新教材人教A版高中数学必修第一册 151全称量词与存在量词 精品学案.docx
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新教材人教A版高中数学必修第一册151全称量词与存在量词精品学案
1.5.1 全称量词与存在量词
1.能够记住全称量词和存在量词的概念.
2.学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题,并判断真假.
3.理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系,能正确对含有一个量词的命题进行否定.
1.全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
1.x>
是命题吗?
对任意的x∈R,x>
是命题吗?
[答案] x>
不是命题,不能判断真假,而对任意的x∈R,x>
则是命题
2.全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词?
[答案] 命题“正方形是特殊的菱形”,该命题中没有全称量词,即全称量词命题不一定含有全称量词
3.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中,量词都可以省略.( )
(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题.( )
(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题.( )
(4)内错角相等是全称量词命题.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
题型一全称量词命题与存在量词命题
【典例1】 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)凸多边形的内角和等于360°;
(2)有的力的方向不定;
(3)矩形的对角线不相等;
(4)存在二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点.
[思路导引] 找命题中的量词及其命题的含义.
[解]
(1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称量词命题.
(4)含有量词“存在”,是存在量词命题.
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
[针对训练]
1.用全称量词或存在量词表示下列语句
(1)不等式x2+x+1>0恒成立;
(2)当x为有理数时,
x2+
x+1也是有理数;
(3)方程3x-2y=10有整数解;
(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
[解]
(1)对任意实数x,不等式x2+x+1>0成立.
(2)对任意有理数x,
x2+
x+1是有理数.
(3)存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立.
(4)若一个四边形是菱形,则所有这样菱形的对角线互相垂直.
题型二判断全称量词命题的真
【典例2】 判断下列全称量词命题的真假.
(1)任意实数的平方均为正数.
(2)函数y=kx+b为一次函数.
(3)同弧所对的圆周角相等.
(4)∀x∈R,x2+3≥3.
[解]
(1)假命题.若这个实数为0,则其平方为0,不是正数.所以“任意实数的平方均为正数”为假命题.
(2)假命题.当k=0时,y=kx+b不是一次函数,为常函数.所以“函数y=kx+b为一次函数”是假命题.
(3)真命题.根据圆周角的性质可知其为真命题.
(4)真命题.∀x∈R,x2≥0,故有x2+3≥3成立.
判断全称量词命题真假的方法
要判定一个全称量词命题为真命题,需要进行推理证明,或用前面已经学过的定义、定理作证明,而要判断其为假命题,只需举出一个反例即可.
[针对训练]
2.判断下列全称量词命题的真假.
(1)对每一个无理数x,x2也是无理数.
(2)末位是零的整数,可以被5整除.
(3)∀x∈R,有|x+1|>1.
[解]
(1)因为
是无理数,但(
)2=2是有理数,所以全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.
(2)因为每一个末位是零的整数,都能被5整除,所以全称量词命题“末位是零的整数,可以被5整除”是真命题.
(3)当x=0时,不满足|x+1|>1,所以“∀x∈R,有|x+1|>1”为假命题.
题型三存在量词命题真假的判断
【典例3】 判断下列存在量词命题的真假.
(1)有的集合中不含有任何元素.
(2)存在对角线不互相垂直的菱形.
(3)∃x∈R,满足3x2+2>0.
(4)有些整数只有两个正因数.
[解]
(1)由于空集中不含有任何元素.因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题.
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直.所以不存在对角线不垂直的菱形.因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题.
(3)∀x∈R,有3x2+2>0,因此存在量词命题“∃x∈R,3x2+2>0”是假命题.
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题.
判断存在量词命题真假的方法
判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性.若找到一个元素x∈M,使p(x)成立,则该命题是真命题;若不存在x∈M,使p(x)成立,则该命题是假命题.
[针对训练]
3.判断下列存在量词命题的真假.
(1)有些二次方程只有一个实根.
(2)某些平行四边形是菱形.
