15、三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°。
几何语言:
在三角形ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°
16、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
几何语言:
在三角形ABC中,
∠1=∠A+∠C
17、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
几何语言:
B
在三角形ABC中,
∠1>∠A,∠1>∠C
18、多边形内角和:
n边形的内角的和等于(n-2)×180°。
19、多边形的外角和等于360°。
20、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边、对应角相等。
几何语言:
如图所示
∵△ABC≌△DEF
∴∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF
21、全等三角形的判定方法:
(1)边边边:
三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
几何语言:
如图所示
∵AB=DE,BC=EF,AC=DF∴△ABC≌△DEF
(2)边角边:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
几何语言:
如图所示
∵AB=DE,∠A=∠D,AC=DF∴△ABC≌△DEF
(3)角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
几何语言:
如图所示
∵∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF
(4)角角边:
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
几何语言:
如图所示
∵∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
∴△ABC≌△DEF
(4)斜边、直角边:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
几何语言:
如图所示
∵AB=DE,BC=EF(AB=DE,AC=DF)
∴△ABC≌△DEF
22、角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
23、推论:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(推论)几何语言:
如图所示
∵EC⊥PA于C,ED⊥PB于D,EC=ED
∴点E在∠APB的平分线上
24、轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。
25 、线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
26、推论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(推论)几何语言:
如图所示
∵CA=CB
∴点C在线段AB的垂直平分线MN上
27、轴对称:
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;
(2)新图形式的每一点,都是原图形上的某一点关于直线的对称点;
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
28、用坐标表示轴对称:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。
29、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
30、等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵∠B=∠C
(判定定理)几何语言:
如图所示,在△ABC中
(1)∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形
(2)∵∠A=∠B,∠A=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AB=AC(等角对等边)
31、等边三角形的性质定理:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
(性质定理)几何语言:
如图所示,
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC,
∠A=∠B=∠C=60°
32、等边三角形的判定定理:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
33、直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言:
如图所示
∵∠C=90°,∠B=30°
∴AC=
AB(或者AB=2AC)
34、勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
35、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
(逆定理)几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
36、平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行。
(2)平行四边形的对边相等。
(3)平行四边形的对角相等。
(4)平行四边形的对角线互相平分。
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,AD∥BC
(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC
(3)∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD
(4)∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC,OB=OD
37、平行四边形的判定方法:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(定义)
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(判定)几何语言:
如图所示,
(1)∵AB∥CD,AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
(2)∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
(3)∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形
(4)∵AB
CD(或AD
BC)∴四边形ABCD是平行四边形
(5)∵∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
38、三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
几何语言:
如图所示,在△ABC中
∵D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=
BC
39、两条平行线间的任何一组平行线段相等。
40、矩形的性质:
(平行四边形具有的性质都具有)
(1)矩形的四个角都是直角。
(2)矩形的对角线相等。
41、直角三角形的性质:
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(2)直角三角形的两个锐角互余。
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵△ABC是直角三角形,D是AB的中点
∴CD=AB(或AB=2CD)
(2)∵△ABC是直角三角形∴∠A+∠B=90°
42、矩形的判定方法:
(1)有一个是直角的平行四边形是矩形。
(定义)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
(3)对角线相等的平行四边形是矩形。
(判定)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形
(2)∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∴四边形ABCD是矩形
(3)∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD∴四边形ABCD是矩形
43、菱形的性质:
(平行四边形具有的性质都具有)
(1)菱形的四条边都相等。
(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
44、菱形的判定方法:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(定义)
(2)四边相等的四边形是菱形。
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
45、菱形的面积=对角线(AC、BD)乘积的一半,即S=
(AC×BD)。
46、正方形的性质:
(矩形、菱形具有的性质都具有)
(1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等。
(2)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,
每条对角线平分一组对角。
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
(2)∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,OA=OB=OC=OD,∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=45°
47、正方形的判定:
(方法很多,只举三例)
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。
(2)有一个内角是直角的菱形是正方形。
(3)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
(判定)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是矩形,AB=BC∴四边形ABCD是正方形
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°∴四边形ABCD是正方形
(3)∵AC⊥BD,OA=OB=OC=OD∴四边形ABCD是矩形
48、等腰梯形的性质:
(1)等腰梯形在同一底上的两个角相等。
(性质)几何语言:
如图所示,
(1)∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB,∠DAB=∠ADC
(2)∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD
(2)等腰梯形的两条对角线相等。
49、等腰梯形的判定方法:
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。
(教材中没有)
(判定)几何语言:
如图所示,在梯形ABCD中,
(1)∵AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形
(2)∵∠ABC=∠DCB(或∠DAB=∠ADC)∴四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵AC=BD∴四边形ABCD是等腰梯形
50、重心:
线段的重心是它的中点;
三角形的重心是三条中线的交点;
平行四边形的重心是对角线的交点。