第二章平面力系.docx
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第二章平面力系
第二章平面力系
教学目标:
掌握平面力系向一点简化的一般结果和最终结果;掌握平面任意力系的平衡方程;掌握平面特殊力系的平衡方程。
重点、难点:
平面力系平衡方程求解力学问题。
学时分配:
8学时。
§2-1平面任意力系的简化
一平面任意力系向一点简化——主矢与主矩
设刚体上作用有n各力
、
、…、
组成的平面任意力系,如图3-2a所示,在力系所在平面内任取点O作为简化中心,由力的平移定理将力系中各力矢量向O点平移,如图3-2b所示,得到作用于简化中心O点的平面汇交力系
、
、…、
,和附加平面力偶系,其矩为
、
、…、
。
平面汇交力系
、
、…、
可以合成为力的作用线通过简化中心O的一个力
,此力称为原来力系的主矢,即主矢等于力系中各力的矢量和。
有
平面力偶系
、
、…、
可以合成一个力偶,其矩为
,此力偶矩称为原来力系的主矩,即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。
有
结论:
平面任意力系向力系所在平面内任意点简化,得到一个力和一个力偶,如图所示,此力称为原来力系的主矢,与简化中心的位置无关;此力偶矩称为原来力系的主矩,与简化中心的位置有关。
利用平面汇交力系和平面力偶系的合成方法,可求出力系的主矢和主矩。
如图所示,建立直角坐标系oxy,主矢的大小和方向余弦为
主矩的解析表达式为
二平面任意力系简化结果讨论
(1)当
时,简化为一个力偶。
此时的力偶矩与简化的位置无关,主矩Mo为原来力系的合力偶矩。
(2)当
时,简化为一个力。
此时的主矢为原来力系的合力,合力的作用线通过简化中心。
(3)当
时,简化为一个力,此时的主矢为原来力系的合力,合力的作用线到O点的距离d为
如图3-4所示,合力对O点的矩为
于是得合力矩定理:
平面任意力系的合力对力系所在平面内任意点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
(4)当
时,平面任意力系为平衡力系。
由上面
(2)、(3)可以看出不论主矩是否等于零,只要主矢不等于零,力系最终简化一个合力。
§2-2平面力系的平衡方程
一平面任意力系平衡方程
1.平面任意力系:
工程上把作用在物体上的力的作用线都在同一个平面内,且成任意分布状态的力系,称为平面任意力系。
2.力系的平衡:
(1)平衡条件:
力系中所有的力,在两个不同方向的坐标轴X,Y上投影的代数和等于零,力系中所有的力对平面内任意一点O的力矩代数和为零。
即
∑Fix=0
∑Fiy=0
∑Mo(Fi)=0
上式为平面任意力系的平衡方程。
两个投影式,一个力矩式,是平面任意力系的基本形式。
(2)二力矩式平衡方程:
∑Fix=0
∑MA(Fi)=0
∑MB(Fi)=0
注意:
其中A,B两点的连线不能与X轴垂直。
(3)三力矩式平衡方程:
∑MA(Fi)=0
∑MB(Fi)=0
∑MC(Fi)=0
注意:
A,B,C三点不能与同一条直线上。
例2-1起重机的水平梁AB的A端以铰链铰接,B端用拉杆BC拉住,已知:
梁重G=4KN,载荷G1=10KN,梁的尺寸如图所示,求拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
解:
(1)取AB梁为研究对象
(2)画受力图(3)列平衡方程:
∑Fix=0FAX-FTcos30。
=0
∑Fiy=0FAY+FTsin30。
-G-G1=0
∑Mo(Fi)=0FT×ABsin30。
-G×AD-G1×AE=0
(4)解方程
FT=(G×AD+G1×AE)/(ABsin30。
)=17.33KN
FAX=FTcos30。
=15.01KN
FAY=-FTsin30。
+G+G1=5.34KN
3固定端约束的反作用力:
固定端约束反力分解为两个互相垂直的分力FAX和FAY和一个力偶MA代替。
例2-2如图所示,一车刀,刀杆夹持在刀架上,形成固定端约束,已知:
长度l=60mm,F=5.2KN,a=25度试求:
固定端的约束反力。
解:
取车刀为研究对象,画受力图。
图4-4
∑Fix=0-Fsin25。
+FAX=0
∑Fiy=0-Fcos25。
+FAY=0
∑Mo(Fi)=0MA-Flcos25。
=0
解得:
