天津市南开中学届高三数学理统练6.docx
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天津市南开中学届高三数学理统练6
天津市南开中学
2015届高三数学统练6
一、选择题(共
12个小题.每小题5分,共
60分)
1.
a
0,b
0,则p
b2
a2
a
b的大小关系为
(
)
a
与q
b
A.p
q
B.
p
q
C.
p
q
D.
p
q
2.
已知a
b
c,则
1
b
1
c
4
的值是(
)
a
bc
a
A.非负数
B.非正数
C.正数
D.
不确定
3.
关于函数f
x
ln2
x
下列描述正确的有(
)个
①函数f
x
在区间
1,2
上单调递增;
②函数y
f
x
的图象关于直线
x
2对称;
③若x1
x2,但fx1
fx2
,则x1
x2
4;
④函数f
x
有且仅有两个零点.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.
已知函数f
x
xax
1
(a
0,a
1),则
ax
1
A.函数f
x
在
0,+
上是增函数
B.
函数f
x在
0,+
上是减函数
C.函数f
x
是奇函数
D.函数f
x是偶函数
5.
设a
0,f
x
ax2
bxc,曲线y
f
x在点Px
f
x
处的切线的倾斜角的
0
0
范围是0,
,则点P到曲线y
f
x
对称轴距离的取值范围是(
)
4
A.0,
1
B.0,
1
C.
0,
b
D.
0,b
1
a
2a
2a
2a
6.
若x
(1,2)
时,不等式(x
1)2
logax恒成立,则
a的取值范围是(
)
A.(0,1)
B
.(1,2)
C.
(1,2]
D.
[1,2]
7.
不等式
1
log2x
1
log2x的解集为(
)
A.[2,
)
B
.(1,8)
C
.(2,
)
D
.(1,
)
-1-
8.若1
x
9,则f(x)
log3
x
log3(3x)(
)
27
27
A.有最小值
32
3
B.
有最小值
4,最大值12
,最大值
9
C.有最小值
32
D.
无最小值,有最大值12
,无最大值
9
9.
已知:
a,b,c,d满足:
log1
a3a,log1b
2b,
1
log2c,
1
2
2
3c
2d
a,b,c,d的大小关系是(
)
A.
a
b
c
d
B.a
b
c
d
C.
a
b
d
c
D.b
a
c
d
10.
设点P在曲线y
1
ex上,点Q在曲线y
ln(2x)上,则PQ最小值为(
2
log2d.则
)
(A)1ln2(B)2(1ln2)(C)1ln2(D)2(1ln2)
11.对实数a
和b
”:
a
a,
a
b
1,
,定义运算“
b
a
b
设函数
b,
1.
fxx2
2
xx2
,x
R.若函数yfx
c的图象与x轴恰有两个公共
点,则实数c的取值范围是(
)
.
A.
2
1,3
2
C.
1
1
1,
4
4
B.
2
1,3
4
D.
3
1
1,
4
4
12.设函数fx满足x2fx2xfx
ex
f2
e2
则x0,时,f
x(
)
x
8
(A)有极大值,无极小值
(B)有极小值,无极大值
(C)既有极大值又有极小值
(D)既无极大值也无极小值
二、填空题(共6个小题.每小题5分,共30分)
13.函数yln6xx2的单调递增区间是.
14.计算定积分(sinxcosx)dx
_______________
0
15.已知函数fxax2xxlnx在区间1,上单调递增,则实数a的取值范围是
-2-
____________.
16.
设函数f(x)
x3
2ex2
mx
lnx,记g(x)
f(x),若函数g(x)至少存在一个零点
则实数
x
m的取值范围是______.
17.
已知函数
3
1,
1
x
f
x
xx
gx()
m
若对
3
2
x1[1,3]
x2
[0,2]
f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是______.
18.若不等式mx3lnx1对x0,1恒成立,则实数m的取值范围是_______.
三、解答题(共有4个题,每题15分)
19.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:
①每位参加者
计分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任
意题减2分;
②每答一题,计分器显示累计分数,当累积分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累积
分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;答完四题累计分数不足14分时,答题结
束淘汰出局;
③每位参加者按A,B,C,D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为3,1,1,1,且各题回答正确与否相互之
4234
间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;(Ⅱ)用表示甲同学本轮答题的个数,求
的分布列和数学期望E.
20.设函数f(x)ex1xax2.
若a
0
,求
f(x)
2
0时
f(x)0
,求
a
的取值范围.
的单调区间;()若当x
21.已知函数f(x)exkx,xR
-3-
(Ⅰ)若k
e,试确定函数
f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若k
0,且对于任意
x
R,f(x)
0恒成立,试确定实数
k的取值范围;
n
(Ⅲ)设函数
F(x)f(x)
f(
x),求证:
F
(1)F
(2)F(n)(en12)2
(nN).
22.已知a,b是实数,1和
是函数f(x)
x3
ax2
bx的两个极值点.
1
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)
2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)f(f(x))c,其中c
[
2,2],求函数y
h(x)的零点个数.
班级姓名学号成绩
天津南开中学2015届高三数学统练6(理科)答题纸
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13._____________14.______________15._____________
16.______________17._____________18.______________
三、解答题
19.
-4-
20.
21.
22.
-5-
天津南开中学2015届高三数学统练6(理科)答案
一、选择题
题
123456789101112
号
答
DACDBCDBABBD
案
二、填空题
13.
2,1
14.2
15.
