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抽样理论
第6章抽樣理論
§6.1抽樣誤差———母體參數與樣本統計量之間的差異
6.1.1.母體與樣本.人們在探討某些問題或研究一些現象時,往往限於時間、成本及其他因素使得這些問題或現象的全體資料不易取得,只好退而求其次:
選擇全體資料的一部份來研究。
這些問題或現象的全體資料,我們稱之為母體;而全體資料的一部份,則稱之為樣本。
例.
(1)在一碗湯中舀一匙湯﹒在此試驗中﹐母體是該碗湯;而樣本則是所舀出的那一匙湯﹒
(2)
6.1.2.統計推論.一般而言﹐統計的目的是要求母體的某個未知特徵數(例如:
母體平均數、母體中位數、母體變異數、母體標準差等等).母體的特徵數稱之為母數.要獲得未知母數的真實值最好的辦法是普查﹐然而﹐受限於時間、成本的考量﹐人們只好退而求其次:
估計母數.所謂統計推論就是利用樣本的某個特徵數(如樣本平均數、樣本中位數、樣本變異數、樣本標準差等等)來估計未知母數.
例.
(1)若要知道一碗湯的味道如何﹐只需舀一匙湯來嚐一嚐就知道了﹒
(2)
6.1.3.抽樣誤差.用全體資料的一部份來估計全體當然無法避免誤差﹐而誤差的來源有二:
一是非抽樣誤差﹐另一是抽樣誤差.
(1)非抽樣誤差.非抽樣誤差主要來自調查資料時的執行方式以及抄寫資料時所發生的錯誤﹐這種錯誤只能小心謹慎、仔細校對、多加審核以避免之﹐並無方法加以估計﹐所以在統計學中不討論這種誤差﹐也就是說統計學家通常假設這種誤差不存在.
(2)抽樣誤差.樣本的參數稱之為樣本統計量而母體的參數稱之為母數.使用某個樣本統計量來估計某個未知母數時﹐二者之間的差異稱之為抽樣誤差.抽樣誤差無法避免﹐只能盡量降低.抽樣誤差主要來自於抽樣方法、推論方法以及樣本數.
6.1.4.降低抽樣誤差.既然抽樣誤差主要來自於抽樣方法、推論方法以及樣本數﹐所以要降低抽樣誤差應從這三方面著手:
(1)降低抽樣方法所產生的誤差——使用簡單隨機抽樣(§6.2)以確保所抽出的
樣本是隨機樣本(§6.2)﹐如此可以降低由抽樣方法所產生的誤差.
(2)降低推論的方法所產生的誤差——我們必須瞭解下列四種理論:
(1)抽樣分佈(第六章)、
(2)選擇正確的樣本統計量(§7.1~
§7.3)、
(3)區間估計(§7.4~§7.6)、
(4)假設檢定(第八章).
以降低推論的方法所產生的誤差.
(3)降低樣本數所產生的誤差——一般而言﹐樣本數越大則誤差越小.但是顯
然樣本取得越多則成本越高﹒所以一般的做法是:
先決定所要求的誤差範
圍﹐再利用大數法則與中央極限定理(§6.4)求出在所要求的誤差範圍內最小
的樣本數.
6.1.5.簡單隨機抽樣.若某抽樣方法滿足:
所有可能的樣本其被抽出的機率相等﹐則該抽樣方法就稱為簡單隨機抽樣.
(1)有限母體的簡單隨機抽樣.
取後不放回.
取後放回.
例.(a)在富邦台北銀行所主持的大樂透中﹐每一組號碼被開出的機率都是
﹒
(b)
(2)無限母體的簡單隨機抽樣.
例.(a)在一碗湯中舀一匙湯﹒在此試驗中﹐母體是該碗湯;而樣本則是所舀出的那一匙湯﹒
(b)
6.1.6.隨機樣本.使用簡單隨機抽樣所抽出的樣本是隨機樣本.什麼是隨機樣本呢?
..
例.
(1)若要知道一碗湯的味道如何﹐只需舀一匙湯來嚐一嚐就知道了﹒
(2)
6.1.7.樣本統計量與抽樣分佈.
(1)樣本統計量.樣本統計量是隨機樣本中各參數的函數.
例.(a)樣本平均數.若
是一隨機樣本﹐則樣本平均數
是一個樣本統計量.注意到
是隨機樣本
中各變數
的函數.
(b)樣本變異數.
(2)抽樣分佈.樣本統計量的機率分布稱為抽樣分佈.
§6.2 樣本平均數的抽樣分佈
6.2.1.設某母體的平均數是
而變異數是
.令
是取該母體的隨機樣本﹐且令
﹐則
(1)
是互相獨立的﹔
(2)對於每一個
﹐
與母體有相同的機率分佈﹔
(3)對於每一個
﹐由於
與母體有相同的機率分佈﹐所以
與母
體有著相同的平均數以及相同的變異數﹐也就是說
、
﹔
(4)
﹔
(5)
.
例1.設有一母體之機率分配如下:
2
6
9
0.3
0.2
0.5
現自該母體以取後放回之方式抽出隨機樣本(
).若令
﹐則
(a)
的p.m.f.是
2
6
9
0.3
0.2
0.5
(b)
與
的聯合機率分配是
2
6
9
2
0.09
0.06
0.15
6
0.06
0.04
0.1
9
0.15
0.1
0.25
(c)
的抽樣分配是
2
4
5.5
6
7.5
9
0.09
0.12
0.3
0.04
0.2
0.25
6.2.2.大數法則.設某母體的平均數是
而變異數是
.令
是取該母體的隨機樣本﹐且
.則
當
.
6.2.3.中央極限定理.設某母體的平均數是
而變異數是
.令
是取該母體的隨機樣本﹐且
.則
當
.
6.3樣本比例的抽樣分佈
6.3.1.
6.3.2.
6.3.3.
6.3.4.
§6.4樣本變異數的抽樣分佈
6.4.1.
6.4.2.
6.4.3.
§6.5t分佈與F分佈
6.5.1..
6.5.2.
6.5.3.
6.5.4.
§6.6兩母體平均數差的抽樣分佈
6.6.1.
6.6.2.
6.6.3.
§6.7兩母體變異數比的抽樣分佈
6.7.1.
6.7.2.
6.7.3.
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