小学奥数汇编教材 第一讲数论综合一.docx
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小学奥数汇编教材第一讲数论综合一
特级教师小学奥数汇编教材
第一讲数论综合
(一)
【专题知识点概述】
在近几年的北京重点中学小升初分班考试中,数论题目的分值大都超过了行程问题,占据了考试内容最显著的地位!
数论题目灵活多变,能较充分考察你思维的开拓性、方法技巧的综合运用能力、创新及细心程度,易于分开学生层次。
数论问题按知识体系大体可分为:
整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数,这几大板块我们在之前的学习中已经都接触过了,但它们并不是数论的全部,细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”,它们也是帮你解决数论问题的法宝。
比如最大最小问题、关于取整运算、尾数问题、二进制应用、一些特殊变形问题等。
【授课批注】
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.
【习题精讲】
【例1】(难度等级※※※)
从1开始由小到大按顺序取自然数,第一次取一个数,第二次取两个数,第三次取三个数,以后继续按照每次取一个、两个、三个的方式重复进行,第()次取的数之和为573。
【分析与解】
573/3=191所以三个数分别是190、191、192
因为3次是取6个数,我们用192÷6=32
那么也就是说,192是32个3次,就是取到192是96次。
【例2】(难度等级※※※)
小明写自然数从1到N,所写下的数字之和是28035,则N=?
【分析与解】
解法一
000001002003004005006007008009
010011012013014015016017018019
...
...
990991992993994995996997998999
共有1000个数字.
个位的1有100个
个位的2有100个
个位的3有100个
...
个位珠9有100个
同理.十位的1、2、3、……9分别有100
百位的1、2、3、……9有100
所以1至999各位数的和是
(1+2+3+……+9)*100*3=13500
1000到1999的个位、十位、百位数的和也是(1+2+3+……+9)*100*3=13500
千位有1000个1,他们的和是1000。
还有2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006各位数字的和是35
全部相加是13500+13500+1000+35=28035
解法二:
(0、1999),(1、1998),(3,1997)……(999,1000)。
这样配共1000对。
每对的和都有1+9+9+9=28
另外2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006各位数字的和是35
所以(1+9+9+9)*1000+35=28035
【例3】(难度等级※※※)
从1到1001的所有自然数按格式排列,用一个正方形框子框出九个数,要使这九个数的和等于
(1)1995,
(2)2529,(3)1998问能否办到?
若能办到,请你写出正方形框里的最大数和最小数。
【分析与解】
用一个正方形框子框出的9个数的和必定是框子中间的数的9倍。
(1)因为1995不是9的倍数,所以9个数的和为1995不可能。
(2)2529÷9=281
又281÷7=40……余1即281在所有数的排列中,它排在左边第一列上,所以不可能以它为中心构成一个9个数的正方形框。
(3)1998÷9=222222÷7=31……余5
框中最大数是222+1+7=230
框中最小数是222-1-7=214
【例4】(难度等级※※※)
如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,
(1)a+b的最小可能值是多少?
(2)a+b的最大可能值是多少?
【分析与解】
两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,
67,71,73,79,83,89,97.
可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.
所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.
【例5】(难度等级※※※※)
如果某整数同时具备如下3条性质:
①这个数与1的差是质数;
②这个数除以2所得的商也是质数;
③这个数除以9所得的余数是5.
那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.
【分析与解】
条件①也就是这个数与1的差是2或奇数,这个数只能是3或者偶数,再根据条件③,除以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件.
其中86与50不符合①,32与68不符合②,三个条件都符合的只有14.
所以两位幸运数只有14.
【例6】(难度等级※※※)
图中两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米.两只甲虫同时从A出发,按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时,两只甲虫首次相距最远?
【分析与解】
圆内的任意两点,以直径两端点得距离最远.如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点,沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点,两甲虫的距离便最远.
小圆周长为
×30=307r,大圆周长为48
,一半便是24
,30与24的最小公倍数时120.120÷30=4.120÷24=5.
所以小圆上甲虫爬了4圈时,大圆上甲虫爬了5个
圆周长,即爬到了过A的直径另一点B.这时两只甲虫相距最远.
