三角形内角和定理外角练习.docx
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三角形内角和定理外角练习
三角形内角和定理
1、(2014•昆明模拟)AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,则∠DAE的度数为( )
A.20°B.18°C.38°D.40°
2、(2014•福鼎市模拟)如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线,BA3是A2BD∠的角平分线,CA3是∠A2CD的角平分线,若∠A1=α,则∠A2013为( )
A.
α
2013
B.
α
22013
C.
α
2012
D.
α
22012
3、(2014•丰润区二模)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于( )
A.40°B.35°C.30°D.25°
4、(2013•河北)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=( )
A.90°B.100°C.130°D.180°
5、(2013•安庆一模)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,则∠C=( )
A.20°B.30°C.40°D.50°
6、(2013•西青区二模)如图,小明将一张三角形纸片(△ABC),沿着DE折叠(点D、E分别在边AB、AC上),并使点A与点A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2的度数为( )
A.140°B.130°C.110°D.70°
7、(2013•南漳县模拟)(附加题)如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1,∠2之间的数量关系是( )
A.∠A=∠1+∠2
B.∠A=∠2-∠1
C.2∠A=∠1+∠2
D.3∠A=2(∠1+∠2)
8、(2012•南通)如图,△ABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=( )
A.360°B.250°C.180°D.140°
9、(2012•河源)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=( )
A.150°B.210°C.105°D.75°
10、(2012•樊城区模拟)下面是有关三角形内外角平分线的探究,阅读后按要求作答:
探究1:
如图
(1),在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现:
∠BOC=90°+
1
2
∠A(不要求证明).
探究2:
如图
(2)中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系?
请说明理由.
探究3:
如图(3)中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的数量关系?
(只写结论,不需证明).结论:
.
11、如图,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,CE与BD交于F,连接AF并延长交BC于H,过F作FG⊥BC于G.
(1)若∠ABC=45°,∠ACB=65°,求∠HFG的度数;
(2)根据
(1)中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系;
(3)试探究∠BFH与∠CFG的大小关系,并说明理由.
12、问题1
如图①,一张三角形ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点.
研究
(1):
如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则∠BDA′与∠A的数量关系是
研究
(2):
如果折成图②的形状,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是
研究(3):
如果折成图③的形状,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系,并说明理由.
猜想:
理由
问题2
研究(4):
将问题1推广,如图④,将四边形ABCD纸片沿EF折叠,使点A、B落在四边形EFCD的内部时,∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是
.
13、已知:
如图1,△ABC中,∠B>∠C,AD是△ABC的角平分线,点P是AD上的一点,过点P画PH⊥BC于H
(1)求证:
∠DPH=
1
2
(∠B-∠C);
(2)如图2,当点P是线段AD的延长线上的点时,过点P画PH⊥BC于H,上述结论任然成立吗?
请你作出判断并加以说明.
【
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵PH⊥BC于H,
∴∠DPH=90°-∠PDH,
∵∠DAC=
1
2
∠BAC=
1
2
(180°-∠B-∠C),
∴∠DPH=90°-∠PDH
=90°-(∠DAC+∠C)
=90°-
1
2
(180°-∠B-∠C)-∠C
=
1
2
(∠B-∠C).
(2)解:
上述结论仍然成立.
证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵PH⊥BC于H,
∴∠DPH=90°-∠PDH=90°-∠DAC,
∵∠DAC=
1
2
∠BAC=
1
2
(180°-∠B-∠C),
∴∠DPH=90°-∠PDH,
=90°-(∠DAC+∠C)
=90°-
1
2
(180°-∠B-∠C)-∠C
=
1
2
(∠B-∠C).】
14、已知,如图,∠XOY=90°,点A、B分别在射线OX、OY上移动,BE是∠ABY的平分线,BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C,试问∠ACB的大小是否发生变化?
如果保持不变,请给出证明;如果随点A、B移动发生变化,请求出变化范围.
【解:
∠C的大小保持不变.理由:
∵∠ABY=90°+∠OAB,AC平分∠OAB,BE平分∠ABY,
∴∠ABE=
1
2
∠ABY=
1
2
(90°+∠OAB)=45°+
1
20、对生活垃圾进行分类、分装,这是我们每个公民的义务。
只要我们人人参与,养成良好的习惯,我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。
2
预计未来20年,全球人均供水量还将减少1/3。
∠OAB,
即∠ABE=45°+∠CAB,
又∵∠ABE=∠C+∠CAB,
∴∠C=45°,
故∠ACB的大小不发生变化,且始终保持45°.】
16、在北部天空的小熊座上有著名的北极星,可以借助大熊座比较容易地找到北极星。
黑夜可以用北极星辨认方向。
15、
(1)如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中,∠A=30°,则∠ABC+∠ACB=150°,∠XBC+∠XCB=90°.
