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下五年制高职数学教案
2012年下五年制高职数学教案12
1.1集合的概念
【教学目标】
1.感受集合的含义,懂得集合的作用
2.会根据已知条件构造集合
3.会用适当的方法表示集合
【教学重点】
1.集合的特征性质
【教学难点】
1.用适当的方法表示需要的集合
【教学方法】
讲授法
【教学过程】
一、新课引入:
请同学回顾初中与集合有关的概念:
线段的垂直平分、园、不等式的解、一元二次方程的解。
但是我们没有给出集合的具体定义。
今天我们加强对集合的学习,给出集合的定义。
二、新课讲授:
1.集合的基本概念
(1)集合的含义
所谓集合,是有限个或无限个事物的总体,这些事物或者被直接选定,或者以某种特定的属性予以界定;构成集合的每一个具体事物叫做该集合的元素.
例如:
①由一个苹果、一本书、一台电脑构成的集合;
②由数0,1,9,11,40构成的集合;
③由数字字符‘0’,‘2’,‘7’,‘9’,‘5’构成的集合;④一个星期的七天的名称构成的集合;
⑤构成水分子的元素构成的集合;
⑥构成单词“GOOD”的字符构成的集合;
⑦方程x2-3x+2=0的根构成的集合;
⑧所有可以被2整除的整数构成的集合.
1
(2)集合构成的基本原则
确定性原则
互异性原则
无序性原则
(3)有限集和无限集
2.集合的表示
(1)集合的标识符
集合的标识符一般采用大写的西文字符A,B,C等;集合内元素的标识符则一般采用小写的西文字符a,b,c等
给定了一个集合,我们就可以判定具体事物是否是该集合内的元素.如果某事物是集合的元素,就叫该元素属于集合,用记号‘?
’表示;否则就叫该元素不属于集合,用记号‘?
’表示.
例1用记号‘?
’,‘?
’连接下面的事物和集合:
(1)A是构成水分子的元素集合,化学元素He,C,O,Cu;
(2)A是能被3整除的正数集合,数a=-15,b=-6,c=9,d=15,e=31,h=1023;
(3)B是由你所在学校全体学生、教师构成的集合,a表示你校校长,b表示班某位同学,c表示你校的门卫,d表示在你班借读的某位学生,h表示你的班主任.
解
(1)He?
A,C?
A,O?
A,Cu?
A;
(2)a?
A,b?
A,c?
A,d?
A,e?
A,h?
A;
(3)a?
B,b?
B,c?
B,d?
B,h?
B.
(2)集合构成的表示法
①列举法
表示形式:
集合标识符={以逗号隔开的全部元素}.
适用范围:
直接给出元素或以属性界定元素的有限集.②描述法
表示形式:
集合标识符={元素属性描述},
或集合标识符={元素通用标识符|元素属性描述}.所谓元素通用标识符是指可以表示集合中一般元素的符号.
适用范围:
以属性来界定集合元素的集合.
2
③维恩(Venn)图表示法
表示形式:
在一个封闭的平面几何图形(一般是一个不讲究的圆或矩形)内,写出用逗号隔开的集合内元素或写出集合的标识符.
练习:
1..写出下列用描述法表示的集合的含义:
(1)A={x|x是整数,x>0};
(2)B={y|y?
本校,y不是教职工};
2.用带有元素通用标识符的描述法表示下列集合:
(1)你家里拥有的电气用具的集合;
(2)你所在班级中女同学的集合;
(3)不小于-4的偶数的集合;
(4)方程x2+4x+1=0的正根的集合
三、课堂小结:
1、集合的定义
2、列举法、描述法
一、课后作业
教材P43、4题
3
1.2集合的关系
【教学目标】
(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;
(2)理解子集、真子集的概念;
(3)能利用Venn图表达集合间的关系;
(4)了解空集的含义。
【教学重点】
子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系。
【教学难点】
弄清元素与子集、属于与包含之间的区别;空集的含义
【教学方法】
讲授法、讨论法
【教学过程】
一、新课引入:
类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?
(宣布课题)
二、新课讲授:
(一)集合与集合之间的“包含”关系;
观察下列集合,说出集合A与集合B的关系(共性)
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}
(2)A=N,B=Q
(3)A={-2,4},B?
