空间几何知识总结和题型总结.docx
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空间几何知识总结和题型总结
空间几何
(一)空间几何的结构及其三视图和直观图
一、空间几何体结构
1.几种特殊四棱柱的特殊性质
名称
特殊性质
平行六面体
底面和侧面都是平行四边行;
直平行六面体
侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形
长方体
底面和侧面都是矩形;
正方体
棱长都相等,各面都是正方形
2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质
名称
棱柱
直棱柱
正棱柱
图形
1■
1P
11
1・
i;
4■
定义
有两个面互相平仃,而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体
侧棱垂直于底面的棱柱
底面是正多边形的直棱柱
侧棱
平行且相等
平行且相等
平行且相等
侧面的形状
平行四边形
矩形
全等的矩形
对角面的形状
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的
截面的形状
与底面全等的多边形
与底面全等的多边形
与底面全等的
正多边形
名称
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
图形
A
定义
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体
底面是正多边形
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分
由正棱锥截得的棱台
侧棱
相交于一点但不一定相等
相交于一点且相
等
延长线交于一点
相等且延长线交
于一点
侧面的形状
三角形
全等的等腰三角形
梯形
全等的等腰梯形
对角面的形状
三角形
等腰三角形
梯形
等腰梯形
平行于底的截
面形状
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
其他性质
咼过底面中心;侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
两底中心连线即咼;侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
3■圆柱,圆锥,圆台和球(旋转体)
(1)圆柱:
由矩形绕其一边旋转而得。
(2)圆锥:
由直角三角形绕其一条直角边旋转而得
(3)圆台:
由直角梯形绕其直角腰旋转而得
(4)球:
由半圆或圆绕其直径旋转所得
4■直观图(斜二测画法的步骤:
平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于0点.画直观图时,
把它画成对应的x'轴或y'轴,使它确定的平面表示水平平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
总结:
(1)特点:
横同、竖半、平行性不变
(2)关键:
确定各个顶点的位置
二、几何体的三视图
正视图:
反映了物体的高度和长度
侧视图:
反映了物体的高度和宽度
俯视图:
反映了物体的长度和宽度注:
三视图之间的投影规律:
长对正,高平齐,宽相等画几何体的三视图时,能看得见的轮廓线或棱用实线表示,不能看得见的轮廓线或棱用虚线表示三、几何体的表面积和体积公式
C为底面周长,
h为高,
h为斜高,1为母线)
s正棱锥侧面积
=-ch'
2
S圆柱侧=
2二rh
S圆柱表=2二rrT
(1)特殊几何体表面积公式(
S直棱柱侧面积=ch
_1,
Se棱台侧面积(Ci■C2)h'
2
S圆锥表
$台侧面积二(rR)1S圆台表
(2)柱体、锥体、台体的体积公式
2
V圆柱二Sh二-rh
1空间的两条直线有如下三种关系:
井右击”「相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线2一
I平行直线:
同一平面内,没有公共点;异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a//b
c//b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补•
注:
①两条异面直线所成的角9€(0,2;
2当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a丄b;
3两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
4计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
1.
线面平行2.线面相交3.线在面内
(三)平行关系
方法二:
用面面平行实现。
若向量丨和向量m共线且|、m不重合,则I//m。
(二)证明线面平行
方法一:
用线线平行实现。
方法三:
用平面法向量实现。
若n为平面〉的一个法向量,
(三八证明面面平行
1.面面平行:
方法一:
用线线平行实现。
I//I'
m//m'
二■■//I,m:
且相交l',m'二卅且相交
方法二:
用线面平行实现。
1〃:
milaga//PI,muB且相交
(四)垂直关系
一、直线、平面垂直的判定及其性质
1、直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
2、直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行
4、两个平面垂直的性质定理:
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
.面角的记法:
二面角
.面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形,
a-I-B或a-AB-3
二、做题方法
(一)证明线线垂直
方法一:
用线面垂直实现。
方法二:
三垂线定理及其逆定理。
方法三:
用向量方法:
若向量I和向量m的数量积为0,则I
(二八证明线面垂直
方法一:
用线线垂直实现。
I丄ACI丄AB=I_AC一AB=A
方法二:
用面面垂直实现。
(三)、证明面面垂直
方法一:
用线面垂直实现。
[I
a
方法二:
计算所成二面角为直角。
AC,AB二:
-
(五)空间角
(常用到余弦定理)
|aB・ac
相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围:
0°:
:
:
:
_90°;
求解方法:
(a)平移,使它们相交,找到夹角,解三角形求出角。
余弦定理:
2.22
a+b_ccos2ab
(2)线面所成的角(线面角):
范围:
[0,90]
斜线与平面所成的角:
范围0°90°;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
求解方法:
(a)作出线面角,并证明。
然后解三角形,求出线面角
(3)面面所成的角(面面角):
二面角及其平面角
的夹角v为二面角:
—I—:
的平面角。
范围:
[0,180]
2、求解方法:
(a)定义法:
作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
解三角形,求出
二面角的平面角。
(b)截面法:
如图
(1),若平面POA同时垂直于平面:
•和1,则交线(射线)AP和
AO的夹角就是二面角。
解三角形,求出二面角。
(c)坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
如图
(2)
(六)空间距离
(1)点到平面的距离
