北师大 数学必修3概率同步讲义 第12节 生活中的概率.docx
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北师大数学必修3概率同步讲义第12节生活中的概率
1.2生活中的概率
在我们的日常生活和工作中,几乎没有哪一方面能离开概率的知识.一种无法作出预言的基因组合决定了我们的身体组成;一次不期之遇可决定我们对配偶或工作的选择;而一次偶然失足可能使人走进监狱;一次交通事故可能使某人伤亡;一次彩票中奖又使人变成富翁…….因此,概率不仅是现代科学中每一学科的指南,而且象约瑟夫·巴特勒所说,它也是“生活的真正指南”.
❶研习教材重难点
研习点1:
概率统计定义的深入理解
1.概率的度量值的理解
像木棒有长度,土地有面积一样,概率是对随机事件发生的可能性大小的度量,它反映了随机事件发生的可能性的大小.但随机事件的概率大,并不表明它在每一次试验中一定能发生.概率的大小只能说明随机事件在一次试验中发生的可能性的大小,即随机性中含有的规律性.认识了这种随机性中的规律性,就使我们能比较准确地预测随机事件发生的可能性.
【思考交流】(P152)
(1)今天北京的降水率是60%,上海的降水率是70%,从概率上理解,首先说明的是降水概率,不可能做大量重复试验,通过频率稳定性得到概率值.这个数值是专家依据以前的气象资料和近期的观测资料,再结合个人的经验得到的近似值,具有相同信息(如气压、温度、云丛等)并有类似经验的决策人都会作出大致相仿的判断,给出大体上差不多的概率值.从概率的意义上理解,“降水”是一个随机事件,只是说明这个随机事件发生的可能性的大小,概率值越大,说明在一次试验中发生的可能性越大.在一次试验中,“降水”这个事件是否发生还是随机的.既不能理解成有60%(或70%)的区域降水,也不能理解成有60%(或70%)的时间降水.当然也有可能“北京今天降水了,而上海却没有降水”,原因还是因为降水是一个随机事件,北京降水率是60%,而上海降水率是70%,只是说明上海今天降水的可能性比北京的大,并不说明上海今天一定降水.如果北京今天降水了而上海没有降水,即可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生,这正是随机事件发生的不确定性的体现.
(2)这里的“百年一遇”从概率意义上理解,是指小概率事件发生了.由此可见:
只要不是不可能事件,就有发生的可能.
例题1.把同样大小的9个白色乒乓球和1个黄色乒乓球放在一个袋中,每次摸出一球后再放回袋中,这样摸10次,试问是否一定至少有1次摸到黄球?
[研析]不一定摸到黄球,每次从袋中摸出一球后再放入袋中,那么每次摸到黄球的概率都是0.1,但摸10次球,不一定能摸到黄球.
2.概率试验随机性的理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,认识了这种随机性中的规律性,就能使人们比较准确地预测随机事件发生的可能性.
【思考交流】(P153)这种想法是错误的.要澄清这个问题可以从两方面考虑:
一是通过做试验验证或用随机数模拟.二是从概率的意义上澄清.
从概率的意义上解释如下:
连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币仅仅是做两次重复抛币试验,试验的结果仍然是随机的,当然可以两次均出现“正面朝上”或两次均出现“反面朝上”.
典例2.高一
(2)班有50名同学,其中男女各25人,今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学,试问:
碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大?
有人说可能性一样大,这种说法对吗?
【研析】这种说法不正确,这个同学在街上碰到的同班同学是除了他自己外的个人中的一个,其中碰到同性同学有24种可能,碰到异性同学有25种可能,每碰到一次同学,就相当于做了一次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以碰到异性同学的可能性大,碰到同性同学的可能性小.
本题中,碰到同学虽然是随机的,但这种随机中具有规律性,实际上,随着试验次数的增加,大约有
的可能碰到同性同学,有
的可能碰到异性同学.
研习点2:
概率与生活
1.游戏与赌博中的概率
概率的起源与赌博问题有关。
16世纪,意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。
17世纪中叶,法国数学家B.帕斯卡、P.de费马及荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合方法,研究了一些较复杂的赌博问题,他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题等。
随着18、19世纪科学的发展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性,从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中;同时这也大大推动了概率论本身的发展.
【阅读理解】(P154)
(1)没有道理.因为是随机取数,每个数字出现的概率是均等的,这样对彩民才是公平的.06与08尽管近期出现次数最多,这仅是几次的统计结果,并不意味着以后还继续以较高频率出现.
