第6章傅里叶积分.docx
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第6章傅里叶积分
第六章傅里叶积分
§28.非周期函数的傅里叶积分
非周期函数看成周期为乂的周期函数,由实数形式的傅氏展开式
f(x)二
O0
'(akcos
k=0
bksin
k-
l
012k
令「:
,「[二L「L分别为,O「’1「2L,kL
_,Cd
则上式可表示为f(x)八,(akcoskXbkSin「kX)
k±
n
注意到"■二’k1i'k=「当周期趋于X时
Jtd。
因此,对于周期为北的周期函数
[11
f(x)=lim'{[f()coskd]coskx[-f()sinkd]sinkx}Y"M'丄l=
k£"k
001l
=lim、{[-
i
kz0、k
1l
Jf(Jcos叭巴d勺85叭泌们+[—Jf(:
)sino^d勺sin^kxM}
若fQ有限:
:
i:
:
^
牡垐垐程[f()cosd]cosxd[-f()sind]sinxd
°二;07;-:
-
噲k垐华垐lim1.f()d£〔Y2l丄
令A(J=1f(x)cosxdx
H
1oO
B(■)f(x)sinxdx
n
则周期为x的非周期函数f(x)的傅氏级数变为傅氏积分
□OoO
f(x)A()cosxdB()sInxd
9P
其中A()和BC)为f(x)的傅里叶变换式。
由复数形式的傅氏展开式:
f(x)八Cke_
k=-:
:
Ck=1:
f(x)(e〒)*dx
2丨口
f(x)二lim'[
21J
.k-x.k-x
「I•i-'
f(x)e丨dx]e丨
DOA
二lim'[
丨二:
k=_oo
丨
」f(x)e」kXdx]eikX-"-=-■
.]f(x)eJ"dx]erxd■
f(x)二二F()dxd
1oO
其中f®尸一xet*dx,称为f(x)的傅氏变换,可记为
2兀
F(「F[f(x)]f(x)二F'[F()]
傅氏积分的性质:
1f'(x)的傅氏变换iF()
1
2.f(x)dx的傅氏变换二—F()
i国
3延迟定理F[f(x)PF()则F[f(x-x°)「F()£x0
4位移定理F[e°xf(X)]=FC八。
)
5卷积定理F[[ff)f2(x-©)d勺=FW)尸2(巧2
傅氏变换和拉氏变换的关系:
傅氏变换是拉氏变换中P取纯虚数i
的特殊形式,傅氏变换中对f(x)的要求比较严格,而拉氏变换中仅要
求f(x)随X的增长速度不快于eRepx
周期函数和非周期函数的频谱的区别:
周期函数的傅氏变换式频
k兀
谱是分立的,k二「二,二-,而非周期函数的傅氏变换式中的
频谱是连续的:
■>0。
三维空间中的傅氏变换式
f(r)二
oO
出
F(k)eikrdkidk2dk3
耳T*
f(r)'(er)dxdydz
f(r)=0)
1
3/2
-□0
F(k)e-dk
彳1
F(k)”「(w)dr
dxdydz
dk三dk1dk2dk3
0,tc—T
例1.研究矩形脉冲fgWn-TcYT的频谱。
0,T 解: f(t)=J。 A代)cos怕td灼 2hsinT 12T A()f(t)costdthcostdt= 0 例2把展为傅氏积分(Sakt二響称为抽样函数) tkt QO 解: f(t)=oA()costd 2°°sinot1°°1处1 A()costdt[sin(")tdtsin(-「)tdt] n0tc■、c■ m02 0,m=0 n —,m£0 /: : sinmx1: : sinmx (0=TdxP .、2 严-e」mx)dx) .1严1/i dx(e x2i汎 "0,a>Q 则: A(),■--: .1 I2 A(w) w §29函数和它的傅里叶积分 函数是数学物理中很重要的数学概念,它描写空间中的点源和时间上瞬时源,它是广义函数。 §29.1—维「•函数的定义 在物理上通常需要描写自变量取某个特定值时函数值为无穷大,而自变量取其他值时,函数值为零,但函数沿定义域的积分值有限。 即: (x-X))= &,x=X 、OQXg 00 IiJ(x~X)y)dx=1 --: Xo-; (x-Xo)dx=-1,(x-x0)dx=1.