(3)存在实数x1、x2,当x1 >x . [解] (1)由于存在二次方程x2-4x+4=0只有一个实根,所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题. (2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形,所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题. (3)当x1=-2,x2=1时有x >x ,故“存在实数x1、x2,当x1 >x ”为真命题. 题型四含有量词的命题的应用 【典例4】 已知命题“∀1≤x≤2,x2-m≥0”为真命题,求实数m的取值范围. [解] ∵“∀1≤x≤2,x2-m≥0”成立, ∴x2-m≥0对1≤x≤2恒成立. 又y=x2在1≤x≤2上y随x增大而增大,∴y=x2-m的最小值为1-m. ∴1-m≥0.解得m≤1. ∴实数m的取值范围是{m|m≤1}. [变式] 若把本例中的“∀”改为“∃”,其他条件不变,求实数m的取值范围. [解] ∵“∃1≤x≤2,x2-m≥0”成立, ∴x2-m≥0在1≤x≤2有解. 又函数y=x2在1≤x≤2上单调递增, ∴函数y=x2在1≤x≤2上的最大值为22=4. ∴4-m≥0,即m≤4. ∴实数m的取值范围是{m|m≤4}. 求参数范围的2类题型 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决. (2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设. [针对训练] 4.是否存在实数m,使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. [解] 不等式m+x2-2x+5>0可化为 m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m使不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,此时需m>-4. 5.若存在一个实数x,使不等式m-x2-2x+5>0成立,求实数m的取值范围. [解] 不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5. 令t=x2-2x+5,若存在一个实数x使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>tmin. 又t=(x-1)2+4,∴tmin=4,∴m>4. 所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}. 课堂归纳小结 1.判断全称量词命题的关键: 一是先判断是不是命题;二是看是否含有全称量词. 2.判定全称量词命题的真假的方法: 定义法: 对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真;代入法: 在给定的集合 内找出一个x,使p(x)为假,则全称量词命题为假. 3.判定存在量词命题真假的方法: 代入法,在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真,否则命题为假. 1.下列命题中,不是全称量词命题的是( ) A.任何一个实数乘0都等于0 B.自然数都是正整数 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 D.一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D选项是存在量词命题. [答案] D 2.下列命题中,存在量词命题的个数是( ) ①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④任意x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0. A.0B.1 C.2D.3 [解析] 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④是全称量词命题.故有1个存在量词命题. [答案] B 3.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是( ) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 [解析] “∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. [答案] C 4.对任意x>8,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________. [解析] ∵对于任意x>8,x>a恒成立,∴大于8的数恒大于a,∴a≤8. [答案] a≤8 5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题? 并判断其真假. (1)∃x∈R,|x|+2≤0; (2)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立; (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点. [解] (1)存在量词命题. ∵∀x∈R,|x|≥0,∴|x|+2≥2,不存在x∈R, 使|x|+2≤0.故命题为假命题. (2)存在量词命题. ∵x2+x+8= 2+ >0,∴命题为假命题. (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题. 课后作业(八) 复习巩固 一、选择题 1.下列量词是全称量词的是( ) A.至少有一个B.存在 C.都是D.有些 [答案] C 2.下列命题: ①中国公民都有受教育的权利; ②每一个中学生都要接受爱国主义教育; ③有人既能写小说,也能搞发明创造; ④任何一个数除0,都等于0. 其中全称量词命题的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 [解析] ①②④都是全称量词命题,③是存在量词命题. [答案] C 3.下列命题是存在量词命题的是( ) A.一次函数的图象都是上升的或下降的 B.对任意x∈R,x2+x+1<0 C.存在实数大于或者等于3 D.菱形的对角线互相垂直 [解析] 选项A,B,D中的命题都是全称量词命题,选项C中的命题是存在量词命题. [答案] C 4.