北京市中考数学真题与模拟题分类汇编 专题14 图形的性质之解答题345道题原卷版1.docx
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北京市中考数学真题与模拟题分类汇编专题14图形的性质之解答题345道题原卷版1
专题14图形的性质之解答题(3)(45道题)
一.解答题(共45小题)
1.(2019•顺义区一模)已知:
如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点P在AB的延长线上,且∠A=∠P=30.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)连接BC,若AB=4,求△PBC的面积.
2.(2019•海淀区一模)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2CD,E为对角线AC的中点,F为边BC的中点,连接DE、EF.
(1)求证:
四边形CDEF为菱形;
(2)连接DF交AC于点G,若DF=2,CD
,求AD的长.
3.(2019•顺义区一模)已知:
如图,四边形ABCD是矩形,∠ECD=∠DBA,∠CED=90°,AF⊥BD于点F.
(1)求证:
四边形BCEF是平行四边形;
(2)若AB=4,AD=3,求EC的长.
4.(2019•东城区一模)下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:
如图1,直线BC及直线BC外一点P.
求作:
直线PE,使得PE∥BC.
作法:
如图2.
①在直线BC上取一点A,连接PA;
②作∠PAC的平分线AD;
③以点P为圆心,PA长为半径画弧,交射线AD于点E;
④作直线PE.
所以直线PE就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程.
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:
∵AD平分∠PAC,
∴∠PAD=∠CAD.
∵PA=PE,
∴∠PAD= ,
∴∠PEA= ,
∴PE∥BC.( )(填推理依据).
5.(2019•顺义区一模)下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知:
直线l及直线l外一点P.
求作:
直线PQ,使得PQ⊥l.
作法:
如图,
①在直线l上取一点A,以点P为圆心,PA长为半径画弧,与直线l交于另一点B;
②分别以A,B为圆心,PA长为半径在直线l下方画弧,两弧交于点Q;
③作直线PQ.
所以直线PQ为所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
连接PA,PB,QA,QB.
∵PA=PB=QA=QB,
∴四边形APBQ是菱形 (填推理的依据).
∴PQ⊥AB (填推理的依据).
即PQ⊥l.
6.(2019•东城区一模)如图,AB与⊙O相切于点A,P为OB上一点,且BP=BA,连接AP并延长交⊙O于点C,连接OC.
(1)求证:
OC⊥OB;
(2)若⊙O的半径为4,AB=3,求AP的长.
7.(2019•海淀区一模)下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:
如图1,直线l及直线l外一点P.
求作:
直线PQ,使PQ∥l.
作法:
如图2,
①在直线l上取一点O,以点O为圆心,OP长为半径画半圆,交直线l于A、B两点;
②连接PA,以B为圆心,AP长为半径画弧,交半圆于点Q;
③作直线PQ;
所有直线PQ就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程.
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹).
(2)完成下面的证明:
证明:
连接PB、QB.
∵PA=QB,
∴
.
∴∠PBA=∠QPB( )(填推理的依据).
∴PQ∥l( )(填推理的依据).
8.(2019•海淀区一模)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,在⊙O的切线CM上取一点P,使得∠CPB=∠COA.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)若AB=4
,CD=6,求PB的长.
9.(2019•海淀区一模)如图1,线段AB及一定点C、P是线段AB上一动点,作直线CP,过点A作AQ⊥CP于点Q,已知AB=7cm,设A、P两点间的距离为xcm,A、Q两点间的距离为y1cm,P、Q两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数的经验,分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1、y2与x的几组对应值.
x/cm
0
0.3
0.5
0.8
1
1.5
2
3
4
5
6
7
y1/cm
0
0.28
0.49
0.79
1
1.48
1.87
2.37
2.61
2.72
2.76
2.78
y2/cm
0
0.08
0.09
0.06
0
0.29
0.73
1.82
4.20
5.33
6.41
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当△APQ中有一个角为30°时,AP的长度约为 cm.
10.(2019•海淀区一模)如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,D是线段AC上一点(CA>2CD),连接BD,过点C作BD的垂线,交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠ACE=α,求∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(3)若点G在线段CF上,CG=BD,连接DG.
