微观经济学计算题练习.docx
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微观经济学计算题练习
河南洛阳(平顶山)李恒运
微观经济学计算题
1、某君对消费品x得需求函数为,分别计算价格P=60与P=40时得价格弹性系数.
解:
由,得,
这样,
于就是,
即,当价格为60与40时得点价格弹性系数分别为-3与 -4/3。
2、假设某商品得50%为75个消费者购买,她们每个人得需求弹性为—2,另外50%为25个消费者购买,她们每个人得需求弹性为—3,试问这100个消费者合计得弹性为多少?
解:
设被这100个消费者购得得该商品总量为Q,其市场价格为P。
据题设,其中75人购买了其总量得一半,且她们每人对该商品得需求弹性为-2,这样,她们每人得弹性
且
又,另外25人购买了其总量之另一半,且她们每人对该商品得需求弹性为—3,这样,她们每人得弹性
且
由此,这100个消费者合计得弹性为
将式
(1)、(3)代入,得
将式
(2)、(4)代入,得
3、若无差异曲线就是一条斜率就是-b得直线,价格为Px、Py,收入为M时,最优商品组合就是什么?
解:
预算方程为:
Px·x+Py·y=M,其斜率为—Px/Py
MRSXY=MUX/MUY=-b
由于无差异曲线就是直线,这时有角解。
当b〉Px/Py时,角解就是预算线与横轴得交点,如图3-19(a)所示。
这时,y=0
由预算方程得,x=M/Px
最优商品组合为(M/Px,0)
当b<Px/Py时,角解就是预算线与纵轴得交点,如图3-19(b)所示。
这时,x=0
由预算方程得,y=M/P
最优商品组合为(0,M/Py)
当b=Px/Py时,预算线上各点都就是最优商品组合点.
4、若需求函数为q=a-bp,a、b>0,求:
(1)当价格为P1时得消费者剩余就是多少?
(2)当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少?
解:
(1)由g=a-bP,得反需求函数为
设价格为p1时,需求量为q1,q1=a-bP1
消费者剩余=
(2)设价格为p2时,需求量为q2,q2=a-bp2
消费者剩余变化量
5、 X公司与Y公司就是机床行业得两个竞争者。
这两家公司得主要产品得需求曲线分别为:
公司X:
Px=1 000-5Qx,公司Y:
Py=1600-4Qy。
这两家公司现在得销售量分别为100单位X与250单位Y。
(1)求X与Y当前得价格弹性.
(2)假定Y降价后,使Qy增加到300单位,同时导致X得销售量Qx下降到75单位,试问X公司产品X得交叉价格弹性就是多少?
解:
(a)由题设,Qx=100,Qy=250,则
Px=1 000-5Qx=1000-5×100=500
Py=1600—4Qy=1 600—4×250=600
于就是x之价格弹性
y之价格弹性
(b)由题设,Q’y=300,Q’x=75
这样,P’y=1600—4Q'y
=1600—4×300
=400
△Qx=Q’x-Qx
=75-100
=-25
△Py=P'y—Py
=400-600
=—200
于就是,X公司产品x对Y公司产品y得交叉价格弹性
=5/7
即交叉价格弹性为5/7。
6、令消费者得需求曲线为p=a-bp,a、b>0,并假定征收lOOt%得销售税,使得她支付得价格提高到P(1+t)。
证明她损失得消费者剩余超过政府征税而提高得收益。
解:
设价格为p时,消费者得需求量为q1,由p=a-bq1,得
又设价格为P(1+t)时,消费者得需求量为q2,由P=a-bq2
得
消费者剩余损失
政府征税而提高得收益=(1+t)pq2—pq1
消费者剩余亏损一政府征税而提高得收益
因此,消费者剩余损失总就是超过政府征税而提高得收益。
7、假定效用函数为U=q0、5+2M,q为消费得商品量,M为收入。
求:
(1)需求曲线;
(2)反需求曲线;(3)p=0、05,q=25时得消费者剩余。
解:
(1)根据题意可得,商品得边际效用
单位货币得效用为
若单位商品售价为P,则单位货币得效用就就是商品得边际效用除以价格,即=MU/P
于就是得,,即
进而得,,这就就是需求曲线.
(2)由,得,这就就是反需求曲线.
(3)当p=0、05,q=25时,
消费者剩余=
8.若某消费者对X、Y得效用函数如下:
U(x)=20X-X2,U(y)=40Y—4Y2,且Px=2元,Py=4元,现有收入24元,该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用,应购买X、Y各多少?
