浙江专用版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 61 数列的概念与简单表示法教师用书.docx
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浙江专用版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法61数列的概念与简单表示法教师用书
(浙江专用)2019版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.1数列的概念与简单表示法教师用书
1.数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an+1>an
其中n∈N*
递减数列
an+1 常数列 an+1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 【知识拓展】 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an, 则an= 2.在数列{an}中,若an最大,则 若an最小,则 3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( × ) (4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × ) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( √ ) 1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示). 则第7个三角形数是( ) A.27B.28 C.29D.30 答案 B 解析 由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 2.已知数列,,,…,,…,下列各数中是此数列中的项的是( ) A.B.C.D. 答案 B 3.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是. 答案 30 解析 an=-n2+11n=-(n-)2+, ∵n∈N*,∴当n=5或n=6时,an取最大值30. 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=. 答案 解析 当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1, 故an= 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)(2016·杭州模拟)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ) A.an=n2-(n-1)B.an=n2-1 C.an=D.an= (2)数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=. 答案 (1)C (2) 解析 (1)观察数列1,3,6,10,…可以发现 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, … 第n项为1+2+3+4+…+n=. ∴an=. (2)数列{an}的前4项可变形为,,,,故an=. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法: 观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略: ①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理. 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…; (3),,-,,-,,…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)数列变为,,,…, 故an=. (3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为-, 原数列化为-,,-,,…, 故an=(-1)n. 题型二 由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)(2016·余姚模拟)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=. 答案 (-2)n-1 解析 由Sn=an+,得当n≥2时,Sn-1=an-1+,两式相减,整理得an=-2an-1,又当n=1时,S1=a1=a1+,∴a1=1,∴{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,故an=(-2)n-1. (2)已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式. ①Sn=2n2-3n;②Sn=3n+b. 解 ①a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5. ②a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b) =2·3n-1. 当b=-1时,a1适合此等式; 当b≠-1时,a1不适合此等式. ∴当b=-1时,an=2·3n-1; 当b≠-1时,an= 思维升华 已知Sn,求an的步骤 (1)当n=1时,a1=S1; (2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1;(3)对n=1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式. (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于( ) A.2n-1B.()n-1 C.()nD. 答案 (1)an= (2)B 解析 (1)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当n=1时,不满足上式. 故数列的通项公式为an= (2)由an+1=Sn+1-Sn,得Sn=Sn+1-Sn, 即Sn+1=Sn(n≥1),又S1=a1=1, 所以数列{Sn}是首项为1,公比为的等比数列, 所以Sn=()n-1,故选B. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=2,an+1=an+ln(1+); (2)a1=1,an+1=2nan; (3)a1=1,an+1=3an+2. 解 (1)∵an+1=an+ln(1+), ∴an-an-1=ln(1+)=ln(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln+ln+…+ln+ln2+2 =2+ln(··…··2) =2+lnn(n≥2). 又a1=2适合上式,故an=2+lnn(n∈N*). (2)∵an+1=2nan,∴=2n-1(n≥2), ∴an=··…··a1 =2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)= . 又a1=1适合上式,故an= . (3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2, 故数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列, ∴an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an=an-1+m时,构造等差数列; (2)当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;(3)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;(4)当出现=f(n)时,用累乘法求解. (1)已知数列{an}满足a1=1,an=·an-1(n≥2且n∈N*),则an=. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5等于( ) A.-16B.16C.31D.32 答案 (1) (2)B 解析 (1)∵an=an-1(n≥2), ∴an-1=an-2,…,a2=a1. 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1···…·==. 当n=1时也满足此等式,∴an=. (2)当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=1. 当n≥2时,Sn-1=2an-1-1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1. ∴{an}是等比数列且a1=1,q=2, 故a5=a1×q4=24=16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知an=,那么数列{an}是( ) A.递减数列B.递增数列 C.常数列D.摆动数列 答案 B 解析 an=1-,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知{an}是递增数列. 