{x|x?
2x?
8?
0}
(集合A中的任何一个元素都是集合B的元素)
集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说集合A与集合B有包含关系;
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:
A?
B(或B?
A)
读作:
A包含于(iscontainedin)B,或B包含(contains)A2
4
若任意x?
A?
x?
B,则A?
B
注:
A?
B有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
A?
B(或B?
A)
(二)集合与集合之间的“相等”关系;
例如:
上面的例子(3)A={-2,4},B?
{x|x?
2x?
8?
0},它们之间的关系?
在上一讲中,我们已知“只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的。
”
上面我们学习了子集的定义,如何用子集的定义来描述集合的相等?
(请学生回答)2
A?
B且B?
A,则A?
B中的元素是一样的,因此A?
B
即A?
BA?
B?
B?
A
(三)真子集的概念
什么是真子集?
(请学生回答)
若集合A?
B,存在元素x?
B且x?
A,则称集合A是集合B的真子集(propersubset)。
记作:
AB(或BA)
读作:
A真包含于B(或B真包含A)
举例(由学生举例,每4个人一组,每组提出两个真子集的例子,大家共同辨析,看看是对还是错)
(四)空集的概念
对于一元二次方程若判别式=0,则一元二次方程无解,也就是由实数根组成的集合中没有元素。
例如:
x?
1?
02
5
(五)把不含有任何元素的集合称为空集(emptyset),记作:
?
规定:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论:
1任何一个集合是它本身的子集,即A?
A○
2对于集合A、B、C,如果A?
B,且B?
C,那么A?
C○
(六)现在我们已了解了集合间的基本关系,为了加强对这些基本关系的理解,我们做下面的练习
扑克牌练习
抽出4-5名学生,站在前面,每人分扑克牌一张(1-5)形成一个集合,其他学生轮流快速说出这个集合的子集,不允许重复,点到数字的集合中学生要向前跨一步,没点到的不动,错误的罚俯卧撑2个,但是若说子集时重复的也要罚俯卧撑2个,老师负责记录子集。
(作用:
让学生了解子集、一个集合有多少子集,配合下面的练习,学生会更清楚)
(七)易混符号
①“?
”与“?
”:
元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间1?
N,?
1?
N,N?
R,Φ?
R,{1}?
{1,2,3}
②{0}与Φ:
{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合如Φ?
Φ={0},Φ∈{0}
(八)例题
(1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。
(2)化简集合A={x|x-3>2},B={x|x?
5},并表示A、B的关系;
四、课堂练习
1、教材:
练习
2、在下列各式中错误的个数是()
(1)1?
?
0,1,2?
(2)?
?
1?
?
0,1,2?
(3)?
0,2,10,1,2?
(4)?
0,1,22,0,1?
A、1B、2C、3D、4
3、集合?
0?
与?
的关系是()
6
A、?
0?
?
B、?
0C、?
0?
=?
D、?
0
4、
(1)分别写出下列集合的子集及其个数:
?
,?
a?
,?
a,b?
,?
a,b,c?
;
(2)由
(1)你猜想当集合M中含有n个元素时,则集合M有多少个子集?
(优化设计)
三、课堂小结:
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;
四、课后作业
教材P7第2、4题
7
1.3集合的运算
【教学目标】
1、理解集合的交、并的概念;
2、会准确地进行集合之间的交、并运算
【教学重点】
交集、并集的概念.
【教学难点】
正确地进行集合之间的交、并运算.
【教学方法】
课堂目标教学法.
【教学过程】
一、新课引入:
(一)预习目标检测
问题1、什么叫运算呢?
6+18=___6-18=___6?
18=___6?
18=___
这些运算的特点是________________;什么叫集合的运算呢?
集合的运算又是怎样的呢?
问题2、6的正约数集合A=___________,8的正约数集合B=____________;
6与8的正公约数集合C=____________
二、新课讲授:
【目标一】集合的交运算和交集
设A、B是两个集合,取出A、B共有的元素组成集合C的运算叫做交运算,C叫做A、B的交集,记作C=A?
B
即A?
B=?
xx?
