小学数学解题思路大全巧想妙算文字题Word下载.docx
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这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、……开始。
思路三:
两数和最大的是19。
两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;
和是11~19的取法
5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本
性质知
交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如,思考题:
在五个中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立其结果是
0,,1,,2。
从得数出发,想:
两个相同数的差,等于0;
一个数加上或减去0,仍等于这个数;
一个因数是0,积就等于0;
0除以一个数(不是0),商等于0;
两个相同数的商为1;
1除以,商等于2;
解法很多,只举几种:
-×
×
=0
---×
++×
-=0\
+--×
+=
++--=
+×
+—=
+-=
++=1
÷
+-×
=1
-÷
+÷
-+=1
-++÷
=
++=
+++-=
-=
+-=2
++-÷
=2
[+×
+]÷
6.想平均数
由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。
设第一个数为“1”,则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16-1=15,
15-1=14或16-2=14。
若先求第一个数,则
设第三个数为“1”,则第二、三个数,
知是15、16。
思路四:
第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷
(8-7)×
7=14。
若先求第三个数,则
2÷
8=16。
7.想奇偶数
例1思考题:
在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、
减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,
比原式和增大了78-(7+8)=63,即
1+2+3+4+5+6+78+9
=45+63=108。
为使其和等于100,式左必须减去8。
加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。
“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负“-1”,
不能介绍。
如果式左变为
12+3+4+5+6+7+89。
[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。
即12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。
要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有
12+3+4+5-6-7+89=100,
12-3-4+5-6+7+89=100,
同理得
12+3-4+5+67+8+9=100,
1+23-4+56+7+8+9=100,
1+2+34-5+67-8+9=100,
123-4-5-6-7+8-9=100,
123+4-5+67-89=100,
123-45-67+89=100。
为了减少计算。
应注意:
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢
1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±
偶数=奇数,结果不会是100。
(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。
因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,
再减去余下的56,差大于100。
例2求59~199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
奇数比它对应的序数2倍少1。
用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。
例如,32对应奇数2×
32-1=63。
奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n
=100)的位置上。
知1~199的奇数和是1002=10000。
此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292
=841。
所求为10000-841=9159。
或者59=30×
2-1,302=900,
10000-900+59=9159。
若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比
原式和增大了78-(7+8)=63,即
“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负数“-1”,
奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)
的位置上。
此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。
证明:
设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么M×
N=P×
a×
P×
b。
而Q=P×
b,
所以M×
Q。
例1甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。
甲数是21,乙数是多少
例2已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。
这两个互质数的积为1×
155=155,还可分解为5×
31。
所求是1和155,5和31。
例3两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的倍,求各数。
由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的倍。
小数的平方为4×
40÷
=64。
小数是8。
大数是8×
=20。
算理:
4×
40=8×
20=8×
(8×
=82×
。
9.想份数
10.巧用分解质因数
例1四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。
144=24×
32
=(22×
3)×
[(2×
2]
=(4×
(6×
2)
可组成4∶6=2∶3等八个比例式。
例2三个连续自然数的积是4896,求这三个数。
4896=25×
32×
17
=24×
17×
(2×
32)
=16×
18
1728=26×
33=(22×
3)3=123
385=5×
7×
11
例41992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:
找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多
少
1992=2×
2×
3×
83
2+3+83=88
例5甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两
17.想法则
用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。
子比分
母少16。
求这个分数
由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”,结果是分子的5倍比
3倍比
分母少16。
知
分子的5-3=2(倍)是2+16=18,分子为18÷
2=9,分母为9×
5-2=43或9×
3+16=43。
18.想公式
证明方法:
以分母a,要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。
19.想性质
例11992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:
有甲、乙两个
多
少倍
200÷
16=(倍)。
例2思考题:
三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;
其中一个分数的值,等于另两个分数的和。
写出这三个分数。
由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;
12、15、30;
12、15、60。
由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几
此题特点:
(2)每组分子的排列:
假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。
分数的个数为n+n-1=2n
-1,即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系
分母:
1、2、3、4、5、……
分数个数:
1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×
2
-1-6=13(个)位置上。
分别排
在81+7=88(个),81+13=94(个)的位置上。
或者102=100,100-12=88。
100-6=94,88+6=94。
问题
(二):
由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分
数所在的组数400=202,分母也是它。
第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后