命题点2 数列的周期性 例5 (2016·镇海中学模拟)在数列{an}中,若存在非零整数T,使得am+T=am对于任意的正整数m均成立,那么称数列{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),若x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2016项的和是( ) A.672B.673 C.1342D.1344 答案 D 解析 因为x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),所以x3=|a-1|.又因为数列{xn}的周期为3,所以x1=1,x4=|x3-x2|=||a-1|-a|=x1=1,解得a=1或a=0.因为a≠0,所以a=1,所以x2=1,x3=0,即x1+x2+x3=2.同理可得x4=1,x5=1,x6=0,x4+x5+x6=2,…,x2014+x2015+x2016=2,所以S2016=x1+x2+…+x2016=(1+1+0)×672=1344,故选D. 命题点3 数列的最值 例6 数列{an}的通项an=,则数列{an}中的最大项是( ) A.3B.19 C.D. 答案 C 解析 令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an=最大. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断. ③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解. (1)(2016·台州模拟)数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2015项为. (2)设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( ) A.B. C.4D.0 答案 (1) (2)D 解析 (1)由已知可得,a2=2×-1=, a3=2×=, a4=2×=, a5=2×-1=, ∴{an}为周期数列且T=4, ∴a2015=a503×4+3=a3=. (2)∵an=-32+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0. 13.解决数列问题的函数思想 典例 (1)数列{an}的通项公式是an=(n+1)·()n,则此数列的最大项是第项. (2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是. 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数; (2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵an+1-an =(n+2)()n+1-(n+1)()n =()n×, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1 ∴该数列中有最大项,且最大项为第9、10项. (2)由an+1>an知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式an=n2+kn+4, 所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 即k>-1-2n,又n∈N*,所以k>-3. 答案 (1)9或10 (2)(-3,+∞) 1.数列,-,,-,…的第10项是( ) A.-B.-C.-D.- 答案 C 解析 所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解: 符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1)n+1·,故a10=-. 2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则( ) A.3不是数列{an}中的项 B.3只是数列{an}中的第2项 C.3只是数列{an}中的第6项 D.3是数列{an}中的第2项和第6项 答案 D 解析 令an=3,即n2-8n+15=3,整理得n2-8n+12=0,解得n=2或n=6. 3.(2016·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=则其前6项之和为( ) A.16B.20C.33D.120 答案 C 解析 a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,所以前6项和S6=1+2+3+6+7+14=33,故选C. 4.若数列{an}满足a1=2,a2=3,an=(n≥3,且n∈N*),则a2018等于( ) A.3B.2C.D. 答案 A 解析 由已知a3==,a4==, a5==,a6==, a7==2,a8==3, ∴数列{an}具有周期性,T=6, ∴a2018=a336×6+2=a2=3. 5.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( ) A.5B. C.D. 答案 B 解析 ∵an+an+1=,a2=2, ∴an= ∴S21=11×+10×2=.故选B. 6.(2016·宁海中学一模)已知函数y=f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=(n∈N*),则a2015的值为( ) A.4029B.3029C.2249D.2209 答案 A 解析 根据题意,不妨设f(x)=()x,则a1=f(0)=1,∵f(an+1)=,∴an+1=an+2,∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1, ∴a2015=4029. 7.数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则a7=. 答案 1 解析 由已知an+1=an+an+2,a1=1,a2=2, 能够计算出a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=. 答案 2n-1 解析 当n=1时,S1=a1=2a1-1,得a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1), 即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1), ∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1. 9.已知数列{an}的通项公式an=(n+2)·()n,则数列{an}的项取最大值时,n=. 答案 4或5 解析 假设第n项为最大项,则 即 解得 即4≤n≤5, 又n∈N*,所以n=4或n=5, 故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=. *10.在一个数列中,如果任意n∈N*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=. 答案 28 解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an; (2)若Sn=3n+2n+1,求an. 解 (1)因为a5+a6=S6-S4 =(-6)-(-4)=-2, 当n=1时,a1=S1=1, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1) =(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1), 又a1也适合此式, 所以an=(-1)n+1·(2n-1). (2)因为当n=1时,a1=S1=6; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1] =2×3n-1+2, 由于a1不适合此式, 所以an= 12.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N*). (1)求a1,a2,a3,a4的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)由Sn=a+an(n∈N*)可得 a1=a+a1,解得a1=1, S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2, 同理,a3=3,a4=4. (2)Sn=+a,① 当n≥2时,Sn-1=+a,② ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1, 又由 (1)知a1=1, 故数列{an}为首项为1,公差为1的等差数列, 故an=n. *13.已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围. 解 (1)∵an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0), 又a=-7,∴an=1+(n∈N*). 结合函数f(x)=1+的单调性, 可知1>a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*). ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. (2)an=1+=1+, 已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立, 结合函数f(x)=1+的单调性, 可知5<<6,即-10<a<-8.
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