高中数学知识点总结精华版.docx
- 文档编号:11359586
- 上传时间:2023-05-31
- 格式:DOCX
- 页数:89
- 大小:74.62KB
高中数学知识点总结精华版.docx
《高中数学知识点总结精华版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学知识点总结精华版.docx(89页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高中数学知识点总结精华版
高中数学知识点总结精华版
吃得苦中苦方为人上人!
高中数学第一章-集合
考试知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
二、知识回顾:
(一)集合
1.基本概念:
集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
2.集合的表示法:
列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:
确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为AÍA;
②空集是任何集合的子集,记为fÍA;
③空集是任何非空集合的真子集;
如果AÍB,同时BÍA,那么A=B.
如果AÍB,BÍC,那么AÍC.
[注]:
①Z={整数}(√)Z={全体整数}(³)
②已知集合S中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(³)(例:
S=N;A=N+,则CsA={0})
③空集的补集是全集.
第1页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
④若集合A=集合B,则CBA=Æ,CAB=ÆCS(CAB)=D(注:
CAB=Æ).
3.①{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}二、四象限的点集.
③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}一、三象限的点集.
[注]:
①对方程组解的集合应是点集.
例:
íìx+y=3解的集合{(2,1)}.2x-3y=1î
②点集与数集的交集是f.(例:
A={(x,y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=Æ)
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n-1个.③n个元素的非空真子集有2n-2个.
5.⑪①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题Û逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题Û逆否命题.
例:
①若a+b¹5,则a¹2或b¹3应是真命题.
解:
逆否:
a=2且b=3,则a+b=5,成立,所以此命题为真.
②
x¹1且y¹2+y¹3.
解:
逆否:
x+y=3
\x¹1且y¹2x=1或y=2.x+y¹3,故x+y¹3是x¹1且y¹2的既不是充分,又不是必要条件.⑫小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
3.例:
若xf5,Þxf5或xp2.
4.集合运算:
交、并、补.
交:
AIBÛ{x|xÎA,且xÎB}
并:
AUBÛ{x|xÎA或xÎB}
补:
CUAÛ{xÎU,且xÏA}
5.主要性质和运算律
(1)包含关系:
AÍA,FÍA,AÍU,CUAÍU,
AÍB,BÍCÞAÍC;AIBÍA,AIBÍB;AUBÊA,AUBÊB.
(2)等价关系:
AÍBÛAIB=AÛAUB=BÛCUAUB=U
(3)集合的运算律:
交换律:
AIB=BIA;AUB=BUA.
结合律:
(AIB)IC=AI(BIC);(AUB)UC=AU(BUC)
分配律:
.AI(BUC)=(AIB)U(AIC);AU(BIC)=(AUB)I(AUC)0-1律:
FIA=F,FUA=A,UIA=A,UUA=U
第2页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
等幂律:
AIA=A,AUA=A.
求补律:
A∩CUA=φA∪CUA=UðCUU=φðCUφ=U
反演律:
CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)
6.有限集的元素个数
定义:
有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card(A)规定card(φ)=0.
基本公式:
(1)card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AIB)
(2)card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AIB)-card(BIC)-card(CIA)
+card(AIBIC)
(3)card(ðUA)=card(U)-card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)„(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便)
②求根,并在数轴上表示出来;
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?
);
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x
(自右向左正负相间)
则不等式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+L+an>0(<0)(a0>0)的解可以根据各区间的符号确定.
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
2第3页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
2.分式不等式的解法
(1)标准化:
移项通分化为f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0);≥0(或≤0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)
(2)转化为整式不等式3.含绝对值不等式的解法f(x)f(x)f(x)g(x)³0>0Ûf(x)g(x)>0;³0Ûìíg(x)¹0îg(x)g(x)
(1)公式法:
ax+b
(2)定义法:
用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
2一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)
(1)根的“零分布”:
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的“非零分布”:
作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.
(三)简易逻辑
1、命题的定义:
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:
p或q(记作“p∨q”);p且q(记作“p∧q”);非p(记作“┑q”)。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断互逆原命题逆命题
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相若p则q若q则p反;逆互
互
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时否否为真,其他情况时为假;逆否命题(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:
若P则q;逆命题:
若q则p;
否命题:
若┑P则┑q;逆否命题:
若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
第4页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:
(原命题Û逆否命题)①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真,它的否命题不一定为真。
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pÞq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pÞq且qÞp,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
7、反证法:
从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理„)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试和性质.
(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
§02.
一、本章知识网络结构:
F:
A®B
二次函数函数知识要点
二、知识回顾:
第5页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
(一)映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数y=f(x)(xÎA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=j(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=j(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=j(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=j(y)(yÎC)叫做函数y=f(x)(xÎA)的反函数,记作x=f-1(y),习惯上改写成y=f-1(x)
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:
对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑪若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
⑫若当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
第6页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
正确理解奇、偶函数的定义。
必须把握好两个问题:
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇
函数或偶函数的必要不充分条件;
(2)f(-x)=f(x)或
f(-x)=-f(x)是定义域上的恒等式。
2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数
的图象关于y轴成轴对称图形。
反之亦真,因此,也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增
减性相反.
