认识三角形常考题详解.docx
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认识三角形常考题详解
认识三角形常考题详解
1、如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作DE⊥AB于E,交AC于F、已知∠A=30°,∠FCD=80°,求∠D.
考点:
三角形内角和定理。
分析:
由三角形内角和定理,可将求∠D转化为求∠CFD,即∠AFE,再在△AEF中求解即可.
解答:
解:
∵DE⊥AB(已知),
∴∠FEA=90°(垂直定义).
∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°(已知),
∴∠AFE=180°﹣∠FEA﹣∠A(三角形内角和是180)
=180°﹣90°﹣30°
=60°.
又∵∠CFD=∠AFE(对顶角相等),
∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中,∠CFD=60°∠FCD=80°(已知)
∠D=180°﹣∠CFD﹣∠FCD
=180°﹣60°﹣80°
=40°.
点评:
熟练掌握三角形内角和内角和定理是解题的关键.
2、在△ABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°,求△ABC各内角的度数.
考点:
三角形内角和定理。
分析:
根据三角形的内角和定理,结合已知条件解方程即可.
解答:
解:
∵∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°,
又∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+(∠A+10°)+(∠A+10°+10°)=180°,
3∠A+30°=180°,
3∠A=150°,
∠A=50°.
∴∠B=60°,∠C=70°.
点评:
考查了三角形的内角和定理,还要能够熟练解方程.
3、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
(2)当P点在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,写出结论无需证明.
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
专题:
动点型。
分析:
(1)中,首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数,再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数,从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数,进一步求得∠E的度数;
(2)中,根据第
(1)小题的思路即可推导这些角之间的关系.
解答:
解:
(1)∵∠B=35°,∠ACB=85°,
∴∠BAC=60°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=30°,
∴∠ADC=65°,
∴∠E=25°;
(2)
或
.
点评:
运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义.特别注意第
(2)小题,由于∠B和∠ACB的大小不确定,故表达式应写为两种情况.
4、分别测量如图所示的△ABC和△DEF的内角.
(1)你发现了什么?
(2)你有何猜想?
(3)通过什么途径说明你的猜想?
考点:
三角形内角和定理。
专题:
探究型。
分析:
通过测量得出
(1),
(2)小题,利用平角定义和平行线的性质证明三角形内角和是180度.
解答:
解:
(1)通过测量可知:
两个三角形的内角和都等于180度;
(2)猜想:
任意三角形的内角和等于180°;
(3)方法很多.如:
过点A作直线MN∥BC,
∴∠1=∠B,∠3=∠C,
∵∠1+∠2+∠3=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
即三角形的内角和是180°.
点评:
主要考查三角形内角和定理的证明.
5、如图,已知△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数.
考点:
三角形内角和定理。
分析:
由三角形的内角和定理,可求∠BAC=70°,又由AE是∠BAC的平分线,可求∠BAE=35°,再由AD是BC边上的高,可知∠ADB=90°,可求∠BAD=25°,所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°.
解答:
解:
在△ABC中,
∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠CAE=35°.
又∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°,
∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°.
点评:
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质,高线的性质,解答的关键是三角形的内角和定理,一定要熟稔于心.
6、已知,如图在△ABC中,∠B>∠C,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC.
(1)若∠B=40°,∠C=30°,则∠DAE= 5° ;
(2)若∠B=80°,∠C=40°,则∠DAE= 20° ;
(3)由
(1)、
(2)我能猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系为
(∠B﹣∠C) .理由如下:
考点:
三角形内角和定理;角平分线的定义。
专题:
探究型。
分析:
首先根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数,又由于AE平分∠BAC,根据角平分线的定义可得出∠BAE的度数;由AD是BC边上的高,可知∠ADB=90°,由直角三角形两锐角互余,可求出∠BAD的度数;最后根据∠DAE=∠BAE﹣∠BAD,即可得出结果.