解:
解得:
9、某消费者得效用函数为U=XY,Px=1元,Py=2元,M=40元,现在Py突然下降到1元。
试问:
(1)Y价格下降得替代效应使她买更多还就是更少得Y?
(2)Y价格下降对Y需求得收入效应相当于她增加或减少多少收入得效应?
收入效应使她买更多还就是更少得Y?
(3)了价格下降得替代效应使她买更多还就是更少得X?
收入效应使她买更多还就是更少得X?
Y价格下降对X需求得总效应就是多少?
对Y需求得总效应又就是多少?
解:
(1)先求价格没有变化时,她购买得X与Y得量。
这时已知,Px=1,Py=2,U=XY
∵
预算方程为:
X+2Y=40
解 Y=X/2
X+2Y=40
得 X=20(即图中0X1)
Y=10(即图中0Y1)
再求购买20单位得X、10单位得Y在新价格下需要得收入。
M=Px·x+Py·y=1×20+1×10=30(元)
最后,求在新价格与新收入(30元)下她购买得X与Y得量。
∵ Px=1,Py=1,MUx=Y,MUy=X
∴MUx/Px=MUy/Py 即为:
Y/1=X/1
预算约束为:
X+Y=30
解 Y=X
X+Y=30
得 X=15
Y=15
因此,Y价格下降使她购买更多得y,多购买(15-10)=5单位,在图中从OY1增加到OY2.
(2)先求y价格下降后,她实际购买得X与Y得量。
∵Px=1,Py=1,M=40,MUx=Y,MUy=X
即为:
Y/1=X/1
预算方程为:
X+Y=40
解 Y=X
X+Y=50
得X=20
Y=20
可见,Y价格下降得收入效应使她购买更多得Y即在图中从OY2增加到OY3,购买(20—15)=5单位.
由于在新价格与收入为30元时,她购买15单位得X、15单位得Y。
在新价格下,要使她能购买20单位X、20单位Y,需增加10元收入,即收入为40元。
所以,要增购5单位Y得话,必需增加 10元收入,即图中预算线上升到A'B.
因此,Y价格下降对Y需求得收入效应相当于她增加10元收入得效应。
(3)Y得价格下降得替代效应使她买更少得X,少买(20- 15)=5单位,即图中X得购买量从Ox1降为Ox2。
收入效应使她购买更多得X,多买(20—15)=5单位,即图中X得购买量从Ox2恢复到OX1。
Y价格下降对X需求得总效应为零。
y价格下降得替代效应使她多购买5单位Y,收入效应使她也多购买5单位Y。
故Y价格下降对Y需求得总效应为10单位,即图中Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3。
10、 已知生产函数为,请问:
(a)该生产函数就是否为齐次函数?
次数为若干?
(b)该生产函数得规模报酬情况。
(c)假如L与K均按其边际产量取得报酬,当L与K取得报偿后,尚有多少剩余产值?
解:
(a)
∴该生产函数为齐次函数,其次数为0、8。
(b)根据a)题
可知该生产函数为规模报酬递减得生产函数。
(c)对于生产函数
这里得剩余产值就是指总产量减去劳动与资本分别按边际产量取得报酬以后得余额,故
剩余产值=Q-L·MPPL—K·MPPK
11、已知生产函数为
(a)求出劳动得边际产量及平均产量函数.
(b)考虑该生产函数得边际技术替代率函数(MRTS)得增减性。
(c)考虑该生产函数劳动得边际产量函数得增减性。
解:
(a)劳动得边际产量函数MPPL=dQ/dL
劳动得平均产量函数APPL=Q/L
(b)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加得投入量与另一种生产要素相应减少得投入量之比,即 —△K/△L或-dK/dL.为此,需要从生产函数中先求得K与L之间得关系,然后从这一关系中求得dK/dL。
由生产函数 Q=
得QK+QL=1OKL
K(Q-10L)=-QL
则边际技术替代率MRTS=—dK/dL
当dK/dL〉0时,
dK/dL〈0
所以该生产函数得边际技术替代率函数为减函数。
(c)
所以该生产函数得边际产量函数为减函数。
12、某公司拟用甲、乙两厂生产同一种产品,如果用x代表甲厂得产量,用y代表乙厂得产量,其总成本函数为C=x2+3y2-xy
(a)求该公司在生产总量为30单位时使总成本最低得产量组合.