4.如果f(x)是偶函数,则f(x)=f(|x|),反之亦成立。
若奇函数在x=0时有意义,则f(0)=0。
7.奇函数,偶函数:
⑪偶函数:
f(-x)=f(x)
设(a,b)为偶函数上一点,则(-a,b)也是图象上一点.
偶函数的判定:
两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称,例如:
y=x2+1在[1,-1)上不是偶函数.
②满足f(-x)=f(x),或f(-x)-f(x)=0,若f(x)¹0时,
⑫奇函数:
f(-x)=-f(x)
设(a,b)为奇函数上一点,则(-a,-b)也是图象上一点.
奇函数的判定:
两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:
y=x3在[1,-1)上不是奇函数.
②满足f(-x)=-f(x),或f(-x)+f(x)=0,若f(x)¹0时,
y轴对称8.对称变换:
①y=f(x)¾¾¾¾®y=f(-x)f(x)=1.f(-x)f(x)=-1.f(-x)
x轴对称②y=f(x)¾¾¾¾®y=-f(x)
③y=f(x)¾原点对称¾¾¾®y=-f(-x)
9.判断函数单调性(定义)作差法:
对带根号的一定要分子有理化,例如:
(x1+x2)f(x)-f(x)=x2+b2-x2+b2=(x1-x2)
121222xx+b2+x1+b2
在进行讨论.
10.外层函数的定义域是.
解:
f(x)的值域是f(f(x))的定义域B,f(x)的值域ÎR,故BÎR,而A={x|x¹1},故BÉA.
11.常用变换:
①f(x+y)=f(x)f(y)Ûf(x-y)=f(x).f(y)
第7页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
证:
f(x-y)=
xy
f(y)
Ûf(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)f(x)
②f()=f(x)-f(y)Ûf(x×y)=f(x)+f(y)证:
f(x)=f(×y)=f()+f(y)12.⑪熟悉常用函数图象:
æ1ö
例:
y=2→|x|关于y轴对称.y=ç÷
è2ø
|x|
xyxy
|x+2|
æ1öæ1ö→y=ç÷→y
=ç÷
è2øè2ø
|x||x+2|
y=|2x+2x-1|→|y|关于x轴对称.
2
⑫熟悉分式图象:
2x+17
例:
y=Þ定义域{x|x¹3,=2+
x-3x-3
值域{y|y¹2,yÎR}→值域¹x前的系数之比.(三)指数函数与对数函数
指数函数y=ax(a>0且a¹1)的图象和性质
第8页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算:
loga(M×N)=logaM+logaN
(1)
Mloga=logaM-logaNN
logaMn=nloga(±M)12)loga
aloganN1M=logaMn=N
logbN换底公式:
logaN=logba
推论:
logab×logbc×logca=1Þloga1a2×loga2a3×...×logan-1an=loga1an(以上Mf0,Nf0,a
f0,a¹1,bf0,b¹1,cf0,c¹1,a1,a2...anf0且¹1)
第9页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
注⑪:
当a,bp0时,log(a×b)=log(-a)+log(-b).⑫:
当Mf0时,取“+”,当n是偶数时且Mp0时,Mnf0,而Mp0,故取“—”.
2例如:
logax¹2logaxQ(2logax中x>0而logax2中x∈R).⑫y=ax(af0,a¹1)与y=logax互为反函数.当af1时,y=logax的a值越大,越靠近x轴;当0pap1时,则相反.
(四)方法总结
⑪.相同函数的判定方法:
定义域相同且对应法则相同.⑪对数运算:
第10页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
loga(M×N)=logaM+logaN
(1)
logaM=logaM-logaNN
1logaMn
logaMn=nloga(±M)12)loganM=alogaN=N
logbN
logba换底公式:
logaN=
推论:
logab×logbc×logca=1
Þloga1a2×loga2a3×...×logan-1an=loga1an
(以上Mf0,Nf0,af0,a¹1,bf0,b¹1,cf0,c¹1,a1,a2...anf0且¹1)
注⑪:
当a,bp0时,log(a×b)=log(-a)+log(-b).
⑫:
当Mf0时,取“+”,当n是偶数时且Mp0时,Mnf0,而Mp0,故取“—”.例如:
logax2¹2logaxQ(2logax中x>0而logax2中x∈R).
⑫y=ax(af0,a¹1)与y=logax互为反函数.
当af1时,y=logax的a值越大,越靠近x轴;当0pap1时,则相反.
⑫.函数表达式的求法:
①定义法;②换元法;③待定系数法.
⑬.反函数的求法:
先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑭.函数的定义域的求法:
布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑮.函数值域的求法:
①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法.
⑯.单调性的判定法:
①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.
⑰.奇偶性的判定法:
首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:
①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
第11页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
⑱.图象的作法与平移:
①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学第三章数列
考试知识要点
第12页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
第13页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
⑫看数列是不是等差数列有以下三种方法:
①an-an-1=d(n³2,d为常数)
②2an=an+1+an-1(n³2)
③an=kn+b(n,k为常数).
