40第四十章 等差数列.docx
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40第四十章等差数列
第四十章等差数列
概念
等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
引例
等差数列:
3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:
(1)通项公式:
第几项=首项+(项数-1)×公差
(2)项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
(3)求和公式:
总和=(首项+末项)×项数÷2
注:
在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题
1.小王看一本书第一天看了20页,以后每天都比前一天多看2页,第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页?
2.文丽学英语单词,第一天学会了3个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词?
3.李师傅做一批零件,第一天做了25个,以后每天都比前一天多做2个,第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个?
4.小李读一本短篇小说,她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?
5.建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
6.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木?
7.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形,按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
8.用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?
9.有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
11.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
12.一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
13.四
(1)班45位同学举行一次同学联欢会,同学们在一起一一握手,且每两个人只能握一次手,同学们共握了多少次手?
14.学校进行书法大赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
15.在一次元旦晚会上,一共有48位同学和5位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
16.一次朋友聚会,大家见面时总共握手28次。
如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次,问参加聚会的共有多少人?
17.求等差数列3,5,7,
的第10项,第100项,并求出前100项的和。
18.在
、
两数之间插入一个数,使其成为一个等差数列。
19.4个连续整数的和是94,求这4个数。
20.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中共学会了多少个单词?
21.1+3+5+7+……+95+97+99
22.(1+3+5+……+1997+1999)-(2+4+6+……+1996+1998)
23.求首项为5,末项为155,项数是51的等差数列的和。
24.有60个数,第一个数是7,从第二个数开始,后一个数总比前一个数我4。
求这60个数的和。
25.在从1开始的自然数中,第100个不能被3除尽的数是多少?
26.把1988表示成28个连续偶数的和,那么其中最大的那个偶数是多少?
27.在大于1000的整数中,找出所有被34除后商与余数相等的数,那么这些数的和是多少?
28.盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张,从盒中任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内,经过若干次这样的操作后,盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片,已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97,求那张黄色卡片上所写的数。
29.下面的各算式是按规律排列的:
1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,……,那么其中第多少个算式的结果是1992?
30.已知两列数:
2、5、8、11、……、2+(200-1)×3;5、9、13、17、……、5+(200-1)×4。
它们都是200项,问这两列数中相同的项数共有多少对?
31.某工厂11月份工作忙,星期日不休息,而且从第一天开始,每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作,直到月底,总厂还剩工人240人。
如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日(一人工作一天为1个工作日),且无人缺勤,那么,这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人?
32.小明读一本英语书,第一次读时,第一天读35页,以后每天都比前一天多读5页,结果最后一天只读了35页便读完了;第二次读时,第一天读45页,以后每天都比前一天多读5页,结果最后一天只需读40页就可以读完,问这本书有多少页?
33.7个小队共种树100棵,各小队种的查数都不相同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队最少种了多少棵?
34.将14个互不相同的自然数,从小到大依次排成一列,已知它们的总和是170,如果去掉最大数和最小数,那么剩下的总和是150,在原来排成的次序中,第二个数是多少?
35.已知一列数:
2,5,8,11,14,…,80,…,求80是这列数中第几个数。
36.有一列数是这样排列的:
2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
37.有一串自然数2、5、8、11、„„,问这一串自然数中前61个数的和是多少?
38.15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少?
39.把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少?
40.已知等差数列15,19,23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少?
41.在1~100这一百个自然数中,所有能被9整除的数的和是多少?
42.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32,36这个数列的和是多少?
43.所有两位单数的和是多少?
44.数列1、5、9、13、„„,这串数列中,前91个数和是多少?
45.(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)/2008=?
46.把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少?
47.在等差数列中4、10、16、22、……中,第48项是多少?
508是这个数列的第几项?
48.全部三位数的和是多少?
49.求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差
50.自然数中被10除余1的所有两位数的和。
51.若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人,如果共有304人,最外圈有几人?
52.从1到50这50个连续自然数中,取两数相加,使其和大于50,有多少种不同的取法?
53.求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9;
1、2、3、4、……9、10;
2、3、4、5、……10、11;
……
9、10、11、12、……17、18
54.1+2+3+4+……+2007+2008=?
55.有从小到大排列的一列数,共有100项,末项为2003,公差为3,求这个数列的和。
56.一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位?
57.一个物体从高空落下,已知第一秒下落距离是4.9米,以后每秒落下的距离是都比前一秒多9.8米50秒后物体落地。
求物体最初距地面的高度。
58.已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项?
59.有一个数列:
6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少?
60.在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项(101)?
第50项是多少?