(0) 旳x)-e §29.2'函数的性质 1.对于任意缓变的连续函数f(x) 旳xo^z (x-x))f(x)dx=(x-x0)f(x)dx -: : xo—; xo0 (xo-rxo+£)f(x)J6(x-x))dx=f(x)广f(xo) xo_gixo 2.(-x)=(x) t二—X: : : __f(x)(x)dx……f(-t)(t)dt二_f(-t)(t)dt二f(o) og f(x)(x)dx=f(o)=(x)=(-x) —cO 3.f(x)(x-a)二f(a)(x-a) f(x)(x-a)dx=j—f(x)(a-x)dx=f(a) : : f(a)(x-a)dx二f(a) 4.x(x)二o (x)(u)n(x—)(2D(x)匚X—)笔 (x)(u)二L—匸x—)(u): nxpxpe y()—HXP(引)(>? —x)gTQ05一(OX—XKX二Hxp4P4Pqr xp (ox—xyp (X二 xp (ox—xyp (X二 esq—e£(e二bT(q)JH 00xpsJ-b—x)气jHXPBP(x—eKe)JJ=q—x)g§fH00ooooxgp(e—xKe二J=q—X)g8jHepKpb—xKe—x)^二(e)Jjoooooooo(q—e)gHXP(q—x)9{e—x)gj.9 Q0 e-一e Qu— Qu— : 一erYz xp(x)g(X)jJ"H L$(0二 Qu— Qu— 引ee{T二j"xp(x-e_)g(x)4rxp(x-e-—)g(x)4'.JXP^)g(x)'l4P4oo><爭一oooo_wvro egeeeEX8=1oo—xp(x)締「(x)4F(0)4「xp「eco("二-Hxpge)^二-LgLL482g •m .j=p{A)gj』HXP(xe)gooOoL oo— II1jHxp《e—)gjHxpae)p-oo Qo oo 0OI oo(X)4HX •< (xe): xp(x)g(x)JJ oo 9.x(x)二」(x) x(x)dx二x(x)|土〔j_」(x)dx —C30—C3Q 10.凶二(x)u(x)为阶跃函数 dx OCIdu(x)DOO0 f(x)dx=f(x)du(x)二f(x)u(x)匚-f(x)u(x)dx —CQvx—CQ—SO 二f(T-「(x)dx二f(T-[fC)-f(0)] =f(0)=i—f(x)(x)dx -CO 11.若方程(x)=(只有单根,分别为Xj(i二1,2,311)则 Wi需 证明: 取只包含Xi的区间(x-rx+OC>0)计算积分 X「;y「(x): : (x「;) x-f(x)[(x)]dxdyJ(x)dx一) f(x)(y) dy (x) f(Xi) '(Xi) '(xi)0 f(Xi) -'(Xi) '(Xj)0 f(Xi) I'(x)l 于是 : f(x)[(x)]dx八 i f(x)_ 帀」(x)(x-x)d"f(x);f(x)「 (x_X)I'(x)| ]dx 则有[(X)]八 i (X_Xi)I'(GI 特例 x-ax- 1 a-b 『】x-a]亠门x-b __1__a=06(X) 2忖6(x_a)"(x+a)]=gx? (x_a)+6(x+a)p-j^- §29.3函数的付氏积分(表示) □0■ 卜x 0011 cexd二cxed _o0 w2: 2": 。 1k1sinkx a.(X珂哩坯3»迎;=: 该极限并不存在但对于a<0 m-- ! =k b1sinkx dx a二x 二siny二宁dy「 1 b.x二lim 1・: 。 2•总ILJ eixd : e「ixd=lim丄二20tt: 0二■x2 §29.4三维,函数及其付氏积分 r=r03 r-r0■-frr-r0dr二fr0 II。 二 〕M(r-ro)d3r=1 u_oO U,-r0)=JUc(k)eikZdl3kc(k)=」y _: : (2二)3 一IIie'krd3k=: x_x°: y_y°: Z_z° 2-_: :
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