(2)没有.尽管前几次没有出现04和09,由于是随机取数,并不意味着下一期就一定出现.这是单独一次、二次试验结果的不确定性的表现,大量的随机统计的结果应是每个数字出现的机会均等.因此彩民乙的做法对中奖是无效的.
典例2.袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个,小刚又放入5个黑球后,小颖通过多次摸球实验后,发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25%,30%,30%,10%,5%,试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个?
[研析]小刚放入5个黑球后摸到的黑色球的频率为5%,则可以由此估计出袋中共有球
(个).说明此时袋中可能有100个球(包括5个黑球),则有红色球100×25%=25个,黄色球100×30%=30个,蓝色球100×30%=30个,白色球100×10%=10个.
2.概率在生活中的应用
生活中你一定曾面临过许多机会和选择,那么你能在这些不确定的情境中做出合理的决策吗?
概率正是通过对不确定性现象和事件发生可能性的刻画,来为你更好地制定决策提供依据和建议的。
概率和日常生活有着密切的联系,对于生活中的随机事件,我们可以利用概率知识作出合理的推断与决策.随机事件在少数的试验中的出现具有不确定性,但大量的随机试验下又有一定的规律性,可以为人们的合理判断与决策提供依据.
【联想·发散】你知道概率有哪些应用吗?
通过设计简单的概率模型,在不确定的情境中做出合理的决策;概率与实际生活联系密切,通过理解什么是游戏对双方公平,用概率的语言说明游戏的公平性,并能按要求设计游戏的概率模型,以及结合具体实际问题,体会概率与统计之间的关系,可以解决一些实际问题。
例题4.如果连续10次掷一枚骰子,结果都出现1点,你认为这枚骰子质地均匀吗?
【研析】利用概率知识可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现各个面出现的可能性都应该是
,从而连续10次出现1点的概率为
,这在一次试验中几乎是不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当1点的那一面比较重时,会出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点.因此可以断定这枚骰子的质地不均.
探究解题新思路
▲基础思维探究
题型1.概率的意义
典例1.掷一枚硬币,出现“正面朝上”的概率是
,是指一枚硬币掷两次恰好出现1次“正面朝上”吗?
如果不是,应如何理解?
【研析】不是.掷一枚硬币,出现“正面朝上”的概率为
,是指抛掷一次的话,其可能性是
;若抛掷多次,出现“正面朝上”的可能性是
.也就是说,重复多次这样的试验,“正面朝上”的次数接近一半.
探索发现
概率是对一件事是否发生而言的,是一种预测,不是一种结果.本题的前提是掷一枚硬币,出现“正面朝上”的概率是
,后面的解释偷换概念,误解了概率的意义.
【拓展·变式】
1..某厂产品的次品率为0.02,问“从该厂产品中任意地抽取100件,其中一定有2件次品”这一说法对不对?
为什么?
题型2.利用概率,判断游戏的公平性
典例2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字。
游戏规则如下:
两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜。
猜数方案从以下三种中选一种:
A猜“是奇数”或“是偶数”
B猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?
为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?
为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【研析】
(1)可以选择B猜“不是4的整数倍数”或C猜“是大于4的数”.
不是4的整数倍数的概率为
大于4的数的概率为
它们都超过了0.5,故应可以尽可能的获胜.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择A方案.
方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,因而该游戏是公平的.
(3)可以设计为D:
猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,也可以保证游戏的公平性.
探索发现
利用概率的意义可以制定游戏的规则,在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说游戏是否公平只要看获胜的概率是否相等.如体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才公平.再如每个购买彩票的人中奖的概率应是相等的,这样对每个人才是公平的.
【拓展·变式】
.某俱乐部举办了一个掷骰子的游戏,游戏者投掷两颗普通的正方体骰子,若掷得的两颗骰子的点数都是6,则可从俱乐部处领取5元钱作为奖品;若掷得的两颗骰子的点数不都是6,则每次付给俱乐部0.5元。
俱乐部能从这个游戏中赢利吗?
请你做出解释。
▲综合思维探究
题型1学科内综合题
典例3.元旦就要到了,学校将举行庆祝活动,每班派1人主持节目!
高一
(2)班的小明、小华和小利实力相当,又都争着要去,班主任决定用抽签的方式决定,机灵的小强给小华出主意,要小华先抽,说先抽的机会大,你是怎样认为的?
说说看.