【例7】(难度等级※※※)
有8个盒子,各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒,其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问:
甲取走的一盒中有多少块奶糖?
【分析与解】
我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中,糖的块数是丁所取糖块数的5倍.
八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.
从216减去5的倍数,所得差的个位数字只能是1或6.
观察各盒糖的块数发现,没有个位数字是6的,只有一个个位数字是1的数31.
因此甲取走的一盒中有3l块奶糖.
【例8】(难度等级※※※※)
用a,b,c,d,e分别代表五进制中五个互不相同的数字,如果(ade)
,(adc)
,(aad)
是由小到大排列的连续正整数,那么(cde)
所表示的整数写成十进制的表示是多少?
【分析与解】
注意(adc)
+
(1)
=(aab)
,第二位改变了,也就是说求和过程个位有进位,则b=0,而c=(10)
-
(1)
=(4)
,则C=4.
而(ade)
+
(1)
=(adc)
,所以e+1=c,则e=3.
又d+1=口,所以d=1,a=2.
那么,(cde)
为(413)
=4×5
+1×5+3=108.
即(cde)
所表示的整数写成十进制的表示是108.
【例9】(难度等级※※※)
将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形,2处拐一个弯,在3处拐第二个弯,在5处拐第三个弯…,问拐第20个弯的地方是哪个数。
【分析与解】
拐弯的序数
0
1
2
3
4
5
6
7
……
拐弯处的数
1
2
3
5
7
10
13
17
……
下面一列数中,相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、……第20个拐弯处的数是1+2×(1+2+……+10)=111
【例10】(难度等级※※※※)
把连续奇数1、3、5、7……,按右边的方法排列。
问:
数1995在哪条射线上?
是这射线的第几个数?
【分析与解】
1995是第(1995+1)÷2=998个奇数,因为周期数是8,998÷8=124……6,所以数1995在射线C上,且是第124×2+2=250个数。
【例11】(难度等级※※※※)
一个正整数,如果用7进制表示为
,如果用5进制表示为
,请用10进制表示这个数.
【分析与解】
解:
由题意知:
0<a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则
n=
=a×72+b×7+c,n=
=c×52+b×5+a
∴49a+7b+c=25c+5b+a
48a+2b-24c=0b=12(c-2a)
∴12|b,
又∵0≤b≤4
∴b=0,
∴c=2a
∴当a=1,c=2时,n=51
当a=2,c=4时,n=102
【例12】(难度等级※※※※)
甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数,这个五位数的后四位是1031。
如果甲数的数字和是10,乙数的数字和是8,那么甲、乙两数和是多少?
【分析与解】
方法一:
很显然,这道题的突破口是在个位数上
乘积的尾数是1,只有1×1,3×7或者9×9两种可能,
如果是1×1,根据1031判断,甲数和乙数的十位为0和3,1和2,4和9,5和8,6和7.很容易试出这些均不成立。
根据乙的数字和是8,判断只有3×7这种可能
假设乙的个位数是7,则只能是107。
根据乘积的尾数判断,甲的十位数应该是3。
(因为这个数乘以7的乘积加上个位数进位2,得3)
所以甲就是433
433×107=46331不合题意。
所以乙的个位数只能是3,甲的个位数只能是7。
所以甲有以下情况,127217307三种情况
根据上述方法很容易判断出甲是217,乙是143
方法二:
根据弃九法得知,乘积是3031=31×7×11×13,适当组合可得知两数为31×7=217,11×13=143,和为360.
【例13】(难度等级※※※※※)
有43位同学,他们身上带的钱数从8分到5角,钱数各不相同,每个同学都把身上全部的钱各自买了画片。
画边有两种:
3分钱一张的,和5非钱一张的。
每人尽可能多卖5分钱一张的画片。
问,他们能买的3分钱画片的总数是多少张?
【分析与解】
43人的钱从8分到5角各不相同,说明这些人身上的钱分别是:
8分,9分,...,49分,50分.
下面分情况讨论:
8=3*1+5*1(意思是3分钱一张,5分前一张)
9=3*3+5*0
10=3*0+5*2
11=3*2+5*1
12=3*4+5*0
13=8+5=3*1+5*2.
......