1、定义:
面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
2、求点面距离常用的方法:
1)几何法。
步骤1:
过点P作P0_:
•于0,线段PO即为所求。
步骤2:
计算线段PO的长度。
(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)
体积法其步骤是:
①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的
1
体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由vJS・h,求出h即为所求•
3
2)坐标法。
d=APcoscnAP>
(2)
直线和平面的距离、平行平面的距离
如图,m和n为两条异面直线,n二用且m//〉,则异面直线m和n之间的距离可转化为
直线m与平面:
-之间的距离。
(b)直接计算公垂线段的长度
补充知识:
BC的中点
(b)A,B,C三点共线=AB二,AC
C,D四点共面=OA二xOByOCzOD,且xyz=1
(d)A,B,C,D四点共面二AB=xACyAD
2、常见几何体的特征及运算
1.长方体的对角线相等且互相平分。
2.若长方体的长宽高分别为a、b、c,则体对角线长为,表面积为,体积为
3、正棱锥:
底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
4、棱锥的性质:
平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥
的高的平方比。
5、正棱锥的性质:
各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
6、设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为Oi,球心0到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是r=」R2_d2。
7、球面距离:
经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
三视图、直观图、体积表面积计算
1.【2012高考新课标】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视
2.
3.【2012高考新课标】平面a截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为.2,则此球的体积为
(A)6n(B)43n(C)46n(D)63n
4.【2012高考陕西】将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则
该几何体的左视图为()
5.
【2012高考江西】若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为
6.【2012高考湖南】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能
是
A球B三棱锥C正方体D圆柱
8.【2012高考上海】一个高为2的圆柱,底面周长为2二,该圆柱的表面积为
【答案】6二
9.【2012高考湖北】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
10.
【答案】12二
11.[2012高考辽宁】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
11.【2012高考江苏】如图,在长方体ABCD—ABQDt中,AB=AD=3cm,AA^=2cm,则
四棱锥A—BBiDiD的体积为▲cm5.
O-xy冲的坐标分别是
13(2013年高考课标H卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系
(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得
1
1
c2
(
A.-
B.-
C.—
D.1
6
3
3
16(2013年高考湖南)
已知长方体的棱长为
1,其俯视图是一
-个面积为1的正方形,侧视图是
15.(2013年高考广东卷)
某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是
一个面积为J2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于
C.
17(2013年高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等
示该四棱锥侧面积和体积分别是
则该几何体的体积为
18(2013年高考江西卷)一几何体的三视图如右所示
側(左)视图
俯视图
A.200+9nB.200+18nC.140+9nD.140+18n
19(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
Qjt
20(2013年高考天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为-,则
2
正方体的棱长为.
空间平行与垂直
1、如图,在正方体ABCD-ABiCiDi中,E是AA的中点,
求证:
AC//平面BDE。
求证:
C1O//面AB1D1;
3、如图,在正方体ABCD-ABQiDi中,E是AAi的中点.
(1)求证:
AiC〃平面BDE;
(2)求证:
平面AAC_平面BDE.
4、正方体ABCD—AiBiCiDi中.⑴求证:
平面AiBD//平面BiDiC;
⑵若E、F分别是AAi,CCi的中点,求证:
平面EBiDi/平面FBD.
AB
5、如图,在正方体ABCD-ABiGDi中,E、F、G分别是AB、AD、CiDi的中点.求证:
平面DiEF//平面BDG.
E
6、如图,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点。
求证:
(1)AB_平面CDE;
(2)平面CDE_平面ABC。
7、已知ABC中.ACB=90[SA_面ABC,AD_SC,求证:
AD_面SBC.
&正方体ABCD—A'B'C'D'中,求证:
(1)AC丄平面B'D'DB;
(2)BD'丄平面ACB'
9、四面体ABCD中,
AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=乎AC,
BDC=90,求证:
BD_平面ACD
10、已知ABCD是矩形,PA_平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.
求证:
DE_平面PAE;
D
11、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是乙DAB=60°且边长为a的菱形,侧
面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:
BG_平面PAD;
(2)求证:
AD_PB;
12、如图1,在正方体ABCD-A3C1D1中,M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证:
AO-平面MBD.
13、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且/ASB=/ASC=60。
,/
BSC=90°,求证:
平面ABC丄平面BSC.
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