(2)如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?
若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小.(不变化,60°)
16、已知:
如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB、如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:
答:
这个垃圾场不仅要能填埋垃圾,而且要能防止周围环境和地下水的污染。
;
(2)在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,试求∠P的度数;(写出解答过程)
(3)如果图2中∠D和∠B为任意角,其他条件不变,试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系.(直接写出结论即可)
【解:
(1)∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)由
(1)得,∠1+∠D=∠3+∠P,∠2+∠P=∠4+∠B,
∴∠1-∠3=∠P-∠D,∠2-∠4=∠B-∠P,
又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠P-∠D=∠B-∠P,
即2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=(40°+30°)÷2=35°.
(3)2∠P=∠B+∠D.】
17、已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:
3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4,质量大约是地球的1/80,月球体积大约是地球的1/49,月球引力大约是地球的1/6。
;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:
二、问答题:
个;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,试求∠P的度数;
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)
【解:
(1)结论:
∠A+∠D=∠C+∠B;
(2)结论:
六个;
(3)由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①(∵∠AOD=∠COB),
由∠1=∠2,∠3=∠4,
∴40°+2∠1=36°+2∠3
∴∠3-∠1=2°
(1)
由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2,②
∴∠P=∠B+∠4-∠2=36°+2°=38°;
(4)由①∠D+2∠1=∠B+2∠3,
由②2∠B+2∠3=2∠P+2∠1
①+②得:
∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B=2∠P+∠B.
∴∠P=
6、二氧化碳气体有什么特点?
∠D+∠B
2
3、米饭里面的主要成分是淀粉。
米饭淀粉遇到碘酒,颜色变成蓝色,这种蓝色物质是一种不同于米饭和淀粉的新物质。
.】
18、如图:
AB∥CD,直线l交AB、CD分别于点E、F,点M在EF上,N是直线CD上的一个动点(点N不与F重合)
(1)当点N在射线FC上运动时,∠FMN+∠FNM=∠AEF,说明理由;
(2)当点N在射线FD上运动时,∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系并说明理由.
1、月相的变化有什么规律?
(P49)
【解:
(1)∵AB∥CD,
∴∠AEF+∠MFN=180°.
∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°,
∴∠FMN+∠FNM=∠AEF.
(2)∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°.
理由:
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠MFN.
∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°,
∴∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°.
6、蚜虫是黄色的,在植物的嫩枝上吸食汁液,每个蚜虫只有针眼般大小,在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。
】
19、把一副学生用三角板(30°、60°、90°和45°、45°、90°)如图
(1)放置在平面直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,直角边AC与y轴重合,斜边AD与y轴重合,直角边AE交x轴于F,斜边AB交x轴于G,O是AC中点,AC=8.
(1)把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度(0≤α<90°)得图2,此时△AGH的面积是10,△AHF的面积是8,分别求F、H、B三点的坐标;
(2)如图3,设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M,∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N,当改变α的大小时,∠N+∠M的值是否会改变?
若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值.
【解:
(1)∵OG∥BC,AC=8,
∴∠B=∠AGO=45°,
∴OA=OG=4.
∵S△AFH=8,S△AGH=10,
∴GH=5,FH=4.
∴OH=1,OF=5,
∴F(-5,0),H(-1,0),B(8,-4).
(2)不变,∠N+∠M=97.5°.
理由如下
设∠HAC=α,∠GAO=∠AGO=45°,
∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°+α.
∵HM平分∠AHF,
∴∠FHM=
1
2
∠FHA=45°+
1
2
α.
∵GM平分∠AGH,
∴∠HGM=
1
2
∠AGO=22.5°.
∵∠FHM=∠HMG+∠MGH,
∴45°+
1
2
α=∠M+22.5°,
∴∠M=22.5°+
1
2
α.
又FN平分∠EFO,
∴∠NFO=
1
2
∠EFO=
1
2
(∠FOA+∠FAO)
=
1
2
(90°+30°+α)=60°+
1
2
α,
∴∠N=180°-∠NFO-∠NOF
=180°-(60°+
1
2
α)-45°
=75°-
1
2
α.
∴∠N+∠M=(75°-
1
2
α)+(22.5°+
1
2
α)=97.5°.】
20、如图,A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动,点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.