一个,即
若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。
逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个
352-(35×
2-1)+1
=1225-69+1=1157。
排在1157-1225个的位置上。
20.由规则想
例如,1989年从小爱数学邀请赛试题:
接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两
个数字的乘积的个位数字。
例如,8×
9=72,在9后面写2,9×
2=18,在2后面写8,……得到一串数:
1989286……
这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么
先按规则多计算几个数字,得884……显然,1989后面的数总是不断重复出现286884,
每6个一组。
(1989-4)÷
6=330……5
最后一组数接着的五个数字是28688,即第1989个数字是8。
21.用规律
例1第六册P62第14题:
选择“+、-、×
、÷
”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数
分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)22222=0
(2)22222=1
(10)22222=9
解这类题的规律是:
先想用两、三个2列出,结果为0、1、2的基本算式:
2-2=0,2÷
2=1;
再联想2-2÷
2=1,2×
2=2,2÷
2+2=3,……
每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:
2+2÷
2-2=0
2-2÷
2=1
2-2+2÷
2=2
2-2=3
2-2-2=4
2+2×
2=5
2+2-2+2×
2=6
2=7
2=8
2=9
例2第六册P63题4:
写出奇妙的得数
2+1×
9=
3+12×
4+123×
5+1234×
6+12345×
得数依次为11、111、1111、11111、111111。
此组算式的特点:
第一个加数由2开始,每式依次增加1。
第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为1、12、123、……
继续写下去
7+123456×
9=1111111
8+1234567×
9=
9+×
9=1
10+9×
9=11
11+00×
12+×
很自然地想到,可推广为
(1)当n=1、2时,等式显然成立。
(2)设n=k时,上式正确。
当n=k+1时
k+1+123…k×
9
=k+1+[123…(k-1)×
10+k]×
=k+1+123…(k-1)×
9×
10+9k
=[k+123…(k-1)×
9]×
10+1
根据数学归纳法原理,由
(1)、
(2)可断定对于任意的自然数n,此等式都成立。
例3牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母-1)÷
2。
=(21-1)÷
2=10。
22.巧想条件
比5小,分母
是13的最简分数有多少个。
7~64
为64-(7-1)=58(个),去掉13的倍数13、26、39、52,余下的作分子得54个最简分数。
例2一个整数与1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为24这个整数就是可用的。
4、5、6、7、8、9、10中,有几个是可用的。
看结果,想条件,知都是可用的。
(1+2+3)=24
(5+1+2)×
3=24
6×
(3+2-1)=24
3+1+2=24
8×
3÷
(2-1)=24
3-1-2=24
2+1+3=24
23.想和不变
无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7+11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1+2=3,要保持原和不变,必同时扩大18÷
3=6(倍)。
某数为7-6=1或12-11=1。
24.想和与差
算理,原式相当于
求这个分
数。
25.想差不变
分子与分母的差41-35=6是不变的。
新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变,新分数的分子和
分母需同时扩大6÷
1=6(倍)。
某数为42-35=7,或48-41=7。
与上例同理。
23-11=12,3-1=2,12÷
2=6,
某数为11-6=5或23-18=5。
分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。
当分母加上2后,分子比分母应小3+2=5。
26.想差的1/2
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。
分母减
去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。
例1求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个,3的倍数有4个,(2×
3)的倍数2个,知所求数是
例2分母是105的,最简真分数的和是多少
倍数15
个,(3×
5)、(5×
7)、(3×
7)的倍数分别是7、3、5个,(3×
5×
7)的倍数1个。
105-[(35+21+15)-(3+5+7)+1]=48,
48÷
2=24。
27.借助加减恒等式
个数。
若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,得
这九个分数是
28.计算比较
例如,九册思考题:
1÷
11、2÷
11、3÷
11……10÷
11。
想一想,得数有什么规律
可见,除数是11,被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11),商
17÷
11=(11+6)÷
11=11÷
11+6÷
凡商是纯循环小数的除式,都有此规律;
不是纯循环小数的,得数不存在这一规律。
不难发现,它们循环节的位数比除数少1,循环数字和顺序相同,只是起点不同。
只要记住1÷
7的循环节数字“142857”和顺序,计算时以最大商的数字为起点,顺序写出全部循环节
数字,即可。
29.由验算想
计算1212÷
101,……,3939÷
303,你能从计算中得到启发,很快说出下面各题的得
数
4848÷
202,7575÷
505,……
3939÷
303
=(3030+909)÷
=3030÷
303+909÷
=10+3=13
备课用书这种由“除法的分配律”解,要使三年级学生接受,比较困难。
若从“除法的验算”推导
由3939÷
303=(),
商百位上的3和13相乘才可得39,商个位上的3也必须与13相乘得39,除数是13确定无疑。
显
然,在被除数上面写上除数,使位数对齐,口算很快会得出结果。
所以商
是12。
30.想倍比
31.扩缩法
例如,两数和是42,如果其中一个数扩大5倍,另一个数扩大4倍,则和是181。
若把和,即这两个数都扩大4倍,则得数比181小,因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。
差就
是那个数。
181-42×
4=13
42-13=29
若把两数都扩大5倍,结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×
5-181=29,42—29=13。
若把181缩小4倍,则得数比42大。
因为其中的一个数先扩大5倍,又
若把181缩小5倍,得数比42小。
因为先扩大4倍的那个数,又缩小
5
最佳想法:
两数扩大的倍数不同,181不会是42的整倍数。
相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
181÷
42=4余13。
另个数可这样求
32.分别假设
例如,1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5:
把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2
米,得到一个长方形,它与原来的正方形面积相等。
那么,正方形的面积是多少平方米。
设正方形的边长为1,另一边增加的百分数为x,则
(1-1×
20%)×
(1+x)=1,
正方形边长2÷
25%=8(米),
面积8×
8=64(平方米)。
33.变数为式
34.分解再组合
例如,(1+2+3+…+99)+(4+8+12+…+396)
=(1+2+3+…+99)+4(1+2+3+…+99)
=5(1+2+3+…+99)
35.先分解再通分
有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质,不必用2、3、5、……逐个试除。
把其中一个分解质因数,看另一个数能否被
这里的某个质因数整除即可。
57=3×
19,如果57和76有公有的质因数,只可能是3或19。
用3、19试除,
[57,76]=19×
4=228。
26=2×
13,65和91是13的倍数。
最小公分母为
13×
7=910。
36.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。
其实,
分解质因数在解题中很有用处。
提供新解法,启迪创造思维。
例2184×
75
原式=2×
46×
=46×
5)2
=138×
100=13800。
37.变式法
38.推理调整
例如,1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8:
一个小于200的自然数,它的每
位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘
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