MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告.docx
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MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告.docx
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MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
姓名实验报告成绩
评语:
指导教师(签名)
年月日
说明:
指导教师评分后,实验报告交院(系)办公室保存。
实验一方程求根
一、实验目的
用各种方法求任意实函数方程f(x)0在自变量区间[a,b]上,或某一
点附近的实根。
并比较方法的优劣。
二、实验原理
(1)、二分法
ba
x
对方程f(x)0在[a,b]内求根。
将所给区间二分,在分点2判断
ba
x
就是否f(x)0;若就是,则有根2。
否则,继续判断就是否
f(a)?
f(x)0,若就是,则令bx,否则令ax。
否则令ax。
重复此过程直至求出方程f(x)0在[a,b]中的近似根为止。
⑵、迭代法
将方程f(x)0等价变换为x=®(x)形式,并建立相应的迭代公式
xk1书(X)。
⑶、牛顿法
若已知方程的一个近似根X。
,则函数在点X。
附近可用一阶泰勒多项式pi(x)f(xo)f'(xo)(xxo)来近似,因此方程f(x)0可近似表示为
f(X。
)
f(X0)f'(X0)(XX)°设f'(X0)0,则XX。
7^。
取X作为原方程新的近f(Xk)
似根Xi,然后将X1作为X°代入上式。
迭代公式为:
Xk1X°f'(Xk)。
三、实验设备:
MATLAB70软件
四、结果预测
(1)Xii=0、09033
(2)X5=0、09052(3)X2=0,09052
五、实验内容
(3)、取初值X0°,用牛顿迭代法求方程ex10x20的近似根。
要求误差
3
不超过0.510。
六、实验步骤与实验程序
(1)二分法
第一步:
在MATLAB70软件,建立一个实现二分法的MATLA函数文件
agui_bisect、m如下:
functionx=agui_bisect(fname,a,b,e)
%fname为函数名,a,b为区间端点,e为精度
fa=feval(fname,a);%把a端点代入函数,求fa
fb=feval(fname,b);%把b端点代入函数,求fb
end
%如果fa*fb>0,则输出两端函数值为同号
k=0
x=(a+b)/2
while(b-a)>(2*e)%循环条件的限制fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数,求fx
iffa*fx<0%如果fa与fx同号,则把x赋给b,把fx赋给fb
b=x;
fb=fx;
else
%如果fa与fx异号,则把x赋给a,把fx赋给fa
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1
%十算二分了多少次
x=(a+b)/2%当满足了一定精度后,跳出循环,每次二分,都得新的区间断点a与b,则近似解为x=(a+b)/2
end
第二步:
在MATLAB^令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0,即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>>x=agui_bisect(fun,0,1,0、5*10A-3)
第三步:
得到计算结果,且计算结果为
k
x
0
0、500
1
0、250
2
0、125
3
0、000
4
0、000
5
0、000
6
0、000
7
0、000
8
0、000
9
0、000
10
0、000
11
0、000
(2)迭代法
第一步:
第一步:
在MATLAB7、0软件,建立一个实现迭代法的MATLAB函数文件agui_main、m如下:
functionx=agui_main(fname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数,x0为迭代初值
%e为精度,N为最大迭代次数(默认为100)
N=100;
x=x0;%把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
whileabs(x0-x)>e&k x0-x的绝对值大于某一精度,与迭代次数小于N k=k+1%显示迭代的第几次 x0=x; x=(2-exp(x0))/10%迭代公式 disp(x)%显示x end ifk==Nwarning('已达到最大迭代次数');end%如果K=N则输出已达到 最大迭代次数 第二步: 在MATLAB^令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >>x=agui_main(fun,0,1,0、5*10八-3) 第三步: 得出计算结果,且计算结果为 k x 1 0、100 2 0、244 3 0、958 4 0、437 5 0、437 以下就是结果的屏幕截图 (3)牛顿迭代法 第一步: 第一步: 在MATLAB7、0软件,建立一个实现牛顿迭代法的 MATLAB! 数文件二agui_newton、m如下: functionx=agui_newton(fname,dfname,x0,e) %fname为函数名dfname的函数fname的导数,x0为迭代初值 %e为精度,N为最大迭代次数(默认为100) N=100; x=x0;%把x0赋给x,再算x+2*e赋给x0 x0=x+2*e; k=0; whileabs(x0-x)>e&k x0-x的绝对值大于某一精度与迭代次数小于N k=k+1%显示迭代的第几次 x0=x; x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式 disp(x)%显示x end ifk==Nwarning('已达到最大迭代次数');end%如果K=N则输出已达到 最大迭代次数 第二步: 在MATLAB^令窗口求解方程f(x)=eAx+10x-2=0,即输入如下 >>fun=inline('exp(x)+10*x-2') >>dfun=inline('exp(x)+10') >>x=agui_newton(fun,dfun,0,0、5*10八-3) 第三步: 得出结果,且结果为 k x 1 0、909 2 0、339 3 0、339 以下就是结果的屏幕截图 七、实验结果 (1)x11=0、09033 (2)x5=0、09052(3)x2=0,09052 八、实验分析与结论 由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果,我们可以得出这样的结论: 二分法要循环k=11次,迭代法要迭代k=5次,牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5103的要求,而且方程ex10x20的精确解经十算,为0、0905250,十算量从大到小依次就是: 二分法,迭代法,牛顿法。 由此可知,牛顿法与迭代法的精确度要优越于二分法。 而这三种方法中,牛顿法不仅十算量少,而且精确度高。 从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。 可就是迭代法就是局部收敛的,其收敛性与初值x0有关。 二分法收敛虽然就是速度最慢,但也有自己的优势,可常用于求精度不高的近似根。 迭代法就是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性与收敛速度的问题。 对与不同的题目,可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较
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