7•如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()
A.90jtB.63kC.42兀D.36兀
【解答】解:
由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,
V=jt32x10-i-7r32x6=63/1,
2
故选:
B.
1-某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()
A.10B.12C.14D.16
【解答】解:
由三视图可画出直观图,
该立体图中只有两个相同的梯形的面,
S様形(2+4)=6,
•••这些梯形的面积之和为6x2=12,
故选:
B
2•已知直三棱柱ABC-AiBiCi中,ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,则异面直线
ABi与BCi所成角的余弦值为()
A•逅B.亟C.亟
255
【解答】解:
【解法一】如图所示,设M、N、P分别为AB,BBi和BQ的中点,则ABlxBCi夹角为MN和NP夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,今]),
可知mn=1abi&E,
22
Np4bCi=^;
22
作BC中点Q则为直角三角形;
VPQ=1,MQ=XaC,
AABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2ABBCCOS乙ABC
=4+1-2x2x1X(-i)
=7,
•••AC=V7,
MQ=^_;
2
在ZXMQP中,MP詬丙孕呼;
在APHN中.由余弦定理得
3MNP込涯障'拿严1匚-VW
2U【H・NPXV25
八22
又异面直线所成角的范围是(0,牛],
乙
补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,求ZBCiD即可;
BCi=逅bd=722+12-2X2X1XCos60s
CiD二晶,
BCi®BD2=CiD2
...乙DBC1=9O。
,
.•.COS乙.
V55
二•填空题(共5小题)
8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面
SCA丄平面SCB,SA二AC,SB二BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为36兀.
【解答】解:
三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径为r,可得寺x£x2rXrXm解得=3.
球O的表面积为:
4兀.
故答案为:
36兀.
9•长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为14兀
【解答】解:
长方体的长、宽、高分别为3,2.1,其顶点都在球O的球面上,可知长方体的对角线的长就是球的直径,
故答案为:
14兀.
io•已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为里匚-
~2—
【解答】解:
设正方体的棱长为a.
•••这个正方体的表面积为18,
.•.6a2=18,
则a2=3,即a=V3;
•••一个正方体的所有顶点在一个球面上,
正方体的体对角线等于球的直径,
即V3a=2R,
即R-|,
则球的体积(|)彳誓;
故答案为:
晋-
H-由一个长方体和两个寺圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为
4
2+2L.
—2—
【解答】解:
由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V,=2x1x1=2,
圆柱的底面半径为1,咼为1,则圆柱的体积1,X1=_孕,
44
则该几何体的体积V二W+2V&2+芈,故答案为:
2-A.
12•如图,在圆柱OQ2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆
柱O1O2的体积为Vi,球O的体积为V2,则;丄的值是•
V2—_2—
【解答】解:
设球的半径为R,则球的体积为:
圆柱的体积为:
7tR22R=27tR3.
故答案为
三•解答题(共9小题)
13•如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且ZBAP=ZCDP=90°.
(1)证明:
平面PAB丄平面PAD;
(2)若PA二PD二AB二DC,^APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为空
3
求该四棱锥
的侧面积•
【解答】证明:
(1)•••在四棱锥P-ABCD中,ABAP=ZCDP=90°,
・・AB丄PA,CD丄PD,
又AB〃CD,.-AB1PD,
•・・PAAPD二P,・•・AB丄平面PAD,
•・•AB平面PAB,・•・平面PAB丄平面PAD.
解:
(2)设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO,
・・・PA=PD=AB=DC,^APD=90°,平面PAB丄平面PAD,
••.PO丄底面ABCD,且AD=7/7咅届,PO誓j
•••四棱锥P-ABCD的体积为鲁,二Vp-abcd冷XS四边形筋(RXP0电XABXADx卩雋x近&乂¥二鲁解得a=2,.-.PA=PD=AB=DC=2,AD二BC=2伍,PO二近,
・・・PB=PC=V4+4=2V2,・・・该四棱锥的侧面积:
S#j=Sapad+Sapab+Sapdc+Sapbc
XPAXPD+寺XPAXAB-号XPDXDC+寺XBCX\[pB°-(¥)'
=6+2^3.
14.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD.AB二BC)AD,ZBAD=ZABC=90°.