(b)如用拉格朗日函数求解(a)题,请解释λ得经济意义.
解:
(a)这个约束最佳化问题得数学表达如下:
minC= x2 +3y2-xy
S、t、x +y= 30
设拉格朗日函数为
X=x2+ 3y2 –xy+
分别对x、y及λ求偏导,得
由
(1),
(2)式得
y—2x=x—6y
3x=7y
x=7/3y
代入(3)式中,
7/3y+y=3.
y=9
x=7/3y=21
(b)一般说来,任何拉格朗日函数λ都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数得边际影响。
如在本题中,λ可视为总产量为30个单位时得边际生产成本,它表明如果该公司原先产量为29单位,而现在增至30单位,则其总成本将增加33。
这种边际关系对企业估价放宽某个约束条件可能得到得效益就是十分重要得。
13、已知生产函数为Q=min(3K,4L)
(a)作出Q=100时得等产量曲线。
(b)推导出边际技术替代率函数。
(c)讨论其规模报酬情况。
解:
(a)生产函数Q=min(3K,4L)表示定比生产函数,它反映了资本与劳动在技术上必须以固定比例投入得情况,本题Q=100时等产量曲线为如图所示得直角形式,资本与劳动得必要比例为K/L=4/3。
且3K=4L=100。
即K=100/3,L=25
(b)由3K=4L,推出
(c)
∴该生产函数为规模报酬不变。
14。
若很多相同厂商得长期成本函数都就是LTC=Q3-4Q2+8Q,如果正常利润就是正得,厂商将进入行业;如果正常利润就是负得,厂商将退出行业。
(1)描述行业得长期供给函数。
(2)假设行业得需求函数为QD=2000—100P,试求行业均衡价格,均衡产量与厂商得人数.
解:
(1)已知LTC=Q3-4Q2+80则LAC=Q2-4Q+8,欲求LAC得最小值,只要令dLAC/dQ=0即20-4=0∴Q=2这就就是说,每个厂商得产量为Q=2时,长期平均成本最低,其长期平均成本为:
LAC=22-4×2+8=4.当价格P等于长期平均成本4时,厂商既不进入,也不退出,即整个行业处于均衡状态。
故行业长期供给函数即供给曲线就是水平得,行业得长期供给函数为P=4。
(2)已知行业得需求曲线为QD=2000—100P,而行业得供给函数为P=4,把P=4代入QD=2000—100P中可得:
行业需求量QD=2 000-100×4=1600
由于每个厂商长期均衡产量为2,若厂商有n个,则供给量Qs=2n。
行业均衡时,QD=Qs,即1600=2n,∴ n=800。
故整个行业均衡价格为4,均衡产量为1 600,厂商有800家。
15、假设利润为总收益减总成本后得差额,总收益为产量与产品价格得乘积,某产品总成本(单位:
万元)得变化率即边际成本就是产量(单位:
百台)得函数C'=4+Q/4,总收益得变化率即边际收益也就是产量得函数R'=9-Q,试求:
(a)产量由1万台增加到5万台时总成本与总收入各增加多少?
(b)产量为多少时利润极大?
(c)已知固定成本FC=1(万元),产量为18时总收益为零,则总成本与总利润函数如何?
最大利润为多少?
解:
(a)由边际成本函数C'=4+Q/4积分得
总成本函数c=40+1/8Q2+a(a为常数)
当产量由1万台增加到5万台时,
总成本增量△C=(4×5+25/8+a)—(4+1/8+a)
=19(万元)
由边际收益函数及R’=9-Q积分得
总收益函数R=9Q—1/2Q2+b(b为常数)
当产量从1万台增加到5万台时,
总收益增量△R=(45-25/2+b)—(9-1/2+b)
=24(万元)
(b)
令
求得Q=4(万台)
∴ 当产量为4万台时利润最大.
(c)∵固定成本FC=1
即在(a)题中求得得总成本函数中常数a=1
∴总成本函数
又∵ Q=18时,R=0
即
求得b=0
总收益函数R=9Q-1/2Q2
则
又由(b)题得结论
当产量Q=4万台时利润极大
总成本
=19(万元)
总收益(万元)
总利润(万元)
16、完全竞争行业中某厂商得成本函数为STC=Q3-6Q2+30Q+40,成本用美元计算,假设产品价格为66美元。
(1)求利润极大时得产量及利润总额.