①判断DG与BC的位置关系并证明;
②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为 .
11.(2019•石景山区一模)如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上一点C作⊙O的切线CD,过点B作BE⊥CD于点E,延长EB交⊙O于点F,连接AC,AF.
(1)求证:
CE
AF;
(2)连接BC,若⊙O的半径为5,tan∠CAF=2,求BC的长.
12.(2019•西城区一模)如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.
(1)求证:
四边形DFCE是菱形;
(2)若∠A=75°,AC=4,求菱形DFCE的面积.
13.(2019•西城区一模)下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形,并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程.
已知:
⊙O
求作:
矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于⊙O,且其对角线AC,BD的夹角为60°.
作法:
如图
①作⊙O的直径AC;
②以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B;
③连接BO并延长交⊙O于点D;
所以四边形ABCD就是所求作的矩形.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:
∵点A,C都在⊙O上,
∴OA=OC
同理OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°( )(填推理的依据)
∴四边形ABCD是矩形
∵AB= =BO,
∴四边形ABCD四所求作的矩形.
14.(2019•石景山区一模)下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:
如图1,直线l及直线l外一点A.
求作:
直线AD,使得AD∥l.
作法:
如图2,
①在直线l上任取一点B,连接AB;
②以点B为圆心,AB长为半径画弧,交直线l于点C;
③分别以点A,C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D(不与点B重合);
④作直线AD.
所以直线AD就是所求作的直线.
根据小立设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.(说明:
括号里填推理的依据)
证明:
连接CD.
∵AD=CD=BC=AB,
∴四边形ABCD是 ( ).
∴AD∥l( ).
15.(2019•北京一模)下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程.
已知:
直线l及直线l外一点P.
求作:
直线PQ,使得PQ⊥l,垂足为Q.
作法:
如图,
①在直线l上任取一点A;
②以点P为圆心,PA为半径作圆,交直线l于点B;
③分别以点A,B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧相交于点C;
④连接PC交直线l于点Q.
则直线PQ就是所求作的垂线.
根据上述尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:
∵PA= ,AC= ,
∴PQ⊥l.( )(填推理的依据)
16.(2019•北京一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AC边上,以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E,CE=BC.
(1)求证:
CE是⊙O的切线;
(2)若CD=2,BD=2
,求⊙O的半径.
17.(2019•北京一模)如图,▱ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,∠BAC=90°.
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)若BC=4,∠B=60°,求四边形AECF的面积.
18.(2019•北京一模)如图,等边△ABC的边长为3cm,点N在AC边上,AN=1cm.△ABC边上的动点M从点A出发,沿A→B→C运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为xcm,MN的长为ycm.小西根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小西的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值;
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
y/cm
1
0.87
1
1.32
2.18
2.65
2.29
1.8
1.73
1.8
2
(2)在平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点,画出该函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当MN=2cm时,点M运动的路程为 cm.
19.(2019•门头沟区一模)对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义:
点A是线段MN上一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心,将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点”.
如图,M(1,2),N(4,2).
(1)在点P1(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中,线段MN的“关联点”有 ;
(2)如果点P在直线y=x+1上,且点P是线段MN的“关联点”,求点P的横坐标x的取值范围;
(3)如果点P在以O(1,﹣1)为圆心,r为半径的⊙O上,且点P是线段MN的“关联点”,直接写出⊙O半径r的取值范围.
20.(2019•平谷区一模)如图,点P是
所对弦AB上一动点,点Q是
与弦AB所围成的图形的内部的一定点,作射线PQ交
于点C,连接BC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,B,C两点间的距离为y2cm.(当点P与点A重合时,x的值为0).
小平根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小平的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值;
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.37
4.06
2.83
m
3.86
4.83
5.82
y2/cm
2.68
3.57
4.90
5.54
5.72
5.79
5.82
经测量m的值是(保留一位小数).