解答:
解:
由图知,∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=
∠BAC﹣∠BAD
=
(180°﹣∠B﹣∠C)﹣(90°﹣∠B)
=90°﹣
∠B﹣
∠C﹣90°+∠B
=
(∠B﹣∠C)
所以
(1)当∠B=40°,∠C=30°时,∠DAE=5°;
(2)当∠B=80°,∠C=40°时,∠DAE=20°;
(3)由以上得出结论:
∠DAE=
(∠B﹣∠C).
点评:
本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的定义及三角形的高的定义.解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系.
7、一个零件的形状如图,按规定∠A=90°,∠ABD和∠ACD,应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
考点:
三角形内角和定理。
分析:
本题考查的是三角形内角和定理.解答该题首先明确各个角之间的关系,连接BC,求出∠DBC+∠DCB的度数.根据三角形内角和定理检验∠A是否等于90°.
解答:
解:
不合格,理由如下:
连接BC,在△BCD中:
∠D+∠DBC+∠DCB=180°.
∵∠BDC=148°,
∴∠DBC+∠DCB=32°,
∵∠B和∠C分别为32°和21°,
∴∠ACB+∠ABC=85°,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A=95°.
所以∠A不是直角,所以该零件不合格.
点评:
此类题应观察检验在∠BDC=148°的情况下所规定的∠A是否还为90°.根据这条线索运用三角形的有关知识进行检验.
8、一个大型模板如图,设计要求BA和CD相交成30°角,DA和CB相交成20°角,怎样通过测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数来检查模板是否合格.
考点:
三角形内角和定理。
专题:
方案型。
分析:
构造三角形,利用三角形内角和定理判断即可.
解答:
解:
利用三角形内角和定理,如图,
延长BA、CD交于E,延长DA、CB相交于F,
要使∠BEC=30°,只要量得∠B+∠C=150°,
就可判定BA与CD相交成30°角,
同理,只要量得∠C+∠CDA=160°,
那么DA与CB相交成20°角.
点评:
考查了三角形的内角和是180度.
9、如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD的度数.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答.
解答:
解:
因为∠AFE=90°,
∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°,
∴∠CED=∠AEF=55°,
∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42=83°.
点评:
三角形外角与内角的关系:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形内角和定理:
三角形的三个内角和为180°.
10、如图,直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E,交BC延长线于F,若∠B=67°,∠ACB=74°,∠AED=48°,求∠BDF的度数.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数,再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数.
解答:
解:
因为∠A+∠B+∠ACB=180°,
所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°,
所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°.
点评:
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,解答的关键是沟通外角和内角的关系.
11、如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,并且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
在这里首先可以设∠DAE=x°,然后根据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质用x分别表示∠C和∠AED,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和进行求解.
解答:
解:
设∠DAE=x°,则∠BAC=40°+x°.
∵∠B=∠C,∴2∠C=180°﹣∠BAC
∴∠C=90°﹣
∠BAC=90°﹣
(40°+x°)
同理∠AED=90°﹣
∠DAE=90°﹣
x°
∴∠CDE=∠AED﹣∠C=(90°﹣
x°)﹣[90°﹣
(40°+x°)]=20°.
点评:
这里注意利用未知数抵消的方法解出了正确答案.
12、如图在△ABC中,∠B=40°,∠BCD=100°,EC平分∠ACB,求∠A与∠ACE的度数.
考点:
三角形的外角性质。
分析:
首先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得∠A的度数;再根据平角的定义及角平分线的性质求出∠ACB的度数即可.
解答:
解:
∵∠B=40°,∠BCD=100°,
∴∠A=∠BCD﹣∠B=60°,
∵∠BCD=100°,
∴∠ACB=180°﹣100°=80°,
又∵EC平分∠ACB,
∴∠ACE=
∠ACB=40°.
点评:
考查了三角形的外角性质、角平分线的概念.
