六年级奥数数论余数问题ABC级学生版.docx
- 文档编号:10950634
- 上传时间:2023-05-28
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:185.14KB
六年级奥数数论余数问题ABC级学生版.docx
《六年级奥数数论余数问题ABC级学生版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《六年级奥数数论余数问题ABC级学生版.docx(22页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
六年级奥数数论余数问题ABC级学生版
余数问题
知识框架
带余除法的定义及性质一、1、定义:
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:
(1)当时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商0r?
(2)当时:
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲0?
r解模型:
如图
这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质
⑴被除数除数商余数;除数(被除数余数)商;商(被除数余数)除数;?
?
?
?
?
?
?
?
?
⑵余数小于除数.
三大余数定理:
二、
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2.余数的加法定理
a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。
3
,两个余数差2的余数等于5除以7=16-23,所以1和3的余数分别是5除以16,23例如:
-1=2.
当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如:
23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
nn除以m的余数相同,那么的余数也相同.与乘方:
如果a与b除以mba弃九法原理三、
在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:
例如:
检验算式889923?
678967?
178902?
12341898?
18922?
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所
以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理:
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意:
弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。
,但是显然算式是错误的。
0的余数都是9时,等式两边的除以9+9=9例如:
检验算式
但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
同余定理四、1、定义:
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a≡b
(modm),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:
a同余于b,模m。
2、重要性质及推论:
(1)若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
例如:
与除以的余数都是,所以能被整除.3173(17?
11)211
(2)用式子表示为:
如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是:
为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得:
N与R对于除数m同余.由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.
1)整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数;
2)整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数;
3)整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数;
4)整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数;
5)整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;(不够减的话先适当加11的倍数再减);
6)整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数.
重难点
理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了
例题精讲
【例1】除以一个两位数,余数是.求出符合条件的所有的两位数.101312
【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。
【例2】有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍。
且这个三位数除以5余4,除以11余3。
这个三位数是_
【巩固】一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.
【例3】甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数.10883211
【巩固】当1991和1769除以某个自然数n,余数分别为2和1.那么,n最小是多少?
2222除以13】所得余数是_____.
【例42000个?
】【巩固除以41的余数是多少?
77777?
?
?
7个1996
【例5】著名的斐波那契数列是这样的:
1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少?
【巩固】有一列数:
1,3,9,25,69,189,517,…其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以6,得到的余数是.
【例6】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数:
A=135********171921……9799101103。
则数a共有_____位,数a除以9的余数是___。
【巩固】将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以9的余数12345678910111213......是________.
【例7】有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______.
【巩固】用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________.
【例8】在图表的第二行中,恰好填上这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得98~89的余数都是3.
【巩固】求除以17的余数.351?
?
296478
2a被7除余数相同?
a使与的所有自然数中,有多少个整数】【例9求a20081~2
1000天之后将是星期几?
】今天是星期四,固【巩10
20082除以7的余数是多少?
【例10】20082?
?
?
3130被【巩固】除所得的余数是多少?
133031?
在校对时,发现右边的积)其中11】3,个三位数乘积的算式(【例234235286bca?
?
cab?
abccb?
a?
是正确的,问原式中的的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是多少?
abc
,102有个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是固【巩】8,求两个三位数的和。
第二个数的各个位数字之和是
【例12】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.
【巩固】有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33.求这个数是多少?
【例13】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.45,59,101
【巩固】有一个整数,除300、262、205得到相同的余数。
问这个整数是几?
【例14】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、,求这个自然数和的值.a25a?
aa
【巩固】有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
【例15】一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少?
【巩固】一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少?
课堂检测
【随练1】除以某个整数后所得的商恰好是余数的倍,那么除数最小可能是。
378221
【随练2】的余数是多少?
7666666?
1995个6
【随练3】有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少?
【随练4】商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.
1997求】【随练5的最后两位数.3.
家庭作业
【作业1】在大于2009的自然数中,被57除后,商与余数相等的数共有______个.
【作业2】有三个自然数,,,已知除以,得商3余3;除以,得商9余11。
则除以,得bbbcccaaa到的余数是。
【作业3】有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数21131317是多少?
a?
200820082008,问:
除以13所得的余数是多少?
已】【作业4知a2008个2008
【作业5】有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够.如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余;每人4本,书不够.问:
第二组有多少人?
【作业6】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________.(第五届小数报数学竞赛初赛)
【作业7】求的余数.11?
6047?
2461?
135
12342005除以10所得的余数为多少?
8】【作业2005?
3?
412?
?
?
2009的各位数字之和为,的各位数字之和为,设的各位数字之和为,的各位【作业9】2009CCBAAB数字之和为,那么?
DD
【作业10】在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________.
教学反馈
学生对本次课的评价
特别满意○满意○○一般
家长意见及建议
家长签字:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 六年级 数论 余数 问题 ABC 学生