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当△BCP为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
21.(2019•房山区一模)如图,AB为⊙O直径,点C是⊙O上一动点,过点C作⊙O直径CD,过点B作BE⊥CD于点E.已知AB=6cm,设弦AC的长为xcm,B,E两点间的距离为ycm(当点C与点A或点B重合时,y的值为0).
小冬根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小冬的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
0.99
1.89
2.60
2.98
m
0
经测量m的值为 ;(保留两位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
当BE=2时,AC的长度约为 cm.
22.(2019•门头沟区一模)下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程.
已知:
如图1,⊙O.
求作:
正方形ABCD,使正方形ABCD内接于⊙O.
作法:
如图2,
①过点O作直线AC,交⊙O于点A和C;
②作线段AC的垂直平分线MN,交⊙O于点B和D;
③顺次连接AB,BC,CD和DA;
则正方形ABCD就是所求作的图形.
根据上述作图过程,回答问题:
(1)用直尺和圆规,补全图2中的图形;
(2)完成下面的证明:
证明:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=∠ADC= °,
又∵点B在线段AC的垂直平分线上,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA= °.
同理∠DAC=45°.
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°.
∴∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形( )(填依据),
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
23.(2019•通州区一模)已知:
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°.
求作:
射线CG,使得CG∥AB.
下面是小东设计的尺规作图过程.
作法:
如图2,
①以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AC,AB于D,E两点;
②以点C为圆心,AD长为半径作弧,交AC的延长线于点F;
③以点F为圆心,DE长为半径作弧,两弧在∠FCB内部交于点G;
④作射线CG.所以射线CG就是所求作的射线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
连接FG、DE.
∵△ADE≌△ ,
∴∠DAE=∠ .
∴CG∥AB( )(填推理的依据).
24.(2019•平谷区一模)下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程.
已知:
如图,∠AOB.
求作:
∠AOB的角平分线OP.
作法:
如图,
①在射线OA上任取点C;
②作∠ACD=∠AOB;
③以点C为圆心CO长为半径画圆,交射线CD于点P;
④作射线OP;
所以射线OP即为所求.
根据小元设计的尺规作图过程,完成以下任务.
(1)补全图形;
(2)完成下面的证明:
证明:
∵∠ACD=∠AOB,
∴CD∥OB( )(填推理的依据).
∴∠BOP=∠CPO.
又∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO( )(填推理的依据).
∴∠COP=∠BOP.
∴OP平分∠AOB.
25.(2019•平谷区一模)如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,连接BC交⊙O于点D,点E是
的中点,连接AE交BC于点F.
(1)求证:
AC=CF;
(2)若AB=4,AC=3,求∠BAE的正切值.
26.(2019•延庆区一模)对于图形M、N,给出如下定义:
在图形M中任取一点A,在图形N中任取两点B、C(A、B、C不共线),将∠BAC的最大值α(0°<α<180°)叫作图形M对图形N的视角.
问题解决:
在平面直角坐标系xOy中,已知T(t,0),⊙T的半径为1.
(1)当t=0时,
①求点D(0,2)对⊙O的视角α;
②直线l1的表达式y=x+2,且直线l1对⊙O的视角α,求sin
.
(2)直线l2的表达式y=x+t,若直线l2对⊙T的视角α,且60°≤α≤90°,直接写出t的取值范围.
27.(2019•门头沟区一模)如图,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,连接BC,DC和AC,AC与BD交于点O.
(1)用尺规补全图形,并证明四边形ABCD为菱形;
(2)如果AB=5,cos∠ABD
,求BD的长.
28.(2019•通州区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC边上的一点,分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E,且AB平分∠EAD.
(1)求证:
四边形EADB是菱形;
(2)连接EC,当∠BAC=60°,BC=2
时,求△ECB的面积.
29.(2019•平谷区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,连接AD,分别过点A,C作AE∥BC,CE∥AD交于点E,连接DE,交AC于点O.
(1)求证:
四边形ADCE是矩形;
(2)若AB=10,sin∠COE
,求CE的长.
30.(2019•通州区一模)如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E,在弦BC上取一点F,使AF=AE,连接AF并延长交⊙O于点D.