50=3*0+5*10.
说明:
当钱除以5余1的时候,可以买2张3分的;有8个人.
当钱除以5余2的时候,可以买4张3分的;有8个人.
当钱除以5余3的时候,可以买1张3分的;有9个人.
当钱除以5余4的时候,可以买3张3分的;有9个人.
当钱除以5整除的时候,可以买0张3分的.有9个人.
所以一共买了
2*8+4*8+1*9+3*9=84张3分的.
【例14】(难度等级※※※※※)
对于由1~5组成的无重复数字的五位数,如果它的首位数字不是1,那么可以进行如下
的一次置换操作:
记首位数字为k,则将数字k与第k位上的数字对换.例如,24513
可以进行两次置换:
24513→42513→12543.可以进行4次置换的五位数有多少个?
【分析与解】
经过4次置换后最后结果必为12345,所以可进行4次置换的五位数可由12345进行4次首位与其他位的调换得到,规则为从首位上调换出的数不能再与首位调换,那么这样的调换方法共有4×3×2×1=24种,即可进行4次置换的五位数有24个。
【例15】(难度等级※※※※※)
有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。
将这18个不同的4位数由小到大排成一排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也是完全平方数。
那么这18个数的平均数是多少?
【分析与解】
如果是4个非0数字则应该能组成4×3×2×1=24个不同的4位数,而实际只能组成18个不同的4位数,则4个数字中必然有0。
因为完全平方数的个位数只能为1,4,5,6,9(0必须成对出现),所以剩下的3个数字必有两个是这5个中的2个,若最小的数字是4,5,6的话,只有9604和4096为完全平方数,但4096并不是这4个数字所组成的最小的四位数,不满足题意,所以最小数字为1,此时1089和9801这两个四位数满足题意。
因此这4个数字为0、1、8、9,所能组成的四位数千位为1、8、9的均有6个,所以这18个四位数千位上之和为1×6+8×6+9×6=108,同理,个位百位十位上的数字之和均为
72,所以这18个四位数之和为108×1000+72×100+72×10+72=115992,其平均数为6444
【例16】(难度等级※※※※※)
有些三位数,如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的
.求所有这样的三位数.
【分析与解】
设这个三位数为
,数字和为a+b+c,如果没有进位,那么
,显然数字和增加了3,不满足,所以一定有进位,
则
+3=
,数字和为0+(b+1)+(c+3-10)=
,则a+b+c=9,而c+3必须有进位,所以c只能为7,8,9.
一一验,如下表:
c的值
7
8
9
a+b的值
2
1
0
a的值
2
1
1
---
b的值
0
1
0
---
的值
207
117
108
---
验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足.
所以,原来的三位数为207,117或108.
【例17】(难度等级※※※※※)
有1、A、B、C四个整数,满足A+B+C=2001,而且1<A<B<C。
这四个整数两两求和得到六个和,把这六个数按从大到小排列起来,恰好构成一个等差数列。
请问:
A、B、C分别是多少?
【分析与解】
满足条件的情况有两种:
①
;
②
;
先看①:
,
,
,所以有
,又
,
所以
,得
,
,
;
再看②
,
,
,所以有
,又
,
所以
,得
,不符合题意;
所以
,
,
。
【例18】(难度等级※※※※※)
在一个国家里,国王要建N个城市,在城市之间建N-1条道路,使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市,道路不相交,不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短路线分别为1,2,3,…,
。
若
(1)N=6;
(2)N=2006;国王的要求能否办到?
【分析与解】
(1)N=6时,可以按如下的方法设计道路。
设A,B,C,D,E,F为六个城市,从C引出三条道路,分别通向A,B,D,长度分别为1,2,5。
从
再引出两条道路,分别通向E,F,长度分别为4,8。
此时即可满足要求,所以N=6时,国王的要求可以办到。
(2)根据在N个城市之间建N-1条道路可知,从一个城市到另一个城市只有唯一的路线。
把城市
染成红色,若城市
与
之间的路程为偶数,则
也染上红色,否则染上黄色,这样可以把所有城市均染成红色或黄色,并且两城市同色时,它们之间的路程为偶数,否则它们之间的路程为奇数。
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