A且x?
B?
交集的维恩图表示形式:
例1、求下列集合的交集:
8
(1)A={2,4,7},B={-2,1,2,4};
(2)A={等腰三角形},B={直角三角形};(3)A={x|x?
-1},B={x|x>-4};(4)A={x|x?
-1},B={x|x>2}(5)A={x|x?
3},B={x|2x+1>2}解:
(1)A?
B?
{2,4}
(2)A?
B?
{等腰直角三角形}
(3)A?
B?
{x?
4?
x?
?
1}(见图1)(4)A?
B?
?
(见图2)(5)A={x?
3?
x?
3},B={xx?
图
(1)
1
}2
图
(2)
A?
B?
{x
1
?
x?
3}2
【目标二】集合的并运算和并集
设A、B是两个集合,合并A、B的所有元素的集合的运算叫集合的并运算,合并的结果D叫做A、B的并集,记作D=A?
B
即A?
B=xx?
A或x?
B
并集的维恩图表示形式:
?
?
例2、
(1)A={x|x?
3},B={x|x<-3};
(2)A={x|x?
3},B={x|0<x<5};(3)A={班内全体男生},B={班内全体女生}.(4)A={x|3x-6?
0},B={x|2x<10}
解:
(1)A?
B={x|x<-3或x?
3},(见图3);
(2)A?
B={x|x>0},(见图4);
(3)A?
B={全班学生}
(4)A?
B=R图4
9
【例题拓展】例3:
设A={(x,y)∣y=-4x+6},B={(x,y)∣y=5x-3},求A∩B解:
A∩B={(x,y)∣y=-4x+6}∩{(x,y)∣y=5x-3}
?
{(x,y)?
?
y?
?
4x?
6}={(1,2)}?
y?
5x?
3
【目标三】集合的全集
在研究集合与集合的关系时,常常取定一个集合,所讨论的集合都是这个集合的子集,称为这个集合为全集,记作U,我们叫全集。
(三)课堂目标检测
1、求下列集合的交集:
(1)A={1,4,5},B={3,4,6}
(2)A={xx?
3},B={x2?
x?
4}
(3)A={xx?
?
1},B={xx?
3}
(4)A={x|x?
5},B={x|13-x<10}
2、求下列集合的并集
(1)A={1,4,5},B={3,4,5}
(2)A={xx?
?
1},B={xx?
3}
(3)A={xx?
3},B={x2?
x?
4}
(4)A={x|x?
3},B={x|x>2}
3、设A={(x,y)∣y=3x—4},B={(x,y)∣y=—2x+6},求A∩B
4、思考:
A∩A=_____;A?
A=______;A∩?
=_____;A?
?
=_____.
三、课堂小结:
定义:
设A、B是两个集合,由属于A又属于B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集
定义:
设A、B是两个集合,由属于A或属于B的所有元素组成的集合,称为A与B的并集
相同点:
由两个集合A与B运算出一个新的集合,涉及到三个集合。
10
不同点:
A∩B的元素实质是A与B的公共元素
A∪B的元素实质是A与B的一切元素
本节课学习了两个符号——?
和?
,两种运算——交运算和并运算,理解、区分并掌握,寻找两个符号区分的方法。
四、课后作业
教材P10,第5、6题
11
2.1不等式的性质
【教学目标】
1.掌握不等式的三条基本性质以及推论,能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题.
2.掌握应用作差比较法比较实数的大小.
3.通过教学,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质.
【教学重点】
不等式的三条基本性质及其应用.
【教学难点】
不等式基本性质3的探索与运用.
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法与分组探究教学法.通过引导学生回顾玩跷跷板的经验,师生共同探究天平两侧物体的质量的大小,引导学生理性地认识不等式的三条基本性质,并运用作差比较法来证明之.通过题组训练,使学生逐步掌握不等式的基本性质,为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础.
【教学过程】
一、新课引入:
【课件展示情境1】
12
创设天平情境问题:
观察课件,说出物体a和c哪个质量更大一些?
由此判断:
如果a>b,b>c,那么a和c的大小关系如何?
二、新课讲授:
性质1(传递性)
如果a>b,b>c,则a>c.