(1)求证:
∠B=∠CAD;
(2)若CE=2,∠B=30°,求AD的长.
31.(2019•房山区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
(1)求证:
∠CBF
∠CAB;
(2)若CD=2,tan∠CBF
,求FC的长.
32.(2019•房山区一模)已知:
Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.
(1)如图1,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),连接AD,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,连接CE.若∠BAD=α,求∠DBE的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,点D在线段BC的延长线上时,连接AD,过点B作BE⊥AD,垂足E在线段AD上,连接CE.
①依题意补全图2;
②用等式表示线段EA,EB和EC之间的数量关系,并证明.
33.(2019•通州区一模)数学活动课上,老师提出问题:
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4cm,AC=3cm,点D是AB的中点,点E是BC上一个动点,连接AE、DE.问CE的长是多少时,△AED的周长等于CE长的3倍.设CE=xcm,△AED的周长为ycm(当点E与点B重合时,y的值为10).
小牧根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小牧的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
8.0
7.7
7.5
7.4
8.0
8.6
9.2
10
(说明:
补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出上表中对应值为坐标的点,画出该函数的图象,如图2;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
①当CE的长约为 cm时,△AED的周长最小;
②当CE的长约为 cm时,△AED的周长等于CE的长的3倍.
34.(2019•门头沟区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,P是线段BC上一动点,连接AP和DP.如果BC=8cm,设B,P两点间的距离为xcm,D,P两点间的距离为y1cm,A,P两点间的距离为y2cm.
小明根据学习函数经验,分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请将它补充完整:
(1)按下表中自变量x值进行取点、画图、测量,得到了y1和y2与x几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y1/cm
2.50
1.80
1.50
1.80
3.35
4.27
5.22
6.18
y2/cm
5.00
4.24
3.61
3.16
3.00
3.16
3.61
4.24
5.00
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y2)和(x,y1),并画出函数y1和y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当DP=AP时,BP的长度约为 cm(结果精确到0.01).
35.(2019•延庆区一模)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点E、F分别是边BC上的两点,且∠EOF=45°,将∠EOF绕点O逆时针旋转,当点F与点C重合时,停止旋转,已知,BC=6,设BE=x,EF=y.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点,画图、测量,得到了y与x的几组对应值:
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
3
2.77
2.50
2.55
2.65
(说明:
补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出补全后的表中对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
当EF=2BE时,BE的长度约为 .
36.(2019•延庆区一模)已知:
四边形ABCD中,∠ABC=120°,∠ADC=60°,AD=CD,对角线AC、BD相交于点O,且BD平分∠ABC,过点A作AH⊥BD,垂足为H.
(1)求证:
∠ADB=∠ACB;
(2)判断线段BH、DH、BC之间的数量关系,并证明.
37.(2019•延庆区一模)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P是AB上一动点,且与点C分别位于直径AB的两侧,tan∠CPB
,过点C做CQ⊥CP交PB的延长线于点Q;
(1)当点P运动到什么位置时,CQ恰好是⊙O的切线?
(2)若点P与点C关于直径AB对称,且AB=5,求此时CQ的长.
38.(2019•延庆区一模)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点D,且AC⊥BC,点E是BC延长线上一点,
,连接DE.
(1)求证:
四边形ACED为矩形;
(2)连接OE,如果BD=10,求OE的长.
39.(2019•延庆区一模)下面是小东设计的“已知两线段,求作直角三角形”的尺规作图过程.
已知:
如图1,线段a及线段b(a<b).
求作:
Rt△ABC,使得a、b分别为它的直角边和斜边.
作法:
如图2,
①作射线CM,在CM上顺次截取CB=BD=a;
②分别以点C、D为圆心,以b的长为半径画弧,两弧交于点A;
③连接AB、AC,则△ABC就是所求作的直角三角形.
根据小东设计的尺规作图过程.
(1)补全图形,保留作图痕迹;
(2)完成下面的证明.
证明:
连接AD.
∵ =AD,CB= .
∴∠ABC=90°( )(填推理依据).
40.(2019•房山区一模)如图,矩形ABCD中,
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