10道经典高中数学题目解答.docx
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10道经典高中数学题目解答
10
道
经
典
高
中
数
学
题
目
解
答
1.设Sn是等差数列{An}的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=?
①Sn是等差数列
S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36,则2a1+5d=12......&
最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d
S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@
&+@:
a1+an=36
Sn=(a1+an)/2*n
n=18
②解:
Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180
而S6=a1+a2+...a6=36
有
Sn-S(n-6)+S6=a1+a2+...a6+a(n-5)+a(n-4)+....an
=6(a1+an)=180+36=216
那么(a1+an)=36
Sn=n(a1+an)/2=324
即36n/2=324
所以n=18
2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足,a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0
(1)是否存在常数C,使得数列{an+C}为等比数列?
若存在,证明你的结论;若不存在,请说明理由。
(2)设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2,求数列{bn}的前n项和Sn
(1)存在C=-1
证明如下(an+1-an)g(an)+f(an)=0将f(x)、g(x)带入并化简得4an+1-3an-1=0变形为4(an+1-1)=3(an-1)
所以an-1是以3/4为等比1为首项的等比数列
(2)an-1=(3/4)^n
bn=3f(an)-[g(an+1)]^2将f(an)g(an+1)带入
不要急着化简先将an+1-1换成3/4(an-1)
化简后bn=-6(an-1)^2=-6*(9/16)^n
bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=54/7(9/16)^n-54/7
已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)
pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)
<=>px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b
<=>px^2+qy^2>=(px+qy)^2
<=>px^2+qy^2>=p^2x^2+q^2y^2+2pqxy
<=>(p-p^2)x^2+(q-q^2)y^2>=2pqxy
将q=1-p代入,化简得
(p-p^2)(x^2+y^2)>=2(p-p^2)xy
∵x^2+y^2>=2xy
∴p-p^2>0
<=>p>p^2
<=>0<=p<=1
3.某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机,该元件每年分
次进货,每次购买元件的数量均为
,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,假设平均库存量为
件,每个元件的库存费为每年2元,如果不计其他费用,请你帮公司计算,每年进货几次花费最小?
解:
设购进8000个元件的总费用为S,一年总库存费用为E,手续费为H.
则X=8000/n,E=2*1/2*8000/n,H=500n所以S=E+H=2*0.5x+500*8000/x=8000/n+500n=500(16/n+n)>=4000
当且仅当16/n=n即n=4时总费用最少,故以每年进货4次为宜.
4.已知f(x)=ax^2-2ax+1=0有两正根x1,x2,且1 (1)求x1的取值范围 (2)求a的取值范围 某公路段汽车的 车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为: 。 (1)在该时段内,当汽车的平均速度v是多少时,车流量最大,最大流量是多少(精确到0.1) (2)要使在该时段内车流量超过10千米/时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为: 5.已知正方形ABCD的边长是13,ABCD外一点P到正方形ABCD各顶点的距离是13。 M、N分别是PA、BD上的点。 PM: MA=BN;ND=5;8,求MN 6.