FAX=Fsin25。
=5.2×0.4323=2.2KN
FAY=FCOS25。
=5.2×0,906=4.7KN
MA=Fcos25。
=5.2×0.06×0.906=283N.m
例2-3如图所示,支架的横梁AB与斜杆DC以铰链连接,并连接于墙上,已知:
AC=CB,杆DC与水平面成45。
,载荷F=10KN,作用于B处,各杆自重不计,求:
铰链A的约束反力和杆DC所受的力。
解:
(1)取AB为研究对象,画受力图。
(2)列平衡方程:
∑Fix=0FAX+FCcos45。
=0
∑Fiy=0FAY+FC-F=0
∑Mo(Fi)=0lFCsin45。
-2lF=0
解得:
FC=2F/sin45。
=28.28KN
FAX=-FCcos45。
=-20KN
FAY=F-FCsin45。
=10-20=-10KN
4物体系的平衡问题
在工程中,由若干个物体组成的结构称为物体系。
当系统平衡时,组成该系统的每一个物体都处于平衡状态,因此,对于每一个受平面任意力系作用的物体,均可以写出三个平衡方程。
对于这类问题,通常是先求解各个物体的平衡,在取整体为研究对象,列平衡方程,进行求解。
详见习题。
二特殊力系平衡方程
(一)平面汇交力系:
作用于物体上的力作用线都在同一平面内,而且相交于一点的力系,称为平面汇交力系。
1.平面汇交力系合成的几何法
如图所示,选比例尺,画出合力,封闭的折线0abc称为力的多边形,表示合力F的有向线段OC称为力多边形的封闭边,用力的多边形求合力的作图规则称为力多边形法则。
结论:
平面汇交力系合成的结果是一个合力,其大小和方向由力多边形的封闭边来表示,其作用线通过个力的汇交点。
即合力等于各分力的矢量和。
即:
F=F1+F2+……+FN=∑Fi
平面共线力系:
力系中各力的作用线沿同一直线作用,称为共线力系。
是平面汇交力系的特殊情况。
2.平面汇交力系平衡的几何条件:
平面汇交力系平衡必要充分几何条件:
力系中各力构成的力的多边形自行封闭。
矢量式表达:
F=F1+F2+……+FN=∑Fi=0
几何法:
按比例画出封闭的力多边形,根据几何关系或三角公式计算未知量的解题方法。
例2-4:
如图所示,起重机吊起一减速端盖,端盖重为G=200N,钢丝绳与垂线夹角为α=60。
,β=30。
。
求钢丝绳AB和AC的拉力。
解:
①取端盖为研究对象做受力图。
端盖受重力G,拉力FTB和FTC作用而平衡,交于A点。
②选取比例尺做铅垂矢量ab=200N,做平行于FTB和FTC的两条直线ac和bc,它们相交于c点,得到三角形abc.
③按选取的比例尺量得
FTB=bc=100N,FTC=ac=173N。
FTB=Gcos60。
=100N,FTC=Gsin30。
=173N.
小结:
(1)选取适当的物体为研究对象,画出受力图。
(2)作力封闭三角形或多边形,比例尺要适当。
(3)在图上量出或用三角公式计算未知量。
3.平衡的必要与充分条件:
力系的合力等于零。
∑Fix=0
∑Fiy=0
4.平衡的解析条件:
力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
5.平衡方程:
∑Fix=0
∑Fiy=0
例2-5如图所示,平面刚架在C点处受一水平力F作用,F=20KN,不计自重,求刚架铰链支座A和活动铰链支座B处的约束反力。
解:
(1)取刚架为研究对象,画收力图。
(2)选取坐标系,如图所示。
FA与X轴夹角为a。
(3)列方程:
∑Fix=0F+FAcosa=0
∑Fiy=0FB+FAsina=0
∴FA=-F/cosa=(-5/4)F=-25KN(负号表示FA的假设方向与实际方向相反)
∴FB=-FAsina=-(-25)×3/5=15KN
例2-6如图所示,重物G=20KN,用钢丝绳挂在支架的滑轮上,钢丝绳的另一端饶在绞车D上,杆AB与BC铰接,并与铰链A,C与墙铰接。
如果两杆和滑轮重量不计,求:
杆AB和BC所受的力。
(1)取研究对象AB,BC杆为二力杆
(2)画受力图,选坐标轴。
(3)列方程:
∑Fix=0-FBA+F1cos60。
-F2cos30。
=0
∑Fiy=0FBC-F1cos30。
-F2COS60。
=0
∴FBA=-0.366G=-7.32KN
∴FBC=1.366G=27.32KN
解题步骤小结:
(1)选取研究对象,按要求画受力图。
(2)选定适当的坐标轴,画在受力图上。
