广东省高中数学必修一第2章213 方程组的解集.docx
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广东省高中数学必修一第2章213方程组的解集
2.1.3 方程组的解集
学习目标
核心素养
1.理解方程组的解集的定义及表示方法.(难点)
2.掌握用消元法求方程组解集的方法.(重点)
3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题.(重点、难点)
1.通过理解方程组的定义,培养数学抽象的素养.
2.通过求方程组的解集,提升数据分析、数学运算的学科素养.
1.方程组的解集
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
2.求方程组解集的依据是等式的性质等,常用的方法是消元法.
3.二元一
(二)次方程组解集的表示方法为{(x,y)|(a,b),…},其中a,b为确定的实数,三元一次方程组解集的表示方法为{(x,y,z)|(a,b,c),…},其中a,b,c为确定的实数.
1.用代入法解方程组
时,代入正确的是( )
A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4
C.x-2+2x=4D.x-2+x=4
C [
把①代入②得,x-2(1-x)=4,去括号得,x-2+2x=4.故选C.]
2.已知二元一次方程组
解集为( )
A.{(x,y)|(2,3)}B.{(x,y)|(3,2)}
C.{(x,y)|(-2,3)}D.{(x,y)|(-2,-3)}
A [
①+②得:
3x+3y=15,解得x=2,y=3,解集为{(x,y)|(2,3)},故选A.]
3.已知A={(x,y)|x+y=5},B={(x,y)|2x-y=4},则A∩B=( )
A.{(x,y)|(1,4)}B.{(x,y)|(2,3)}
C.{(x,y)|(3,2)}D.{(x,y)|(4,1)}
C [根据题意,得
由代入消元法可求得x=3,y=2,故A∩B={(x,y)|(3,2)}.]
4.已知
那么x-y的值是________.
-1 [两式相减可得结果x-y=-1.]
二元一次方程组的解集
【例1】 求下列方程组的解集.
(1)
(2)
[解]
(1)由①,得y=4-x.③
把③代入②,得2x-3(4-x)=3.
解这个方程,得x=3.
把x=3代入③,得y=1.
所以原方程组的解集为{(x,y)|(3,1)}.
(2)法一:
①+②,得6x=12,所以x=2.
把x=2代入②,得3×2+7y=13,所以y=1.
所以原方程组的解集为{(x,y)|(2,1)}.
法二:
①-②,得-14y=-14,所以y=1.
把y=1代入①得,3x-7×1=-1,所以x=2.
所以原方程组的解集为{(x,y)|(2,1)}.
求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法,要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法,注意解集的表示形式.
1.求下列方程组的解集.
(1)
(2)
[解]
(1)由②,得2y=3x-5.③
把③代入①,得4x+4(3x-5)=12,解得x=2.
把x=2代入③,得y=
.
所以原方程组的解集为
.
(2)由①×2,得16x+18y=146,③
由③-②,得9x=144,解得x=16.
把x=16代入①,得8×16+9y=73,解得y=-
.
所以原方程组的解集为
.
三元一次方程组的解集
【例2】 求下列方程组的解集.
(1)
(2)
[解]
(1)法一:
将③分别代入①②,得
解得
把y=2代入③,得x=8.
所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(8,2,2)}.
法二:
②-①,得y+4z=10,④
②-③,得6y+5z=22,⑤
联立④⑤,得
解得
把y=2代入③,得x=8.
所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(8,2,2)}.
法三:
①×5,得5x+5y+5z=60,④
④-②,得4x+3y=38,⑤
联立③⑤,得
解得
把x=8,y=2代入①,得z=2.
所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(8,2,2)}.
(2)①×2-②,得x+8z=11,④
①×3+③,得10x+7z=37,⑤
联立④⑤,得
解得
把x=3,z=1代入①,得y=2.
所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(3,2,1)}.
求三元一次方程组解集的基本思路是:
通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使三元一次方程组转化为二元一次方程组,进而再转化为一元一次方程求解.
2.求方程组
的解集.
[解] ①+②+③,得2(x+y+z)=10,
即x+y+z=5.④
④-①,得z=4;④-②,得x=-1;④-③,得y=2.