下列是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.∀x∈R,x2>0B.∀x,y∈R,x2+y2>0 C.∀x∈Q,x2∈QD.∃x∈Z,使x2>1 [解析] 首先D项是存在量词命题,不符合要求;A项不是真命题,因为当x=0时,x2=0;B项也不是真命题,因为当x=y=0时,x2+y2=0;只有C项是真命题,同时也是全称量词命题. [答案] C 5.下列四个命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( ) A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2>0 C.任意无理数的平方必是无理数 D.存在一个负数x,使 >2 [解析] 只有A,C两个选项中的命题是全称量词命题;且A显然为真命题.因为 是无理数,而( )2=2不是无理数,所以C为假命题. [答案] A 二、填空题 6.“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________. [解析] 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”,表示只要小于等于0的数,它的立方就小于等于0,用“∀”符号可以表示为∀x≤0,x3≤0. [答案] ∀x≤0,x3≤0 7.给出下列四个命题: ①y= ⇔xy=1;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④等腰三角形的底边的高线、中线重合. 其中全称量词命题是________. [解析] ①②④是全称量词命题,③是存在量词命题. [答案] ①②④ 8.四个命题: ①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________. [解析] ①当x=1时,x2-3x+2=0,故①为假命题;②因为x=± 时,x2=2,而± 为无理数,故②为假命题;③因为x2+1>0(x∈R)恒成立,故③为假命题;④原不等式可化为x2-2x+1>0,即(x-1)2>0,当x=1时(x-1)2=0,故④为假命题. [答案] 0 三、解答题 9.判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题,并判断真假. (1)存在x,使得x-2≤0; (2)矩形的对角线互相垂直平分; (3)三角形的两边之和大于第三边; (4)有些素数是奇数. [解] (1)存在量词命题.如x=2时,x-2=0成立,所以是真命题. (2)全称量词命题.因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直,所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题. (3)全称量词命题.因为三角形的两边之和大于第三边,所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题. (4)存在量词命题.因为3是素数,3也是奇数,所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题. 10.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假. (1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立; (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解; (3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立; (4)所有的有理数x都能使 x2+ x+1是有理数. [解] (1)∀x∈R,使x2+x+1>0;真命题. (2)∀a,b∈R,使ax+b=0恰有一解;假命题.如当a=0,b=0时,该方程的解有无数个. (3)∃x,y∈Z,使3x-2y=10;真命题. (4)∀x∈Q,使 x2+ x+1是有理数;真命题. 综合运用 11.下列命题中,是全称量词命题且是真命题的是( ) A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.∀x∈R, =x D.平面内,不相交的两条直线是平行直线 [解析] A中的命题是全称量词命题,但是a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故是假命题;B中的命题是全称量词命题,但是是假命题;C中的命题是全称量词命题,但 =|x|,故是假命题;很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题,故选D. [答案] D 12.已知a>0,则“x0满足关于x的方程ax=b”的充要条件是( ) A.∃x∈R, ax2-bx≥ ax -bx0 B.∃x∈R, ax2-bx≤ ax -bx0 C.∀x∈R, ax2-bx≥ ax -bx0 D.∀x∈R, ax2-bx≤ ax -bx0 [解析] 由于a>0,令函数y= ax2-bx= a 2- ,故此函数图象的开口向上,且当x= 时,取得最小值- ,而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0= ,故∀x∈R, ax2-bx≥ ax -bx0,故选C. [答案] C 13.已知函数y=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使x +bx0+c<0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [解析] ∃x0∈R,使x +bx0+c<0的充要条件是x +bx0+c<0有解,即b2-4c>0,4c +bx0+c<0.反之当∃x0∈R,使x +bx0+c<0时,只要4c [答案] A 14.若对于任意x∈R,都有ax2+2x+a<0,则实数a的取值范围是________. [解析] 依题意,得 即 ∴a<-1. [答案] {a|a<-1} 15.已知命题“∃x∈R,2x+(a-1)x+ ≤0”是假命题,求实数a的取值范围. [解] 由题意可得“对∀x∈R,2x2+(a-1)x+
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