【研析】其实抽签不必分先后,先抽后抽,中签的机会是一样的.我们取三张卡片,上面标上1,2,3,抽到1就表示中签,设抽签的次序为甲,乙,丙,则可以把情况填入下表:
从上表可以看出:
甲、乙、丙依次抽签,一共有六种情况,第一、二两种情况,甲中签;第三、五两种情况,乙中签;第四、六两种情况丙中签.甲、乙、丙中签的可能性都是
,即甲、乙、丙的机会是一样的,先抽后抽,机会是均等的,不必争先恐后.
思维指南
抽签中每一个个体被抽入样的概率均是相同的,实际上在任何一个抽奖活动中,在前面一个人抽奖后一个人未知的情况下,每个人抽到每张奖票中奖的概率也是相同的,但是由于中奖率太低,所以真正中奖的概率非常小,有兴趣的同学可以统计一下发生在你身边的彩票中奖情况.
【拓展·变式】
篮球运动员甲和乙的3分球的命中率分别为0.7和0.5.本场比赛中甲投5分球次,只命中一次,乙投3分球3次全部命中,现在全场比赛即将结束,但是球队还落后2分,还剩最后一次进攻机会,如果你是教练,这最后一个3分球谁来投.
题型2实际应用题
典例4.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节,是一种竞猜游戏,游戏规则如下:
在20个商标牌中,有5个商标牌的背面注明一定的奖品,其余不得奖,参与游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻).
(1)第一次翻牌,获奖的概率是多少?
(2)某观众前两次翻牌均获奖,那么他第三次翻牌获奖的概率是多少?
【研析】
(1)第一次翻牌时有5个奖,获奖的概率
.
(2)前两次翻牌均获奖,第三次翻牌时,只有3个奖,还有18个商标牌,获奖的概率
.
推广引申如果每次翻牌时,对于前面的结果是均未知的,则每次翻牌获奖的概率是多少?
由于每次翻牌时,并不知前面的结果是未知的,因而每次翻牌获将的概率均为
.有兴趣的同学可以证明一下,可以分为三步证明:
①第一次翻牌中奖的概率;②第二次翻牌中奖的概率;③第三次翻牌中奖的概率.
【拓展·变式】
4.有三张卡片,一张两面都是红色,一张两面都是黑色,另一张是一面是红色,一面是黑色.甲、乙两人玩游戏.
甲说:
“请你在三张卡片中任取一张,把它放在桌子上.”乙抽了一张放在桌子上,朝上一面是红色的.
甲说:
“这张卡片的另一面可能与这一面不同,也可能相同.我猜两面相同!
”乙想:
“反正这张卡片不可能是两面黑色,它或者是两面红,或者是两面不同,相同与不同的机会各占一半.我猜两面不同.”结果,乙发现自己猜错的次数多.问题出在哪里?
题型3阅读理解题
典例5.检查某工厂产品,其结果如下:
抽出产品数(n)
5
10
60
150
600
900
1200
1800
2400
次品数(m)
0
3
7
19
52
100
125
178
248
次品频率
(1)计算次品频率;
(2)利用所学概率知识对表中数据作简要的数学分析.
【研析】根据频率计算公式,计算出次品出现的频率,如下表:
抽出产品数(n)
5
10
60
150
600
900
1200
1800
2400
次品数(m)
0
3
7
19
52
100
125
178
248
次品频率
0
0.3
0.117
0.127
0.087
0.111
0.104
0.099
0.103
(2)从上表中的数字可看出,抽到次品数的多少具有偶然性,但随着抽样的大量进行,抽取的件数逐渐增多,则可发现次品率呈现稳定现象,即在0.1附近.
由此可估计该厂产品的次品概率为0.1.
思维指南本题不是考查背定义、背概念,而重在考查对概念的理解程度,体现了数学知识的实际应用,突出了数学知识的实践性.与什么样的数学知识联系起来,怎样联系,如何建立数学模型,则对学生的数学水平有较高要求,这是今后数学命题的趋势.
【拓展·变式】
5.小华和小明做抛掷两枚硬币的游戏,每人各抛10次,看看不确定事件“出现两个正面”的次数。
下表是小华和小明的实验记录:
在小华的10次实验中,“出现两个正面”的次数是2次,“出现两次正面”的频率是
也就是20%,小明“出现两次正面”的频率是多少?
那么10次实验中,小华和小明“出现不是两个正面”的频率是多少?
小华和小明“出现两个正面”的频率之差是多少?
并说明两人的“出现两个正面”的频率为什么不相同?
▲创新思维探究
题型1开放探究题
典例6.除了电视节目中的游戏外,我们平时也会遇到很多和概率有关的游戏问题,再看看下面的游戏:
如图,从“开始”处出发,每次掷出两个骰子,两颗骰子点数之和即为出发的格数.
