初一奥数专题讲义完全平方公式与平方差公式.docx
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初一奥数专题讲义完全平方公式与平方差公式
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
一.知识要点
1.乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。
公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2.基本公式
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
立方和(差)公式:
(a±b)(a2
ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广
(1)多项式平方公式:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
即:
多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
(2)二项式定理:
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
4.公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
5.由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4
(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6
…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下,可归纳如下:
设n为正整数
(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n
(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地:
(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn
由公式的推广③可知:
当n为正整数时
an-bn能被a-b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
二.例题精选
例1.已知x、y满足x2+y2+
=2x+y,求代数式
的值。
例2.整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3.同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.
甲商场:
第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;
乙商场:
两次提价的百分率都是
(a>0,b>0);
丙商场:
第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,
则哪个商场提价最多?
说明理由.
例4.计算:
(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1;
(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.
例5.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()
A.0B.1C.2D.3
例6.已知
(m为任意实数),则P、Q的大小关系为()
A.
B.
C.
D.不能确定
例7.若x2-13x+1=0,则x4+
的个位数字是()
A.1B.3C.5D.7
例8.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:
x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102。
三.同步练习
1.乘积(1-
)(1-
)……(1-
)(1-
)等于()
A.
B.
C.
D.
2.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是()
A.x≤yB.x≥yC.x
3.已知
,则a2-b2-2b的值为()
A.4B.3C.1D.0
4.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z=________。
5.计算:
(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;
(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6.已知a+
=5,则=
=_____。
7.已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是______.
8.已知a2+b2+4a-2b+5=0,则
=_____.
9.若代数式
可化为
,则b﹣a的值是.
10.已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明:
(1)b与c两数必为一奇一偶;
(2)2(a+b+1)是完全平方数.
参考答案:
一.例题精选
例1.提示:
由已知得(x-1)2+(y-
)2=0,得x=1,y=
原式=
例2.原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x、y为整数,
(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,
所以可能有的结果是
或
或
解得
或
或
或
x+y=1或2或3
例3.甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为
(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;
(1+
)·(1+
)=1+(a+b)+(
)2;
(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;
因(
)2-ab>0,所以(
)2>ab,
故乙商场两次提价后,价格最高.
例4.
(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716
(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345
例5.
例6.【分析】可用特殊值法或差值法.特殊值法:
取m=15,分别代入得P=6,Q=217,故P<Q;差值法:
P-Q=
=
=
<0,故P<Q.【答案】C
例7.
例8.提示:
由题意知:
xi+yi=9(i=1,2,…,10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10
因(x12+x22+…+x102)-(y12+y22…+y102)=(x12-y12)+(x22-y22)+…+(x102-y102)
=(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+…+(x10+y10)(x10-y10)
=9[(x1+x2+…+x10)-(y1+y1+…+y10)]=0
二.同步练习
9.
,这个代数式于
相等,因此对应的系数相等,即﹣2a=﹣6,解得a=3,
,将a=3代入得b=8,因此b﹣a=5.
10.解:
(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b与c-b同奇同偶,c+b>c-b,
故a不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.
(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,
于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.
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- 初一 专题 讲义 完全 平方 公式