(1)若|x+2y-5|+|2x-y|=0,试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标;
(2)设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P,
问:
点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化?
若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(3)如图,延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线,垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?
请写出你的结论并说明理由.
【解:
(1)解方程组:
x+2y−5=0
2x−y=0
得:
x=1
y=2
(3分)
∴A(-1,0),B(0,2);
(2)∠P的大小不发生变化,
∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°-
1
2
(∠EAB+∠FBA)
=180°-
1
2
(∠ABO+90°+∠BAO+90°)
=180°-
1
2
(180°+180°-90°)
=180°-135°
=45°;
(3)∠AGH=∠BGC,理由如下:
作GM⊥BF于点M.
由已知有:
∠AGH=90°-
1
2
∠EAC
=90°-
1
2
(180°-∠BAC)
=
1
2
∠BAC,
∠BGC=∠BGM-∠CGM
=90°-
1
2
∠ABC-(90°-
1
2
∠ACF)
=
1
2
(∠ACF-∠ABC)
=
1
2
∠BAC
∴∠AGH=∠BGC.
注:
不同于此标答的解法请比照此标答给分.】
21、如图,△ABC中,∠A=35°,∠B=69°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,求∠ECD的度数,
探究:
(1)若点F是线段CE上的任意一点(不与端点C、E重合),FM⊥AB于M,求∠EFM的度数;
(2)若点G是线段CE延长线上的任意一点(不与端点E重合),GN⊥AB于N,直接写∠EGN的度数.
(在右图中直接画出图形再计算)
【解:
∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE=
1
2
∠ACB,又∠A=35°,∠B=69°,
∴∠ACB=180°-35°-69°=76°,∴∠ACE=∠BCE=
1
2
×76°=38°,
又∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=90°-69°=21°
∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=38°-21°=17°;
(1)∵FM⊥AB于M,∴FM∥CD,∴∠EFM=∠ECD=17°,
(2)∵GN⊥AB,∴GN∥CD,∴∠EGN=∠ECD=17°.
】
22、
(1)如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、△ABC中,∠A=40°,则∠ABC+∠ACB=度,∠XBC+∠XCB=度;
(2)如图2,改变
(1)中直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?
若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小;
(3)如果
(1)中的其它条件不变,把“∠A=40°”改成“∠A=n°”,请直接写出∠ABX+∠ACX的大小.
23、 如图,把△ABC的纸片沿着DE折叠.
(1)若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置.(如图1)且∠1=40°,∠2=24°,求:
∠A′的度数;
(2)若点A落在四边形BCDE的外部(BE的上方)点A′的位置(如图2),则∠A′与∠1,∠2有怎样的关系?
请说明你的理由;
(3)若点A落在四边形BCDE的外部(CD的下方)点A′的位置(如图3),∠A′与∠1,∠2又有怎样的关系?
直接写出你的结论.
24、 将一块直角三角板DEF放置在△ABC上,使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C.
(1)如图1,当∠A=45°时,∠ABC+∠ACB=度,∠DBC+∠DCB=度;
(2)如图2,改变直角三角板DEF的位置,使该三角板的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C,那么∠ABD+∠ACD的大小是否发生变化?
若变化,请举例说明;若没有变化,请探究∠ABD+∠ACD与∠A的关系.
25、 如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),C(-1,2),且|2a+b+1|+(a+2b-4)2=0.
(1)求a,b的值;
(2)①在x轴的正半轴上存在一点M,使△COM的面积=
1
2
△ABC的面积,求出点M的坐标;
②在坐标轴的其它位置是否存在点M,使△COM的面积=
1
2
△ABC的面积仍然成立?
若存在,请直接写出符合条件的点M的坐标;
(3)如图2,过点C作CD⊥y轴交y轴于点D,点P为线段CD延长线上一动点,连接OP,OE平分∠AOP,OF⊥OE.当点P运动时,
∠OPD
∠DOE
的值是否会改变?
若不变,求其值;若改变,说明理由.
26、如图:
已知在平面直角坐标系中点A(a,b)点B(a,0),且满足|2a-b|+(b-4)2=0.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)已知点C(0,b),点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动.同时点Q从C点出发,沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动,某一时刻,如图所示且S阴=
1
2
S四边形OCAB,求点P移动的时间?
(3)在
(2)的条件下,AQ交x轴于M,作∠ACO,∠AMB的角平分线交于点N,判断
∠N−∠APB−∠PAQ
∠AQC
是否为定值,若是定值求其值;若不是定值,说明理由.
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