1、初一奥数专题讲义完全平方公式与平方差公式初一奥数专题讲义完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式一知识要点1乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2基本公式完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2
2、ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。（2）二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4（ab)5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)5由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3
3、b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn由公式的推广可知：当n为正整数时anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。二例题精选例1已知x、y满足x2
4、+y2+=2x+y,求代数式的值。例2整数x,y满足不等式x2+y2+12x+2y,求x+y的值。例3同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 (a0,b0);丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多?说明理由.例4计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.3450.3452.69-1.3453-1.3450.3452.例5已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab
5、-bc-ca的值为( )A.0 B.1 C.2 D.3例6已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）A. B. C. D.不能确定例7若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是( ) A.1 B.3 C.5 D.7例8有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,;用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+x102=y12+y22+y102。三同步练习1乘积(1-)(1-)(1-)(1-)等于( )A. B. C. D. 2已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=
6、4(2b-a),则x、y的大小关系是( ) A.xy B.xy C.xy3已知，则a2b22b的值为（ ）A4 B3 C1 D04已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=_。5计算:(1)1.23452+0.76552+2.4690.7655=_；(2)19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_。6已知a+=5,则=_。7已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是_.8已知a2+b2+4a-2b+5=0,则=_.9若代数式可化为，则ba的值是 10已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.
7、证明:(1)b与c两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数.参考答案：一例题精选例1提示:由已知得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式=例2原不等式可化为(x-1)2+(y-1)21,且x、y为整数,(x-1)20,(y-1)20,所以可能有的结果是或或,解得或 或 或 ,x+y=1或2或3例3甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+)(1+)=1+(a+b)+( )2;(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因()2-ab0,所以()2ab,故乙商场两次提价后,价格最高.例4(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(
8、74+1)(78+1)+1=716 (2)设1.345=x,则原式=x(x-1)2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345例5例6【分析】可用特殊值法或差值法特殊值法：取m=15，分别代入得P=6，Q=217，故PQ；差值法：P-Q=0，故PQ【答案】C例7例8提示:由题意知:xi+yi=9(i=1,2,10)且x1+x2+x10=y1+y2+y10 因(x12+x22+x102)-(y12+y22+y102)=(x12-y12)+(x22-y22)+(x102-y102) =(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+(x10+y10)(x10-y10) =9(x1+x2+x10)-(y1+y1+y10)=0二同步练习9，这个代数式于相等，因此对应的系数相等，即2a6，解得a3，将a3代入得b8，因此ba510解:(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b与c-b同奇同偶,c+bc-b,故a不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.