2
(1)证明:
直线BC〃平面PAD;
(2)若Z\PCD面积为2听,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解答】
(1)证明:
四棱锥P-ABCD中,vZBAD=ZABC=90°./.BC#AD,/AD平面PAD,BC平面PAD,
•••直线BC〃平面PAD;
(2)解:
四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD.AB=BC=XaD,ZBAD=ZABC=90°.设AD=2x,则AB=BC=x,CD=^2K,O是AD的中点,连接PO,OC,CD的中点为:
E,连接OE,则O£=¥或卩0二岛&PE^po2+oe2=^,APCD面积为2听,可得:
i-PE-CD=2V7.
即:
寺二2丁^解得x=2,PE=2V3•
则Vp」bcd圣洁(BC+AD)xABxPO=1-x-1-x(2+4)X2X2%/^=4曲.
15.如图四面体ABCD中,AABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:
AC丄BD;
⑵已知AACD是直角三角形,AB二BD,若E为棱BD±与D不重合的点.且AE丄
EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
【解答】证明:
(1)取AC中点O,连结DO、BO,
•■•△ABC是正三角形,AD二CD,•・DO丄AC,BO丄AC,vDOABO=O,/.AC丄平面BDO,
・.・BD平面BDO,・•・AC丄BD.
解:
⑵法一:
连结OE,由
(1)知AC丄平面OBD,•・OE平面OBD・・OE丄AC,
设AD=CD二血贝IJOC=OA=1,
・•・E是线段AC垂直平分线上的点,・・・EC=EA=CD=V2,由余弦定理得:
2BOBE
cos乙CBD」C2十ED—CdJb以十阮2—CE2
BE<BE二ED,・・Sadce=Sabce,
四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
法二:
设AD=CD=^/2,贝IJAC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1,
BO=V4-l=V3,BO2+DO2=BD2,BO丄DO,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(-1,0,0),D(0,0,1)tB(0,V3,0),A(1,0,0),
设E(a,b,c),DE=XDB,(0©Wl),则(a,b,c-1)=X(0,负
得e(o,V5U,
.-.CE=(1,書九,1-入),応(-1.體九,1-入),
•・・AE丄EC,/.AE^CE=-1+3X2+(1-X)2=0,
由Xe[O,1],解得k=l,/.DE=BE,
乙
・・・四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,•・•DE二BE,・•・Sadce=Sabce,
四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
16•如图,直三棱柱ABC-A|B]Ci的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AAi的长为5.
(1)求三棱柱ABC-AjBiCi的体积;
(2)设M是BC中点,求直线九“与平面ABC所成角的大小.
【解答】解:
(1)•••直三棱柱ABC-A|B|C]的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA,的长为5.
三棱柱ABC-AiBiCi的体积:
V=SaabcxAAi
冷xabxacxaA]令心乂2X5=2。
-
⑵连结AM,
V直三棱柱ABC-AiBiCi的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AAi的长为5,M是BC中点,•••AAi丄底面ABC,AM=i-BC=yV16+4
乙乙
ZAiMA是直线AiM与平面ABC所成角,
tan乙AiMA=H=鼻二珞,
AMV5
•••直线AiM与平面ABC所成角的大小为arctan衝.
17
PA=AB=BC=2,D为
•如图,在三棱锥P-ABC中,PA丄AB,PA丄BC,AB丄BC,线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:
PA丄BD;
(2)求证:
平面BDE丄平面PAC;
(3)当PA〃平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
【解劄解:
⑴证明:
由PA丄AB,PA1BC,
AB平面ABC,BC平面ABC,且ABQBC二B,
可得PA丄平面ABC,
由BD平面ABC,
可得PA丄BD;
(2)证明:
由AB=BC,D为线段AC的中点,
可得BD丄AC,
由PA丄平面ABC,PA平面PAC,
可得平面PAC丄平面ABC,
又平面ABCG平面ABC=AC,
BD平面ABC,且BD丄AC,
即有BD丄平面PAC,
BD平面BDE,可得平面BDE丄平面PAC;
(3)PA〃平面BDE,PA平面PAC,
且平面PACG平面BDE=DE,
可得PA〃DE,
又D为AC的中点,
可得E为PC的中点,且DE=1PA=1,
由PA丄平面ABC,
可得DE丄平面ABC,
可得SABD€=^-SAABC=-i-x-^-x2x2=l,
厶乙乙
则三棱锥E-BCD的体积为吉DESabdc圣x1x1-1.
18•如图,在四棱锥P-ABCD中,AD丄平面PDC,AD〃BC,PD丄PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(II)求证:
PD丄平面PBC;
(III)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【解答】解:
(I)如图,由已知AD〃BC,
故乙DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD丄平面PDC,所以AD丄PD.