13、
(1)如图①,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∠A=40°,求∠BOC的度数;
(2)如图②,△A′B′C′的外角平分线相交于点O′,∠A′=40°,求∠B′O′C′的度数;
(3)上面
(1)、
(2)两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A=∠A′=n°,∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系?
这个结论你是怎样得到的?
考点:
三角形的外角性质;角平分线的定义;三角形内角和定理。
分析:
(1)
(2)根据三角形内角和定理和角平分线定义解答;(3)由前两问提供的思路,进一步推理.
解答:
解:
(1)在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,则
∠1+∠2=
∠ABC+
∠ACB=
(∠ABC+∠ACB)
=
(180°﹣∠A)=
×(180°﹣40°)=70°.
故∠BOC=180°﹣70°=110°;
(2)因为∠A的外角等于180°﹣40°=140°,
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′,
根据三角形的外角和等于360°,
所以∠1+∠2=
×(360°﹣140°)=110°,
∠B′O′C′=180°﹣110°=70°;
(3)∵
(1)
(2)中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°,∴∠BOC与∠B′O′C′互补;
证明:
当∠A=n°时,∠BOC=180°﹣[(180°﹣n°)÷2]=90°+
,
∵∠A′=n°,∠B′O′C′=180°﹣[360°﹣(180°﹣n°)]÷2=90°﹣
,
∴∠A+∠A′=90°+
+90°﹣
=180°,∠BOC与∠B′O′C′互补,
所以当∠A=∠A′=n°,∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系.
点评:
此题是一道探索性题目,通过前两题的解答过程提供的思路,便可解答.
14、已知:
如图所示,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的交点,求:
∠ABE,∠ACF和∠BHC的度数.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
由三角形的内角和是180°,可求∠A=60°.又因为BE是AC边上的高,所以∠AEB=90°,所以∠ABE=30°.同理,∠ACF=30度,又因为∠BHC是△CEH的一个外角,所以∠BHC=120°.
解答:
解:
∵∠ABC=66°,∠ACB=54°,
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°.
又∵BE是AC边上的高,所以∠AEB=90°,
∴∠ABE=180°﹣∠A﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°.
同理,∠ACF=30°,
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°.
点评:
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
15、如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠A=50°,∠C=60°,求∠DAC及∠BOA.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
本题考查的是三角形内角和定理.关键求出∠BAD,易求∠DAC.
解答:
解:
已知∠A=50°,∠C=60°⇒∠B=70°
又∵AD是高⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=20°
∴∠DAC=∠A﹣∠BAD=30°
∵AE、BF是角平分线⇒∠ABF=35°,∠EAF=25°
∴∠AFB=180°﹣∠ABF﹣∠A=95°
∵∠BOA是△AFO的一个外角
∴∠BOA=∠EAC+∠AFB=120°
∴∠DAC=30°,∠BOA=120°.
点评:
本题关键是利用角平分线的性质解出∠EAF,再运用三角形外角和外角性质求出∠BOA.求∠DAC只需利用三角形内角和定理即可求出.
16、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,点E在CB的延长线上,已知∠ACD=55°,求∠ABE的度数.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
主要根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行计算.
解答:
解:
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∵∠ACD=55°,
∴∠A=90﹣55=35°.
∵∠ABE=∠A+∠ACB,
∴∠ABE=35+90=125°.
点评:
考查了直角三角形的性质以及三角形内角和定理的推论.
17、已知:
如图,在△ABC中,D为BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=120°,求∠DAC的度数.
考点:
三角形的外角性质;三角形内角和定理。
分析:
根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决.
解答:
解:
∵∠BAC=120°,
∴∠2+∠3=60°①
∵∠1=∠2,
∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②
把②代入①得:
3∠2=60°,
∠2=20°.
∴∠DAC=120°﹣20°=100°.
点评:
注意三角形的内角和定理以及推论的运用,还要注意角之间的等量代换.
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