(1)在第一轮到达“车站”的概率是多少?
(2)两颗骰子的点数有哪几种组合方式?
请列出。
(3)假设你想要购置自起点出发第一边的后半段地皮(即电信大楼、杭州日报或体育馆),则到达这一区的概率是多少?
【研析】要对不同总点数可能出现的概率有所了解,这样才能做出较佳的决策.
(1)要到车站,你必须掷出5点,而用2个骰子掷出5点会有4种方式.假定一个骰子为红色,另一个为蓝色,则4种组合如图所示.而抛掷两颗骰子有36种可能的结果,所以到达车站的概率为4除以36,即
.
(2)要列出所有可能的结果,可利用列表,画树状图等方法。
两颗骰子的点数之和问题有了右图就容易多了:
(3)你需要掷出总点数6,8或9,而要得出这3种点数共有下列14种方法:
6=5+1或4+2或3+3或2+4或1+5;8=6+2或5+3或4+4或3+5或2+6;9=6+3或5+4或4+5或3+6.
所以到达这一区的概率为
.
交流探讨同学们知道福利彩票的赔率吗?
判断游戏是否公平,要根据事实的规律性进行判断,借助概率知识,分析各个事件发生的概率的大小,从而确定其发生可能性的大小.同学们知道福利彩票的赔率吗?
为什么奖越大,中奖的人数就越少,而赔偿的金额就越多呢?
这显然是彩票的设计者根据中奖的概率和彩票的游戏规则来确定的
【拓展·变式】
6.依据闯关游戏规则,请你探究“闯关游戏”的奥秘:
要求每次同时按下左右和右边各1个按钮.
(1)用列表的方法表示有可能的闯关情况;
(2)若两个1号按钮同时控制一个灯泡,
试求出闯关成功的概率.
题型2课标创新题
典例7.有一天,我去公园玩,被公园门口的一种游戏所吸引,其游戏规则是:
如图是一个转盘,游戏者每次转一下,转盘停止后,找到指针所指的数,从这一格开始,顺时针数到与该数相同个数的位置,按照提示得到或付出相应的钱数。
看来获奖的希望很大,16格中只有一格罚钱,要不要玩呢?
你想来试试吗?
请全体学生以小组为单位,进行游戏。
每小组做20次,填写工作单.我们小组共试验了________次,其中赢__________次,输___________次。
由此估计赢的概率为_______。
没有人赢12元大奖吗?
是不是试验次数太少了?
别的奖项呢?
你能分析一下各个奖项出现的概率吗?
你能说明谁是真正的赢家吗?
【研析】指针所指数为4,6,8,9,10,12,14,16,17,18这10个区域时均要罚3元,其概率为P(罚3元)=
.当指针指数为3,5,7,11,13,15这6个区域时均要奖1元,其概率为P(奖1元)=
.
如果玩很多次的话,平均每8次能赢
元,却要输
元。
所以玩的次数越多,输得越多。
真正的赢家为游戏的庄家.
方法探究
经验和直觉是学习的基础,但在某些情况下,如果不利用所学知识进行分析计算,人们的结论可能会错得离谱。
比如本题的游戏,很可能认为只要运气好,就能赢。
我们要有一双慧眼,平时生活中碰到问题多想想。
【拓展·变式】
7.有一种游戏是这样的:
在一个大转盘上,盘面被均匀地分成12份,
分别写有1~12这12个数字,其中在2,4,6,8,10,12这6个
区域中放的是文具盒,而1,3,5,7,9,11这6个区域中放的是
随身听,游戏规则是转动后停在哪一格,则继续向前前进对应转盘
上数字的格数。
例如:
你转动转盘停止后,指针落在4所在区域,
则还要往前前进4格,到标有8的区域,此时的区域上的奖品是你
的,以此类推。
请问:
小明在玩这个游戏,得到的奖品是随身听的
概率是多少?
❸开拓学习新视野
▲课标知识拓展
【探求新知】
电脑算中奖概率是多少?
随着电脑彩票的火爆销售,中奖概率书籍迅速走俏,更有一些“预测大师”应运而生.
在“科学选号”的旗帜下,在提高中奖机率的鼓动下,不少信徒虔诚地猛“啃”概率书.前一段时间,有几家网站推出了一项关于彩票出号规律性的网上调查,结果显示:
56%的人认为彩票出号有规律.一系列的数据和迹象让人疑窦丛生,如堕云雾.中奖真的有规律可循吗?
算概率对中奖到底有无作用?