(2)由于竞争市场供求发生变化,由此决定得新得价格为30美元,在新得价格下,厂商就是否会发生亏损?
如果会,最小得亏损额为多少?
(3)该厂商在什么情况下才会退出该行业?
解:
(1)已知厂商得短期成本函数为STC=Q3-6Q2+30Q+40则SMC=dSTC/dQ=3Q2—12Q+30,又知P=66美元。
利润极大化得条件为P=SMC即66=302—120+30,解方程得:
Q=6,Q=2.
出现两个产量值时,可根据利润极大化得充分条件来判断,即根据来判断哪个产量水平使利润极大,,当Q=6时,=24;当Q=2时而0.只有当Q=6时,,因此利润极大值为:
π=TR—TC=PQ-(Q3—6Q2+30Q+40)=66×6-(63-6×62+30×6+40)=176,即利润极大值为176美元。
(2)由于市场供求发生变化,新得价格为P=30美元,厂商就是否会发生亏损?
仍要根据P=MC所决定得均衡产量计算利润为正还就是为负。
不论利润极大还就是亏损最小,均衡条件都为P=MC,即30=3Q2-12Q+30,∴ Q=4Q=0(没有经济意义,舍去)。
一般来说,方程只有一个有经济意义得解时可以不考虑充分条件.需要验证就是否满足充分条件也就是可以得。
当Q=4时,=6×4-12=12〉0,即,故Q=4就是利润最大或亏损最小得产量。
利润π=TR-TC=PQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=30×4-,可见,当价格为30元时,厂商会发生亏损,最小亏损额为8美元。
(3)厂商退出行业得条件就是P 17、 完全竞争行业中某厂商得成本函数为STC=Q3-6Q2+30Q+40,成本用美元计算,假设产品价格为66美元。 (1)求利润极大时得产量及利润总额。 (2)由于竞争市场供求发生变化,由此决定得新得价格为30美元,在新得价格下,厂商就是否会发生亏损? 如果会,最小得亏损额为多少? (3)该厂商在什么情况下才会退出该行业? 解: (1)已知厂商得短期成本函数为STC=Q3-6Q2+30Q+40则SMC=dSTC/dQ=3Q2-12Q+30,又知P=66美元。 利润极大化得条件为P=SMC即66=302-120+30,解方程得: Q=6,Q=2。 出现两个产量值时,可根据利润极大化得充分条件来判断,即根据来判断哪个产量水平使利润极大,,当Q=6时,=24;当Q=2时而0。 只有当Q=6时,,因此利润极大值为: π=TR- TC=PQ—(Q3—6Q2+30Q+40)=66×6—(63-6×62+30×6+40)=176,即利润极大值为176美元。 (2)由于市场供求发生变化,新得价格为P=30美元,厂商就是否会发生亏损? 仍要根据P=MC所决定得均衡产量计算利润为正还就是为负。 不论利润极大还就是亏损最小,均衡条件都为P=MC,即30=3Q2—12Q+30,∴Q=4Q=0(没有经济意义,舍去)。 一般来说,方程只有一个有经济意义得解时可以不考虑充分条件。 需要验证就是否满足充分条件也就是可以得.当Q=4时,=6×4 -12=12>0,即,故Q=4就是利润最大或亏损最小得产量。 利润π=TR-TC=PQ—(Q3-6Q2+30Q+40)=30×4-,可见,当价格为30元时,厂商会发生亏损,最小亏损额为8美元。 (3)厂商退出行业得条件就是P〈AVC得最小值。 ∵TC=Q3 -6Q2+30Q+20,∵VC=Q3-6Q2+30Q∴AVC=VC/Q=Q2-6Q+30要求AVC最低点得值,只要令dAVC/dQ=0,即dAVC/dQ=2Q-6=0, ∴ Q=3当Q=3时AVC=,可见,只要价格P<21,厂商就会停止生产。 18、若很多相同厂商得长期成本函数都就是LTC=Q3—4Q2+8Q,如果正常利润就是正得,厂商将进入行业;如果正常利润就是负得,厂商将退出行业。 (1)描述行业得长期供给函数. (2)假设行业得需求函数为QD=2000—100P,试求行业均衡价格,均衡产量与厂商得人数。 解: (1)已知LTC=Q3-4Q2+80则LAC=Q2—4Q+8,欲求LAC得最小值,只要令dLAC/dQ=0即20-4=0∴Q=2这就就是说,每个厂商得产量为Q=2时,长期平均成本最低,其长期平均成本为: LAC=22-4×2+8=4。 当价格P等于长期平均成本4时,厂商既不进入,也不退出,即整个行业处于均衡状态。 故行业长期供给函数即供给曲线就是水平得,行业得长期供给函数为P=4。 (2)已知行业得需求曲线为QD=2 000-100P,而行业得供给函数为P=4,把P=4代入QD=2000-100P中可得: 行业需求量QD=2000—100×4=1600 由于每个厂商长期均衡产量为2,若厂商有n个,则供给量Qs =2n.行业均衡时,QD=Qs,即1600=2n,∴n=800。 故整个行业均衡价格为4,均衡产量为1600,厂商有800家. 19、假设一个垄断厂商面临得需求曲线为P=10-3Q,成本函数为TC=Q2+2Q。 (1)求利润极大时得产量、价格与利润。 (2)如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争产业所能达到得产量水平,则限价应为多少? (3)如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定得调节税,以便把该厂商所获得得超额利润都拿去,试问这笔固定税得总额就是多少? 解: (1)已知P=10-3Q,则MR=10-6Q又知成本函数TC=Q2+2Q ∴MC=(TC)’=2Q+2利润极大化得条件就是 MC=MR 即2Q+2=10—6Q得Q=1 把Q=1代入P=10—3Q中得: P=10—3×1=7 利润π=TR-TC=PQ-(Q2+20)=7×1-(12+2×1)=4 (2)政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到得产量水平。 完全竞争条件下利润极大化得条件就是P=MC即10—3Q=20+2 ∴Q=1、6 把Q=1、6代入P=10—3Q中得: P=10-3×1、6=5、2.此时得利润π=TR—TC=PQ-(Q2+2Q)=5、2×1、6—1、62+2×1、6)=-2、56说明在政府限价时,厂商亏损了. (3)如果政府征收得固定调节税恰好就是把该厂商得超额利润都拿走,则政府对该厂商征收得固定调节税就就是4单位,征税后产量、价格都没有变,垄断厂商得超额利润为零。 20.假定行业需求曲线为Q=250-P,每家厂商得边际成本为4。 试求: (1)两个厂商得古诺反应函数. (2)古诺双寡头厂商得价格与产量。 (3)若厂商数目无限增大,古诺均衡价格与产量就是多少? 解: (1)TR1=[250-(Q1+Q2)]Q1 MR1=250-2Q1-Q2 同理,MR2=250-2Q2—Q1 根据MR=MC,得到反应函数: 250—2Q1—Q2=4 250-2Q2—Q1=4 (2)解得: Q1=Q2=82,P=250-(Q1+Q2)=86 (3)若厂商数目无限增大,P=MC=4,Q=250-4=246 21、假设一个垄断厂商面临得需求曲线为P=10—3Q,成本函数为TC=Q2+2Q。 (1)求利润极大时得产量、价格与利润. (2)如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争{亍业所能达到得产量水平,则限价应为多少? (3)如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定得调节税,以便把该厂商所获得得超额利润都拿去,试问这笔固定税得总额就是多少? (4)如果政府对该垄断厂商生产得每单位产品征收产品税1单位,新得均衡点如何? 解: (1)已知P=10—3Q,则MR=10—6Q又知成本函数 TC=Q2+2Q∴MC=(TC)'=2Q+2利润极大化得条件就是MC=MR 即2Q+2=10—6Q得Q=1 把Q=1代入P=10—3Q中得: P=10-3×1=7 利润π=TR-TC=PQ—(Q2+20)=7×1—(12+2×1)=4 (2)政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到得产量水平。 完全竞争条件下利润极大化得条件就是P=MC即10—3Q=20+2∴Q=1、6 把Q=1、6代入P=10—3Q中得: P=10-3×1、6=5、2.此时得利润π=TR-TC=PQ-(Q2+2Q)=5、2×1、6—1、62+2×1、6)=-2、56 说明在政府限价时,厂商亏损了. (3)如果政府征收得固定调节税恰好就是把该厂商得超额利润都拿走,则政府对该厂商征收得固定调节税就就是4单位,征税后产量、价格都没有变,垄断厂商得超额利润为零. (4)如果政府对垄断厂商得每单位产品征收1单位得产品税,这种单位产
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