(3)列平衡方程,解方程求出未知量。
(二)平面平行力系:
在平面力系中若干各力的作用线互相平行,这种力系称为平面平行力系。
是平面任意力系的特殊情况。
平面平行力系的平衡方程:
∑Fi=0∑Mo(Fi)=0
(三)平面力偶系
平面力偶系:
作用在同一个平面内的许多力偶,称为平面力偶系。
合力偶矩:
等于平面力偶系中各力偶矩的代数和。
记作∑Mi,即
M=M1+M2+M3+……MN=∑Mi(3--5)
平面力偶系的平衡条件
平衡的必要与充分条件:
所有力偶矩的代数和等于零,即∑Mi=0。
§2-3静定与超静定问题
一静定与超静定概念
在研究的平衡问题中,如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数,这时所有的未知量可用平衡方程求出,这类问题——静定问题,如图(c)所示;如果未知量的个数多于独立的平衡方程的个数,这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解,这类问题——超静定问题,如图(d)所示。
超静定问题工程上非常多,如这是超静定拱、超静定梁、超静定桁架。
这里我们只研究静定问题,这是因为:
①求解静定问题是求解超静定问题的基础;②解超静定问题要考虑物体的变形,而我们的研究对象是刚体,不考虑变形,因此目前我们无法解超静定问题,在后续课程材料力学、结构力学中,我们将研究超静定问题。
在前面的讨论的平衡问题中,研究对象大多是一个物体,但在实际工程中,我们研究的对象往往比较复杂,由若干个物体组成,这若干个物体组成的系统,我们就称为物体系统,下面我们研究物体系统的平衡问题。
二平衡问题
物体系统由AB、BC两部分组成,对整个系统而言,铰B是系统内物体之间的联系——内约束,对应的约束力——内约束力;支座A、D、E是系统外部其它物体与系统的联系——外约束,相应的约束力——外约束力。
注意:
内约束与外约束、内力与外力是相对的,是相对一定的研究对象而言的。
如铰B处的约束力对整个系统而言是内力,但对AB或BC而言就是外力了。
如果物体系统平衡,则组成物体系统的每一个物体也平衡。
如ABC平衡,则AB、BC也平衡。
对物体系统中的每个物体列平衡方程即可求解。
若物体系统由n个物体组成,每个物体都受到平面力系作用,则独立的平衡方程总共可列出3n个,可解3n个未知量。
§2-4考虑摩擦时的平衡
一滑动摩擦
摩擦力:
两个相互接触的物体,当有相对滑动或滑动趋势时,其接触表面之间就产生彼此阻碍相对滑动的力,这种阻力称为滑动摩擦力,简称为摩擦力。
摩擦力方向:
沿接触面的公切线,其指向总是与相对滑动或相对滑动趋势的方向相反。
1.静滑动摩擦力
如图所示,当拉力FT不够大的时候,物块仅有相对滑动趋势而并不滑动,这表明台面除了有法向反力FN外,必定有一个与FT方向相反的阻力F,且F=FT。
当加大水平拉力,物块仍然静止而不滑动,可知力F是随主动力FT增大而增大的,力F称为静滑动摩擦力,简称为静摩擦力。
2.最大静摩擦力
(1)临界状态:
静摩擦力F不会随主动力的增大而无限的增大,当力FT的大小增到大一定数值时,物块将开始滑动,这种状态称为临界状态。
(2)最大静摩擦力:
临界状态下时,静摩擦力达到最大值,称为最大静摩擦力。
(3)摩擦定律:
最大静摩擦力的大小与两物体之间的正压力(即法向压力)成正比,即Fmax=fs×N
(4)静摩擦系数(fs):
其大小与两物体的材料及表面情况有关,一般与接触面大小无关。
3.动滑动摩擦力
(1)动滑动摩擦力:
继续上述实验,当拉力再次增大时候,物块向右运动,这时接触面之间仍存在阻碍物块滑动的摩擦力,称为动滑动摩擦力。
(2)摩擦定律:
动摩擦力的大小与接触面正压力成正比,
即F=f×FN式中f是动摩擦系数,一般情况下,f 小结: 考虑摩擦时,要分清物体是处于静止,临界或滑动三种情况中的那一种,然后采取相应的方法计算。 (1)物体静止时,静摩擦力的大小满足0≤F≤Fmax,其具体数值由静平衡条件决定。 (2)物体处于临界状态时,其最大静摩擦力Fmax=fs×FN。 (3)物体滑动时,动摩擦力F=f×FN. 二考虑摩擦时物体的平衡问题 在以前学习的基础上,分析物体受力情况时候,必须考虑摩擦力,摩擦力的方向始终沿着接触面的切线并与物体滑动或相对滑动趋势的方向相反。
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