在对彩民的随机采访当中,发现彩民对概率的相信比率大致是各占“半壁江山”.有的彩民认为:
经过长期买彩票,发现彩票是有规律可寻的.虽然奖号的变化似乎始终只表现出随机性和无序性,但对于大多数彩民来说,完全有可能避开几十期也难得出现一次的组合号码,这实际上就是“规律”.有的彩民觉得,彩票投注都是随机的,不可能有规律.如果彩票有规律,那么自称彩票分析专家的那些人,为什么不自己悄悄地去买、去中奖,而公开那些“高论”呢?
其实,无论是哪一种电脑彩票,电视节目中的摇奖机原理都基本一致:
在摇奖机的瓶腔内,一个个数字小球在气体的作用下忽上忽下,这样出来的小球,只具偶然性,是没有概率可言的.
彩票与概率之间究竟有无关系呢?
一位对统计学颇有研究的大学教授介绍说,概率分析就是通过一些复杂的计算,将一些出现概率较小的数字组合删除,从而提高中奖机会.从纯数学角度讲,概率低于一千分之一就可以忽略不计,而彩票中特等奖的概率是几百万分之一,所以选择彩票时考虑中奖概率并没有多大的实际意义.
概率学是一门系统科学,一般人了解的概率,不是从理论上认识,而是限于经验、时间的表层认识.因此,一般彩民预测中奖号码,与其硬着头皮去学概率学,还不如运用更简单、更容易掌握的简单的统计分析方法.
请同学们调查我国现行的彩票种类,彩票一共有多少张?
特等奖有多少张?
计算中特等奖的概率是多少?
▲领悟数学之妙
【数学史话】《重要的艺术》
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼数学家卡当,据说曾大量地进行过赌博。
他在赌博时研究不输的方法,实际是概率论的萌芽。
据说卡当曾参加过这样的一种赌法:
把两颗骰子掷出去,以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。
已知骰子的六个面上分别为1~6点,那么,赌注下在多少点上最有利?
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
两个骰子朝上的面共有36种可能,点数之和分别可为2~12共11种。
从图中可知,7是最容易出现的和数。
卡当曾予言说押7最好。
现在看来这个想法是很简单的,可是在卡当的时代,应该说是很杰出的思想方法。
在那个时代,虽然概率论的萌芽有些进展,但还没有出现真正的概率论。
十七世纪中叶,法国贵族德·美黑在骰子赌博中,由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博,要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配,但不知用什么样的比例分配才算合理,于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教。
正是这封信使概率论向前迈出了第一步。
帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起,研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题。
于是,一个新的数学分支——概率论登上了历史舞台。
概率论从赌博的游戏开始,完全是一种新的数学。
现在它在许多领域发挥着越来越大,十分重要的作用。
优化考题新演练
一、理解与应用
1.关于天气预报中预报某地降水概率为10%,解释正确的是
A.有10%的区域降水
B.10%太小,不可能降水
C.降水的可能性为10%
D.是否降水不确定,10%没有意义
2.若某个班级内有40名学生,抽10名同学去参加某项活动,每个同学被抽到的概率为
,其中解释正确的是
A.4个人中,必有1个被抽到
B.每个人被抽到的可能性为
C.由于抽到与不被抽到有两种情况,不被抽到的概率为
D.以上说法都不正确
3.下列说法正确的是
A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率为
B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次“正面朝上”
C.某地发行福利彩票,其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报
D.大量试验后,可以用频率近似估计概率
二、拓展与创新
4.掷一粒骰子,掷了100次,“向上的点数是2”的情况出现了19次,在这次试验中,“向上的点数是2”的频率是_________.
5.在一次考试中,某班学生有80%的及格,80%是_______(选“概率”或“频率”填空).
三、综合与探究
6.也许你曾被大幅的彩票广告所吸引,也许你曾经历过各种摇奖促销活动,不少同学会感到十分神秘,其实这只是一个概率问题。
针对这一问题,我们一起做一个有趣的游戏:
玲玲和倩倩是一对好朋友,她俩都想去观看周杰伦的演唱会,可手头只有一张票,怎么办呢?
玲玲对倩倩说:
“我向空中抛2枚同样的一元硬币,如果落地后一正一反,就我去;如果落地后两面一样,就你去!
”结果倩倩欣然答应。
请问:
你觉得这个游戏公平吗?
7.天气的概率预报是件新事物,以降水预报为例,一般的预报不是报有雨就是报“无雨”,而在降水概率预报中则主要用降水发生可能程度来表示.例如:
今天电视台的天气
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