用上题的结果证明:
当为温度的函数时,理想气体卡诺循环的效率仍为211.TT解:
在是温度的函数的情形下,1.9就理想气体卡诺循环得到的式14(1.9.4)(1.9.6)仍然成立,即仍有2111ln,VQRTV
(1)3224ln,VQRTV
(2)32121214lnln.VVWQQRTRTVV(3)根据1.13题式(6),对于1.9中的准静态绝热过程
(二)和(四),有1223()(),FTVFTV(4)2411()(),FTVFTV(5)从这两个方程消去1()FT和2()FT,得3214,VVVV(6)故2121()ln,VWRTTV(7)所以在是温度的函数的情形下,理想气体卡诺循环的效率仍为2111.TWQT(8)1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解:
假设在pV图中两条绝热线交于C点,如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和B点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样15的等温线总是存在的),则在循环过程ABCA中,系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q,而在循环过程中对外做功W,其数值等于三条线所围面积(正值)。
循环过程完成后,系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律,有WQ。
这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
1.15热机在循环中与多个热源交换热量,在热机从其中吸收热量的热源中,热源的最高温度为1T,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度为2T,试根据克氏不等式证明,热机的效率不超过211.TT解:
根据克劳修斯不等式(式(1.13.4),有0,iiiQT
(1)式中iQ是热机从温度为iT的热源吸取的热量(吸热iQ为正,放热iQ为负)。
将热量重新定义,可将式
(1)改写为0,jkjkjkQQTT
(2)式中jQ是热机从热源jT吸取的热量,kQ是热机在热源kT放出的热量,jQ,kQ恒正。
将式
(2)改写为.jkjkjkQQTT(3)假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为1T,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度为2T,必有121,1,jjjjjkkkkkQQTTQQTT故由式(3)得161211.jkjkQQTT(4)定义1jjQQ为热机在过程中吸取的总热量,2kkQQ为热机放出的总热量,则式(4)可表为1212,QQTT(5)或2211.TQTQ(6)根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为12.WQQ热机的效率为221111.QTWQQT(7)1.16理想气体分别经等压过程和等容过程,温度由1T升至2T。
假设是常数,试证明前者的熵增加值为后者的倍。
解:
根据式(1.15.8),理想气体的熵函数可表达为0lnln.pSCTnRpS
(1)在等压过程中温度由1T升到2T时,熵增加值pS为21ln.ppTSCT
(2)根据式(1.15.8),理想气体的熵函数也可表达为0lnln.VSCTnRVS(3)在等容过程中温度由1T升到2T时,熵增加值VS为21ln.VVTSCT(4)所以.ppVVSCSC(5)171.17温度为0C的1kg水与温度为100C的恒温热源接触后,水温达到100C。
试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。
欲使参与过程的整个系统的熵保持不变,应如何使水温从0C升至100C?
已知水的比热容为114.18JgK.解:
0C的水与温度为100C的恒温热源接触后水温升为100C,这一过程是不可逆过程。
为求水、热源和整个系统的熵变,可以设想一个可逆过程,它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化,通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为求水的熵变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,其温度分布在0C与100C之间。
令水依次从这些热源吸热,使水温由0C升至100C。
在这可逆过程中,水的熵变为37331273373373ln104.18ln1304.6Jk.273273ppmcdTSmcT水
(1)水从0C升温至100C所吸收的总热量Q为35104.181004.1810J.pQmcT为求热源的熵变,可令热源向温度为100C的另一热源放出热量Q。
在这可逆过程中,热源的熵变为514.18101120.6JK.373S热源
(2)由于热源的变化相同,式
(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。
则整个系统的总熵变为1184JK.SSS总水热源(3)为使水温从0C升至100C而参与过程的整个系统的熵保持不变,应令水与温度分布在0C与100C之间的一系列热源吸热。
水的熵变S水仍由式
(1)给出。
这一系列热源的熵变之和为37312731304.6JK.pmcdTST热源(4)参与过程的整个系统的总熵变为0.SSS总水热源(5)1.1810A的电流通过一个25的电阻器,历时1s。
18(a)若电阻器保持为室温27C,试求电阻器的熵增加值。
(b)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27C,电阻器的质量为10g,比热容pc为110.84JgK,问电阻器的熵增加值为多少?