已知函数f(x)=4sinxsin^2(∏/4+x/2)+cox2x1)设w>0为常数, (1)若y=f(wx)在区间[-∏/2,2∏/3]上是增函数,求w的取值范围 (2)设集合A={x∏/6<=x<=2∏/3},B={xf(x)-m<2}若,A属于B,求实数m的取值范围 解.f(x)=2sinx[1-cos(x+π/2)]+1-2sin²x=2sinx(1+sinx)+1-2sin²x=2sinx+1 (1)y=f(wx)=2sinwx+1 因在区间[-π/2,2π/3]上是增函数,所以最小正同期T=2π/w≥2(π/2+2π/3) 即0 而-π/2+2kπ≤wx≤π/2+2kπ时,f(x)单调递增 则必有k=0,即-π/2≤wx≤π/2时递增, 则必有2πw/3≤π/2,即w≤3/4 所以w的取值范围(0,3/4] (2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,则m-3<2sinx<1+m即(m-3)/2 而当π/6≤x≤2π/3时,有1/2≤sinx≤1 因为A属于B,必有 (m-3)/2<1/2且(1+m)/2>1 解得1 fn(x)=a1x+a2x^2+...anx^nfn(-1)=(-1)^n*n 7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起,使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上,若二面角C-AB-D的大小为@,则SIN@=? 由AO垂直于平面BCD, CD在平面BCD内,知AO垂直于CD又CD垂直BC, 且AO交BC=O,故CD垂直于平面ABC又AB在平面ABC内, 故CD垂直于AB,又DA垂直于AB,且CD交DA=D,故AB垂直于平面ACD, 又AC在平面ACD内,故AB垂直于AC, 又AB垂直于AD故角CAD是二面角C-AB-D的平面角在三角形CAD中, 由CD垂直于平面ABC,AC在平面ABC内, 可知CD垂直于AC又CD=3,AD=4, 故sin角CAD=CD/AD=3/4 8.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,角ABC=90度,BC=2,AC=2√3,且AA1⊥A1C,AA1=A1C。 (1)求侧棱AA1与底面ABC所成的角大小 (2)求侧面A1ABB1与地面ABC所成的二面角大小 (3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离 解: (Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D, 由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角。 ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,∴∠A1AD=45°为所求。 (Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB。 ∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。 由已知,AB⊥BC,得ED∥BC。 又D是AC的中点, BC=2,AC=2 ,∴DE=1,AD=A1D= , tgA1ED=A1D/DE= 。 故∠A1ED=60°为所求。 (Ⅲ)解法一: 由点C作平面A1ABB1的垂线,垂足为H,则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。 连结HB,由于AB⊥BC,得AB⊥HB。 又A1E⊥AB, 知HB∥A1E,且BC∥ED,∴∠HBC=∠A1ED=60°。 ∴CH=BCsin60°= 为所求。 解法二: 连结A1B。 根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥C-A1AB的高h。 由V锥C-A1AB=V锥A1-ABC得1/2S△AA1Bh=1/2S△ABCA1D, 即1/3×2 h=1/3×2 × ∴h= 为所求。 9.图2,直三棱柱ABC-A1B1C1体积为V,点Q,P分别在侧棱AA1和CC1上,AP=C1Q,四棱锥B-APQC体积为(V/3) 连结A1C 设四棱锥B-APQC的高为h 易知梯形APQC的面积=(AP+CQ)*AC/2 =(C1Q+CQ)*AC/2=C1C*AC/2=△ACC1的面积 故四棱锥B-APQC体积 =梯形APQC的面积*h/3 =△ACC1的面积*h/3 =三棱锥B-ACC1的体积 =三棱锥C1-ABC的体积 =1/3棱柱ABC-A1B1C1体积 =V/3 10.已知a>0且a≠1,数列an的前项和为Sn,它满足条件(a的n-1次方)/Sn=1-1/a,数列bn中,bn=an×lga的n次方 (1)求数列bn的前n项和Tn (2)若对一切n∈正整数,都有Bn 解: (1)当n=1时,有(a-1)/a1=1-1/a,解得: a1=a; 当n>1时: 因为(a^n-1)/Sn=1-1/a=(a-1)/a,所以Sn=a(a^n-1)/(a-1), 继而推得: S(n-1)=a[a^(n-1)-1]/(a-1). 所以an=Sn-S(n-1)=a(a^n-1)/(a-1)-a[a^(n-1)-1]/(a-1)=a^n. 而a1=a=a*1,符合上式,所以数列{an}的通向公式an=a^n. 则bn=n*a^n*lga. 设数列{bn}的前n项和是Tn,则 Tn=1*a^1*lga+2*a^2*lga+3*a^3*lga+…+n*a^n*lga aTn=1*a^2*lga+2*a^3*lga+…+(n-1)*a^n*lga+n*a^(n+1)*lga 两式相减,得: (1-a)Tn=lga*(a^1+a^2+a^3+…+a^n)-n*a^(n+1)*lga=(lga)*a(1-a^n)/(1-a)-n*a^(n+1)*lga 所以Tn=a(lga)(1-a^n)/(1-a)^2-n(lga)*a^(n+1)/(1-a). (2)由题意: b(n+1)-bn=(n+1)*a^(n+1)*lga-n*a^n*lga=a^n*lg{a^[n(a-1)+a]}>0. 因为a^n>0,所以lg{a^[n(a-1)+a]}>0. 当a>1时,n(a-1)+a>0,所以a^[n(a-1)+a]>1,则不等式恒成立;
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