分析要证a>c,只要证a-c>0.证明因为a-c=(a-b)+(b-c),
又由a>b,b>c,即a-b>0,b-c>0,所以(a-b)+(b-c)>0.
因此a-c>0.
即a>c.
【课件展示情境2】
13
性质2(加法法则)
如果a>b,则a+c>b+c.
证明因为(a+c)-(b+c)=a-b,
又由a>b,即a-b>0,
所以a+c>b+c.
思考:
如果a>b,那么a-c>b-c.是否正确?
不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号的方向不变.推论1如果a+b>c,则a>c-b.
证明因为a+b>c,
所以a+b+(-b)>c+(-b),
即a>c-b.
不等式中任何一项,变号后可以从一边移到另一边.
练习1
(1)在-6<2的两边都加上9,得;
(2)在4>-3的两边都减去6,得;
(3)如果a<b,那么a-b-3;
(4)如果x>3,那么x+;
(5)如果x+7>9,那么两边都,得x>2.
小组合作探究:
学生4人一组,把不等式5>2的两边同时乘以任意一个不为0的数,观察不等号的方向是否变化.
多试几次,你发现什么规律了吗?
性质3(乘法法则)
如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.证明因为ac-bc=(a-b)c,
14
又由a>b,即a-b>0,
所以当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;
所以当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc.
如果不等式两边都乘同一个正数,则不等号的方向不变,如果都乘同一个负数,则不等号的方向改变.
思考:
如果a>b,那么-a-b.
练习2
(1)在-3<-2的两边都乘以2,得
(2)在1>-2的两边都乘以-3,得
(3)如果a>b,那么-3a3b;
(4)如果a<0,那么3a5a;
(5)如果3x>-9,那么x3;
(6)如果-3x>9,那么x3.
练习3判断下列不等式是否成立,并说明理由.
(1)若a<b,则ac<bc.()
(2)若ac>bc,则a>b.()
(3)若a>b,则ac2>bc2.()
(4)若ac2>bc2,则a>b.()
(5)若a>b,则a(c2+1)>b(c2+1).()
三、课堂小结:
要点:
不等式的三条基本性质.
方法:
作差比较法.
注意点:
不等式的两边同时乘以同一个负数时,不等号的方向必须改变.
四、课后作业:
必做题:
教材P27,练习3、5题。
15
2.2.一元一次不等式(组)的解集
【教学目标】
1.了解一元一次不等式(组)概念,掌握一元一次不等式(组)的解法.
2.通过教学,体会数形结合、类比等数学思想方法.
3.通过对不等式有关概念的学习,培养学生的知识迁移能力和建模意识,以及合作学习的意识.
【教学重点】
一元一次不等式(组)的解法.
【教学难点】
用数轴确定不等式(组)的解集.
【教学方法】
本节课主要采用讲练结合法.首先介绍一元一次不等式的有关概念,接着介绍一元一次不等式的解法及相应的步骤,这是解一元一次不等式组的基础.最后引导学生在数轴上用区间表示各不等式的解集,在此基础上求出相应不等式组的解集.
【教学过程】
一、新课引入:
展示本章的章前语关于全球通和神州行的服务资费问题.
问题1如果只考虑本地通话的费用,则通话时间为多少时,神州行方式的费用小于全球通方式的费用?
解设本地通话时间为xmin,由题意得
0.6x<50+0.4x.
解这个不等式的步骤依次为
0.6x-0.4x<50,(移项)
0.2x<50,(合并同类项)
x<250.(两边同除以0.2,
16
不等号的方向不变)
所以,在本地通话时间小于250min时,神州行方式的费用小于全球通方式的费用.
二、新课讲授:
1.一元一次不等式.
未知数的个数是1,且它的次数是1的不等式叫做一元一次不等式.例1解不等式2(x+1)+
解由原不等式可得
12(x+1)+2(x-2)>21x-6,(原式两边乘6)
12x+12+2x-4>21x-6,(分配律)
12x+2x-21x>-12+4-6,(移项)
-7x>-14,(合并同类项)
x<2.(不等式性质)
所以,原不等式的解集是{x|x<2},即(-∞,2).