1,
16.(,e21
]
17.m
5
e2
18.[,)
2
2e
e
4
3
-6-
(Ⅱ)由题意可知随机变量可能的取值为2,3,4,.
由于每题的答题结构都是相对独立的,所以P(
2)
P(N1N2)
1
3
1
1
3
1
2
3
8
P(
3)P(M1M2M3)P(M1N
2N
3)
2
3
4
2
3
8
4
P(
3)1
P(
1)
P(
2)
1
1
3
1
8
8
2
因此随机变量
的分布列为
1
2
3
P
1
3
1
8
8
2
所以E
2
1
3
1
27
.
3
8
4
8
8
2
20.解:
(1)a0时,f(x)ex1x,f'(x)ex1.
当x(,0)时,f'(x)0;当x(0,)时,f'(x)0.故f(x)在(,0)单调减少,
在(0,)单调增加
(II)f'(x)ex12ax
由(I)知ex1x,当且仅当x0时等号成立.故
-7-
f'(x)
x2ax
(12a)x,
从而当1
2a
0,即a
1
0),而f(0)
0,
时,f'(x)0(x
2
于是当x
0时,f(x)
0.
由ex
1
xx
0)
可得ex
1
x(x
0).从而当a
1
时,
(
2
x
x
x
x
x
,
f
x
e
ae
1)
e
(
e
e
a
'()
12(
1)(
2)
故当x
(0,ln
2a)时,f'(x)
0,而f(0)
0,于是当x
(0,ln
2a)时,f(x)0.
综合得a的取值范围为(
1].
2
21.解:
(Ⅰ)由k
e得f(x)ex
ex,所以f
(x)
ex
e.
由f(x)
0得x
1
,故f(x)的单调递增区间是
(1,
),
由f(x)
0得x
1,故f(x)的单调递减区间是
(
,1).
(Ⅱ)由f(
x)
f(x)可知f(x)是偶函数.
于是f(x)
0对任意x
R成立等价于
f(x)
0对任意x≥0成立.
由f(x)ex
k0得xlnk.
①当k
(0,1]
时,f
(x)
ex
k
1
k≥0(x
0).
此时f(x)在[0,
)上单调递增.
故f(x)≥f(0)
1
0,符合题意.
②当k
(1,
)时,lnk0.
当x变化时f
(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,lnk)
lnk
(lnk,
)
f(x)
0
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
由此可得,在
[0,
)上,f(x)≥f(lnk)
k
klnk.
依题意,k
klnk
0,又k
1,1
k
e.
综合①,②得,实数
k的取值范围是0
k
e.
(Ⅲ)
F(x)
f(x)
f(x)
ex
ex,
F(x1)F(x2)
ex1x2
e(x1x2)
ex1x2
ex1x2
ex1x2
e(x1x2)
2ex1x2
2,
F
(1)F(n)
en
1
2,F
(2)F(n
1)
en
1
2
F(n)F
(1)
en1
2.
由此得,
[F
(1)F
(2)
F(n)]2
[F
(1)F(n)][F
(2)F(n1)]
[F(n)F
(1)]
(en1
2)n
-8-
F(n)(en1
n
故F
(1)F
(2)
2)2,nN.
22.解:
(1)由f(x)x3
ax2
bx,得f'(x)
3x2
2ax
b。
∵1和
1是函数f(x)
x3
ax2
bx的两个极值点,
∴f'
(1)
3
2ab=0,f'(
1)
3
2a
b=0,解得a=0,b=
3。
(2)∵由
(1)得,f(x)
x3
3x
,
∴g(x)
f(x)2=x3
3x
2=
x
1
2
2
,解得x1=x2=1,x3=2。
x
∵当x<
2时,g(x)<0;当
2
∴x=
2
是g(x)的极值点。
∵当
2
0,∴
x=1不是g(x)的极值点。
∴g(x)的极值点是-2。
(3)令f(x)=t,则h(x)
f(t)
c。
先讨论关于x
的方程f(x)=d
根的情况:
d
2,2
当d=2时,由
(2)可知,f(x)=
2的两个不同的根为I和一2
,注意到
f(x)是奇函数,∴f(x)=2的两个不同的根为一和
2。
当d<
2时,∵f
(1)
d=f
(2)
d=2
d>0,
f
(1)d=f
(2)d=2
d<0
,
∴一2,-1,1,2
都不是f(x)=d的根。
由
(1)知f'(x)=3x
1x
1
。
①当x
2,
时,f'(
x)
>0
,于是f(x)是单调增函数,从而
f(x)>f
(2)=2。
此时f(x)=d在2,
无实根。
②当x
1,2
时.f'(x)>0
,于是f(x)是单调增函数。
又∵f
(1)
d<0,f
(2)d>0,y=f(x)
d的图象不间断,
∴f(x)=d
在(1,2
)内有唯一实根。
-9-
同理,f(x)=d在(一2,一I)内有唯一实根。
③当x1,1时,f'(x)<0,于是f(x)是单调减两数。
又∵f
(1)d>0,f
(1)d<0,y=f(x)d的图象不间断,
∴f(x)=d在(一1,1)内有唯一实根。
因此,当d=2时,f(x)=d有两个不同的根x1,x2满足x1=1,x2=2;当
d<2时
f(x)=d有三个不同的根x3,x1,x5,满足xi<2,i=3,4,5。
现考虑函数yh(x)的零点:
(i)当c=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足t1=1,t2=2。
而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故yh(x)有5个零
点
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