⑬看数列是不是等比数列有以下四种方法:
①an=an-1q(n³2,q为常数,且¹0)
2②an=an+1×an-1(n³2,anan+1an-1¹0)①
注①:
i.b=ac,是a、b、c成等比的双非条件,即b=ac
ii.b=ac(ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b=±→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.b=±ac且acf0→为a、b、c等比数列的充要.、b、c等比数列.注意:
任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.③an=cqn(c,q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}(xf1)成等比数列.
ìs1=a1(n=1)a=⑭数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:
nís-s(n³2)nn-1î
[注]:
①an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)(d可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d不为0,则是等差数列充分条件).
dödædöæ②等差{an}前n项和Sn=An2+Bn=ç÷n2+ça1-÷n→可以为零也可不为零→为等差2ø2è2øè
的充要条件→若d为零,则是等差数列的充分条件;若d不为零,则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)..
2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2倍Sk,S2k-Sk,S3k-S2k...;
②若等差数列的项数为2nnÎN+,则S偶-S奇=()ndS奇
S偶an=an+1;
S偶=nn-1③若等差数列的项数为2n-1nÎN+,则S2n-1=(2n-1)an,且S奇-S偶=an,S奇
Þ代入n到2n-1得到所求项数.
3.常用公式:
①1+2+3„+n=
②12+22+32+Ln2=n(n+1)2()n(n+1)(2n+1)6
第14页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
én(n+1)ù③13+23+33Ln3=êú2ëû2
[注]:
熟悉常用通项:
9,99,999,…Þan=10n-1;5,55,555,…Þan=5n10-1.9()
4.等比数列的前n项和公式的常见应用题:
⑪生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列,公比为1+r.其中第n年产量为a(1+r)n-1,且过n年后总产量为:
2n-1a+a(1+r)+a(1+r)+...+a(1+r)a[a-(1+r)n]=.1-(1+r)
⑫银行部门中按复利计算问题.例如:
一年中每月初到银行存a元,利息为r,每月利息按复利计算,则每月的a元过n个月后便成为a(1+r)n元.因此,第二年年初可存款:
121110a(1+r)+a(1+r)+a(1+r)a(1+r)[1-(1+r)12].+...+a(1+r)=1-(1+r)
⑬分期付款应用题:
a为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率.a(1+r)=x(1+r)mm-1+x(1+r)m-2+......x(1+r)+xÞa(1+r)mx(1+r)m-1ar(1+r)m
=Þx=mr(1+r)-1
5.数列常见的几种形式:
⑪an+2=pan+1+qan(p、q为二阶常数)®用特证根方法求解.具体步骤:
①写出特征方程x2=Px+q(x2对应an+2,x对应an+1),并设二根x1,x2②若x1¹x2
nn可设an.=c1xn1+c2x2,若x1=x2可设an=(c1+c2n)x1;③由初始值a1,a2确定c1,c2.
⑫an=Pan-1+r(P、r为常数)®用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数n转化为an+2=Pan+1+qan的形式,再用特征根方法求an;④an=c1+c2Pn-1(公式法),c1,c2由a1,a2确定.①转化等差,等比:
an+1+x=P(an+x)Þan+1=Pan+Px-xÞx=②选代法:
an=Pan-1+r=P(Pan-2+r)+r=LÞan=(a1+
=Pn-1a1+Pn-2×r+L+Pr+r.r.P-1rr)Pn-1-=(a1+x)Pn-1-xP-1P-1
③用特征方程求解:
an+1=Pan+rü(P+1)an-Pan-1.Þan+1-an=Pan-Pan-1Þan+1=ý相减,an=Pan-1+rþ
④由选代法推导结果:
c1=rrrr.,c2=a1+,an=c2Pn-1+c1=(a1+)Pn-1+1-PP-1P-11-P
6.几种常见的数列的思想方法:
第15页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
⑪等差数列的前n项和为Sn,在dp0时,有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值,有两种方法:
一是求使an³0,an+1p0,成立的n值;二是由Sn=d2dn+(a1-)n利用二次函数的性质求n22
的值.
⑫如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n项和可依
111照等比数列前n项和的推倒导方法:
错位相减求和.例如:
1×,3,...(2n-1)n,...242
⑬两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差d1,d2的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1(an)为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:
验证an-1
22an+1=an+an-2(an+1=anan+2)nÎN都成立。
ìam³03.在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题:
(1)当a1>0,d<0时,满足í的项数ma£0îm+1
使得sm取最大值.
(2)当a1<0,d>0时,满足íìam£0的项数m使得sm取最小值。
在解含绝
îam+1³0
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
(三)、数列求和的常用方法
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:
适用于íìcüý其中{an}是各项不为0的等差数列,c为常数;部
îanan+1þ
分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于{anbn}其中{an}是等差数列,{bn}是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1):
1+2+3+...+n=n(n+1)2
22)1+3+5+...+(2n-1)=n
é1ù3)1+2+L+n=ên(n+1)úë2û3332
4)1+2+3+L+n=22221n(n+1)(2n+1)6
第16页共75页
吃得苦中苦方为人上人!
5)
1111111
=-=(-)
n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+21111=(-)(p
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 知识点 总结 精华版