解:
(a)以,Tp为电阻器的状态参量。
设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温27C不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
(b)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由iT升为fT,所以有2fi(),pmcTTiRt故22fi2310251300600K.100.4810piRtTTmc电阻器的熵变可参照1.17例二的方法求出,为fi231fi600ln100.8410ln5.8JK.300TppTmcdTTSmcTT1.19均匀杆的温度一端为1T,另一端为2T,试计算达到均匀温度1212TT后的熵增。
解:
以L表示杆的长度。
杆的初始状态是0l端温度为2T,lL端温度为1T,温度梯度为12TTL(设12TT)。
这是一个非平衡状态。
通过均匀杆中的热传导过程,最终达到具有均匀温度1212TT的平衡状态。
为求这一过程的熵变,我们将杆分为长度为dl的许多小段,如图所示。
位于l到ldl的小段,初温为122.TTTTlL
(1)这小段由初温T变到终温1212TT后的熵增加值为19121221222ln,TTlppTTTdTdScdlcdlTTTTlL
(2)其中pc是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性,整个均匀杆的熵增加值为12122012121212222120121122121212112212lnln2lnln2lnlnln2lnlnln12lLpLpppppSdSTTTTcTldlLcTTTTTTTTcLTlTlTlTTLLLLcLTTcLTTTTTTTTTTTTTTCTT.(3)式中ppCcL是杆的定压热容量。
1.20一物质固态的摩尔热量为sC,液态的摩尔热容量为lC.假设sC和lC都可看作常量.在某一压强下,该物质的熔点为0T,相变潜热为0Q.求在温度为110TTT时,过冷液体与同温度下固体的摩尔熵差.假设过冷液体的摩尔热容量亦为lC.解:
我们用熵函数的表达式进行计算.以,Tp为状态参量.在讨论固定压强下过冷液体与固体的熵差时不必考虑压强参量的变化.以a态表示温度为1T的固态,b态表示在熔点0T的固态.b,a两态的摩尔熵差为(略去摩尔熵mS的下标m不写)0101ln.TsbasTCdTTSCTT
(1)以c态表示在熔点0T的液相,c,b两态的摩尔熵差为00.cbQST
(2)以d态表示温度为1T的过冷液态,d,c两态的摩尔熵差为201010ln.TldclTCdTTSCTT(3)熵是态函数,d,c两态的摩尔熵差daS为001001lnlndadccdbalsSSSSQTTCCTTT0001ln.slQTCCTT(4)1.21物体的初温1T,高于热源的温度2T,有一热机在此物体与热源之间工作,直到将物体的温度降低到2T为止,若热机从物体吸取的热量为Q,试根据熵增加原理证明,此热机所能输出的最大功为max212()WQTSS其中12SS是物体的熵减少量。
解:
以,abSS和cS分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。
由熵的相加性知,整个系统的熵变为.abcSSSS由于整个系统与外界是绝热的,熵增加原理要求0.abcSSSS
(1)以12,SS分别表示物体在开始和终结状态的熵,则物体的熵变为21.aSSS
(2)热机经历的是循环过程,经循环过程后热机回到初始状态,熵变为零,即0.bS(3)以Q表示热机从物体吸取的热量,Q表示热机在热源放出的热量,W表示热机对外所做的功。
根据热力学第一定律,有,QQW所以热源的熵变为22.cQQWSTT(4)将式
(2)(4)代入式
(1),即有2120.QWSST(5)21上式取等号时,热机输出的功最大,故max212.WQTSS(6)式(6)相应于所经历的过程是可逆过程。
1.22有两个相同的物体,热容量为常数,初始温度同为iT。
今令一制冷机在这两个物体间工作,使其中一个物体的温度降低到2T为止。
假设物体维持在定压下,并且不发生相变。
试根据熵增加原理证明,此过程所需的最小功为2min222ipiTWCTTT解:
制冷机在具有相同的初始温度iT的两个物体之间工作,将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至2T为止。
以1T表示物体1的终态温度,pC表示物体的定压热容量,则物体1吸取的热量为11piQCTT
(1)物体2放出的热量为22piQCTT
(2)经多次循环后,制冷机接受外界的功为12122piWQQCTTT(3)由此可知,对于给定的iT和2T,1T愈低所需外界的功愈小。
用12,SS和3S分别表示过程终了后物体1,物体2和制冷机的熵变。
由熵的相加性和熵增加原理知,整个系统的熵变为1230SSSS(4)显然11223ln,ln,0.pipiTSCTTSCTS因此熵增加原理要求122ln0,piTTSCT(5)22或1221,iTTT(6)对于给定的iT和2T,最低的1T为212,iTTT代入(3)式即有2min222ipiTWCTTT(7)式(7)相应于所经历的整个过程是可逆过程。
1.23简单系统有两个独立参量。
如果以,TS为独立参量,可以以纵坐标表示温度T,横坐标表示熵S,构成TS图。
图中的一点与系统的一个平衡态相对应,一条曲线与一个可逆过程相对应。
试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线,并利用TS图求可逆卡诺循环的效率。
解:
可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。
在TS图上,等温线是平行于T轴的直线。
可逆绝热过程是等熵过程,因此在TS图上绝热线是平行于S轴的直线。
图1-5在TS图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。
(一)等温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程(温度为1T)由状态到达状态。
由于工作物质在过程中吸收热量,熵由1S升为2S。
吸收的热量为1121,QTSS
(1)1Q等于直线下方的面积。
23
(二)绝热膨胀过程工作物质由状态经绝热膨胀过程到达状态
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- 热力学 统计 物理 第四 版汪志诚 答案 习题 解答