解一元一次不等式的步骤:
S1去分母;
S2去括号;
S3移项;
S4合并同类项,化成不等式(ax>b)(a≠0)的形式;
bS5不等式两边都除以未知数的系数,得出不等式的解集为{x|x>}(或a
b{x|x<).a
练习1求下列不等式的解集:
(1)x+5>2;
(2)y+1y-1y-1-.326
17
x?
27x>-1.32
2.一元一次不等式组.
一般地,由几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
问题2某塑料制品加工厂为了制定某产品第四季度的生产计划,收集到该产品的信息如下:
(1)此产品第四季度已有订货数4000袋;
(2)每袋需要原料0.1吨,可供原料410吨;
(3)第四季度生产此产品的工人至多有5人,每人的工时至多504工时,每人每工时生产2袋.
请你根据以上的数据,决定第四季度可能的产量.
解:
设该产品第四季度产量为x袋:
由题意知
?
?
x≥4000
?
x≤4100?
x≤5040?
解得4000≤x≤4100.
所以,第四季度该产品的产量应不少于4000袋且不多于4100袋.
例2解下列不等式组:
?
?
-3x+2x≥5
(1)?
1
(2)x+x≤-1?
3?
5x?
7x?
?
4x?
21x?
1x?
2>0?
3?
2
?
?
-x≥5
?
4x≤-1?
3?
解:
(1)由原不等式组可得
即
18
?
?
x≤-5
3?
x≤-?
4?
所以x≤-5.
即原不等式的解集为{x|x≤-5}.
(2)由原不等式
?
?
2x≤-2
?
1x>-2?
6?
即
?
x≤-1?
?
x>-12
所以-12<x≤-1.
即原不等式组的解集为{x|-12<x≤-1}.
解一元一次不等式组的步骤:
S1求这个不等式组中各个不等式的解集;
S2求出这些不等式的解集的公共部分,即求出了这个不等式组的解集.练习2解不等式组:
?
4x>2x-6?
?
10+3x>7x-30
三、课堂小结:
解一元一次不等式的步骤;
解一元一次不等式组的步骤.
四、课后作业:
P43,练习2、3题;
19
2.3一元二次不等式的解法
【教学目标】
1.理解一元二次不等式的概念;掌握一元二次不等式的解法,体会一元二次方程与一元二次不等式的关系.
2.进一步理解用数轴表示不等式解集的方法,体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法,提高运算能力和逻辑思维能力.
3.激发学习数学的热情,培养勇于探索、勇于创新的精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.
【教学重点】
一元二次不等式的解法.
【教学难点】
将一元二次不等式转化为同解的不等式组.
【教学方法】
本节课主要采用启发式教学法.首先通过旅馆客房的租金问题引入一元二次不等式的解法问题,然后,介绍一元二次不等式的有关概念,教学生学习用化归的思想,把一元二次不等式转化为同解的一元一次不等式组.从而求出其解集.
【教学过程】
二、新课引入:
1.解一元二次方程:
(1)x2-15x+50=0;
(2)x2?
x?
12=0.
2.解一元一次不等式组:
?
x>?
1?
x<?
3?
x<1?
x>3
(1)?
(2)?
(3)?
(4)?
?
x>7?
x>3?
x<2?
x<?
4
三、新课讲授:
问题一家旅社有客房300间,每间客房的日租金为30元,每天都客满,如果一间客房的日租金每增加2元,则客房每天出租会减少10间.不考虑其他
20
因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,可以保证每天客房的总租金不少于10000元.
解设每间客房的日租金增加x个2元,即客房的日租金为(30+2x)元,这时将有300-2x房间租出.
(300-2x)(30+2x)≥10000,
-20x2+600x-300x+9000≥10000,
x2-15x+50≤0,
(x-5)(x-10)≤0,
本不等式等价于不等式组:
?
x-5≥0?
x-5≤0(Ⅰ)?
或(Ⅱ)?
?
x-10≤0?
x-10≥0
解不等式组(Ⅰ),得5≤x≤10;
解不等式组(Ⅱ),得其解集为空集.
所以原不等式的解集为[5,10].
即旅社将每间客房的日租金提高40到50元时,可以
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- 下五年制 高职 数学教案