所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(-1,2,4)}.
待定系数法求函数的解析式
【例3】 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,2),(2,8),(5,158),求这个二次函数的解析式.
[思路点拨] 把a,b,c看成三个未知数,分别把三组已知的x,y的值代入,就可以得到一个三元一次方程组,解这个方程组即可求出a,b,c的值.
[解] 根据题意,得
②-①,得a+b=2,④
③-①,得4a+b=26,⑤
联立④⑤,得
解得
把a=8,b=-6代入①,得c=-12.
因此所求函数的解析式为y=8x2-6x-12.
解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组,解方程组求得字母系数的值,进而确定所求函数的解析式.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(1,4),(3,-20),(-1,-12),求这个二次函数的解析式.
[解] 根据题意,得
解得
因此所求函数的解析式为y=-5x2+8x+1.
二元二次方程组的解集
【例4】 求下列方程组的解集.
(1)
(2)
[解]
(1)由①得y=8-x,③
把③代入②,整理得x2-8x+12=0.
解得x1=2,x2=6.
把x1=2代入③,得y1=6.
把x2=6代入③,得y2=2.
所以原方程组的解集为{(x,y)|(2,6),(6,2)}.
(2)由①得(x-2y)2+(x-2y)-2=0,
解得x-2y=1或x-2y=-2,
由
得
由
得
所以原方程组的解集为
.
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次,消元就是化二元为一元,降次就是把二次降为一次,因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
4.求方程组
的解集.
[解] ∵方程①是x与2y的和,方程②是x与2y的积,
∴x与2y是方程z2-4z-21=0的两个根,解此方程得z1=-3,z2=7,
∴
或
即
或
所以原方程组的解集为
.
方程组的实际应用
【例5】 某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶,行驶中有一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地需要2.5h,从乙地到甲地需要2.3h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30km,20km,40km,则从甲地到乙的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少?
[思路点拨] 题中有三个等量关系:
①上坡路长度+平路长度+下坡路长度=70km;②从甲地到乙地的过程中,上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5h;③从乙地到甲地的过程中,上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3h.
[解] 设从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路分别是xkm,ykm和zkm.
由题意得
解得
故从甲地到乙地的过程中,上坡路是12km,平路是54km,下坡路是4km.
根据实际问题列方程组,求出方程组的解集,进而解决实际问题.
5.在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里,有一道著名的“百鸡问题”:
今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一,凡百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(三种鸡都买)
[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x只、y只、z只.
根据题意,得
②×3-①,得7x+4y=100,y=
=25-
x.
因为x,y均为正数,所以x一定是4的倍数,且x是小于
的正整数,所以x的取值只能为4,8,12.
若x=4,则y=18,z=78;
若x=8,则y=11,z=81;
若x=12,则y=4,z=84.
故鸡翁为4只,鸡母为18只,鸡雏为78只或鸡翁为8只,鸡母为11只,鸡雏为81只或鸡翁为12只,鸡母为4只,鸡雏为84只.
1.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法,要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法,注意解集的表示形式.
2.待定系数法求函数的解析式,解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组,解方程组求得字母系数的值,进而确定所求函数的解析式.
1.二元一次方程组
的解集是( )
A.{(x,y)|(1,2)} B.{(x,y)|(1,0)}
C.{(x,y)|(-1,2)}D.{(x,y)|(1,-2)}
A [由加减消元法可求得x=1,y=2,故所求方程组的解集为{(x,y)|(1,2)}.]
2.求方程组
的解集时,要使运算简便,消元的方法应选取( )
A.先消去xB.先消去y
C.先消去zD.以上说法都不对
B [根据系数特点,先消去y最简便,故选B.]
3.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差( )
A.80毫升B.110毫升
C.140毫升D.220毫升
B [设甲杯中原有水a毫升,乙杯中原有水b毫升,丙杯中原有水c毫升,
依题意有
②-①,得b-a=110,故选B.]
4.设计一个二元二次方程组,使得这个二元二次方程组的解是
和
试写出符合要求的方程组________.
[由于这两组解都有:
xy=2×3=6,x-y=-1,
故可组成方程组为
(答案不唯一).]
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