初二数学经典难题及答案doc.docx
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初二数学经典难题及答案doc
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初二数学经典题型
1.已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15
0.求证:
△PBC是正三角形.
证明如下。
首先,PA=PD,∠PAD=∠PDA=(180°-150°)÷2=15°,∠PAB=90°-15°=75°。
A
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ,连接PQ,则
∠PDQ=6°0+15°=75°,同样∠PAQ=7°5,又AQ=DQ,,PA=PD,所以△PAQ≌△PDQ,
那么∠PQA=PQD=602=30PQA∠°÷°,在△中,
P
D
∠APQ=18°0-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB,于是PQ=AQ=A,B
显然△PAQ≌△PAB,得∠PBA=∠PQA=3°0,
PB=PQ=AB=B,C∠PBC=90°-30°=60°,所以△ABC是正三角形。
BC
2.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线
交MN于E、F.求证:
∠DEN=∠F.
F
证明:
连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
E
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM∠=DEM;
(1)
同理:
GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN∠=CFN;
(2)
NC
又AD=BC则,:
GN=GM∠,GNM=∠GMN故.:
∠DEM=∠CFN.D
A
B
M
3、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,
点P是EF的中点.求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.
证明:
分别过E、C、F作直线AB的垂线,垂足分别为M、O、N,
在梯形MEFN中,WE平行NF
因为P为EF中点,PQ平行于两底
所以PQ为梯形MEFN中位线,
所以PQ=(ME+NF)/2
D
G
又因为,角0CB+角OBC=90°=角NBF+角CBO
C
所以角OCB=角NBF
E
而角C0B=角Rt=角BNF
CB=BF
P
F
所以△OCB全等于△NBF
A
QB
△MEA全等于△OAC(同理)
所以EM=AO,0B=NF
所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:
∠PAB=∠PCB.
过点P作DA的平行线,过点A作DP的平行线,两者相交于点E;连接BE
因为DP//AE,AD//PE
所以,四边形AEPD为平行四边形
所以,∠PDA=∠AEP
AD
已知,∠PDA=∠PBA
所以,∠PBA=∠AEP
P
所以,A、E、B、P四点共圆
B
C
所以,∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形,所以:
PE//AD,且PE=AD
而,四边形ABCD为平行四边形,所以:
AD//BC,且AD=BC
所以,PE//BC,且PE=BC
即,四边形EBCP也是平行四边形
所以,∠PEB=∠PCB
所以,∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长.
解:
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP=CQ,BP=BQ,∠ABP=∠CBQ,∠BPA=∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
AD所以∠CBA=90°,所以∠ABP+∠CBP=90°,所以∠CBQ+∠CBP=90°
P
即∠PBQ=90°,所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ=√2*BP,∠BQP=45
因为PA=a,PB=2a,PC=3a
所以PQ=2√2a,CQ=a,所以CP^2=9a^2,PQ^2+CQ^2=8a^2+a^2=9a^2
所以CP^2=PQ^2+CQ^2,所以△CPQ是直角三角形且∠CQA=90°
所以∠BQC=90°+45°=135°,所以∠BPA=∠BQC=135°
B
C
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM=BM=PB/√2=2a/√2=√2a
所以根据勾股定理得:
AB^2=AM^2+BM^2
=(√2a+a)^2+(√2a)^2
=[5+2√2]a^2
所以AB=[√(5+2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器
高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。
向容器中注满水的全过程共用时间
t分。
求两根水管各自注水的速度。
解:
设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。
vv
由题意得:
t
2x8x
解之得:
x
5v
8t
经检验得:
x
5v
8t
是原方程解。
∴小口径水管速度为
5v
8t
,大口径水管速度为
5v
2t
。
7.如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,-1),且P(-1,-2)
为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别
是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积
相等?
如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形
OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.
y
y
Q
Q
B
B
AO
AO
xx
M
C
M
PP
图
解:
(1)设正比例函数解析式为ykx,将点M(2,1)坐标代入得
图
1
k=,所以正比
2
例函数解析式为
1
y=x
2
同样可得,反比例函数解析式为
y=
2
x
(2)当点Q在直线DO上运动时,
设点Q的坐标为
1
Q(m,m),
2
于是
1111
2
S△=OB?
BQ创mm=m,
OBQ
2224
而
1
S△=(-1)?
(2)=1,
OAP
2
所以有,
1
4
2
m=1,解得m2
所以点Q的坐标为Q1(2,1)和Q2(-2,-1)
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,
而点P(1,2)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的
最小值就只需求OQ的最小值.
因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为
2
Q(n,),
n
由勾股定理可得
42
222
OQ=n+=(n-)+4,
2
nn
所以当
2
2
(n-)=0即
n
2
n-=0时,
n
2
OQ有最小值4,
又因为OQ为正值,所以OQ与
2
OQ同时取得最小值,
所以OQ有最小值2.
由勾股定理得OP=5,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线
BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
解:
(1)证法一:
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BC=D,C∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC,
∴△PBC≌△PDC(SAS).
AD
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
P
1
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
BC
∴∠PBE=∠PEB,
H
2
E
∴∠PEB=∠PDC,
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°,
∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴PE⊥PD.)
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD.
(2)①过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=2,
AD
22.
∴PC=2-x,PF=FC=xx
(2)1
22
P
2
2.
BF=FE=1-FC=1-(1x)=x
22
2(2x2
12.
∴S△PBE=BF·PF=x1)xx
2222
BFEC
122(0<x<2).
即yxx
22
②
1221221
y.
xx(x)
22224
∵
1
a<0,
2
∴当
2
x时,y
2
最大值
1.
4
(1)证法二:
①过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
G
AD
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
3
∴GD=F=CFP,GP=A=GBF,∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE,
1
∴BF=FE,
P
2
∴GP=FE,
BFEC∴△EFP≌△PGD(SAS).
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
(2)①∵AP=x,
2
∴BF=PG=x
2
2.
,PF=1-x
2
2(x
22
12.∴S1)xx
△PBE=BF·PF=x
2222
122(0<x<2).
即yxx
22
②
1221221
y.
xx(x)
22224
∵
1
a<0,
2
∴当
2
x时,y
2
最大值
1.
4
9、如图,直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.
(1)求k1、k2的值.
(2)直接写出k1x+b-k2x>0时x的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于点E,
CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,
并说明理由.
10、如图12,已知直线
1k
yx与双曲线y(k0)
2x
交于A,B两点,且点A的横
坐标为4.
(1)求k的值;
k
(2)若双曲线y(k0)
x
上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线yk(k0)
x
于P,Q两点(P点在第一象限),
若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.
y
A
Ox
B
图12
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
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Nurfürdenpers?
nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
Pourl'étudeetlarechercheuniquementàpdeerssofinnselles;pasàdesfinscommerciales.
толькодлялюдейко,торыиеспользуюдтлсяоябученияссл,едоваинниейдолжны
использоватьсявкоммерческихцелях.
以下无正文
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