答案及解析
1.提示:
根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数,即20、22、24、…、76、78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解:
由题意可知,这列数是一个等差数列,首项=20,末项=78,项数=30,所以这本书共有(20+78)×30÷2=1470(页)
答:
这本书共有1470页。
2.解:
文丽每天学会的单词个数是一个等差数列,即3、4、5、6、…、21。
首项=3,末项=21,项数=(21-3)÷2+1=10。
所以,文丽在这些天中共学会了(3+21)×10÷2=120(个)
答:
文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
3.答:
(25+63)×20÷2=880(个)
4.答:
这个等差数列共有29项。
5.提示:
根据图可以知道,这是一个以3为首项,以1为公差的等差数列,求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解:
求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:
3+4+5+…+9+10
=(3+10)×8÷2
=13×8÷2
=52(根)。
答:
这堆钢管一共有52根。
6.答案:
2485根。
7.解:
如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形。
不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:
3,6,9,…,3×10。
它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10。
求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和。
即:
3+6+9+…+30
=(3+30)×10÷2
=33×5
=165(根)
答:
这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。
8.答案:
55个
9.提示:
开第一把锁时,如果不凑巧,试了49把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试49次,同理,开第二把锁至多需要48次,开第三把锁至多需试47次,…,等打开第49把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。
解:
根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和,
即49+48+47+…+2+1
=(49+1)×49÷2
=1225(次)
答:
至多要试1225次。
10.解:
59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)
11.答:
一共有8把锁的钥匙搞乱了。
12.答:
第11站后,车上坐满乘客。
13.提示:
假设45位同学排成一队,第1位同学一次与其他同学握手,一共握了44次,第2位同学因与第1位同学已握手,只需要与另外43位同学握手,一共握了43次,这样第3位同学只需与另外的42位同学握手,…,依次类推。
握手的次数分别为:
44,43,42,…,3,2,1,这样应用等差数列求和公式即可解答。
解:
根据以上分析,可以把本题转化为求一个等差数列的和
即44+43+42+…+3+2+1
=(44+1)×44÷2
=990(次)
答:
同学们共握了990次手。
14.答案:
15+14+13+…+3+2+1=(15+1)×15÷2=120(场)
15.解:
根据题意,一共有48+5=53(人)参加了这次晚会。
所以,一共握手的次数为:
52+51+50+…+3+2+1=(52+1)×52÷2=1378(次)
答:
一共握了1378次手。
16.解:
设共有n人参加了聚会,因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次,所以一共握手(n-1)+(n-2)+…+2+1=n×(n-1)÷2,因为共握手28次,所以n×(n-1)÷2=28,即n×(n-1)=56.又因为n是正整数,通过计算,可知8×7=56,n=8,所以参加聚会的共有8人。
答:
参加聚会的共有8人。
17.提示:
我们观察这个等差数列,可以知道首项
=3,公差d=2,直接代入通项公式,即可求得
,
.同样的,我们知道了首项3,末项201以及项数100,利用等差数列求和公式即可求和:
3+5+7+
201=(3+201)
100
2=10200.
解答:
由已知首项
=3,公差d=2,
所以由通项公式
,得到
。
同理,由已知,
=3,
=201,项数n=100
代入求和公式得3+5+7+
201=(3+201)
100
2=10200.
18.解答:
根据第几项=首项+(项数-1)×公差,
那么第三项
=
+2d,即:
=
+2d,所以d=0.5
故等差数列是,
、2、
。
19.解答:
由于4个数是连续的整数,那么这4个数就是公差d=1的等差数列,不妨设第一个数为
,那么第二个数就是
+1,
同理:
第3个数,第4个数分别是
+2,
+3那么由已知,这四个整数的和是94,所以
+(
+1)+(
+2)+(
+3)=94,因此
=22,所以这4个连续分别是22、23、24、25。
20.解答:
因为丽丽从第二天开始,每天都比前一天多学会1个单词,因此丽丽每天学会的单词个数是一个等差数列,并且这个等差数列的首项
=6,公差d=1,末项
=16,若想求和,必须先算出项数n,根据公式项数=(末项-首项)÷公差+1,即n=(16-6)÷1+1=11
那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为:
6+7+8+……+16=(6+16)
11÷2=121
21.解答:
1+3+5+7+……+95+97+99
=(1+99)×50÷2
=2500
22.解答:
(1+3+5+……+1997+1999)-(2+4+6+……+1996+1998)
=(1+1999)×1000÷2-(2+1998)×999÷2
=1000000-999000
=1000
23.解答:
(5+155)×51÷2
=160×51÷2
=80×51
=4080
24.解答:
(1)末项为:
7+4×(60-1)
=7+4×59
=7+236
=243
(2)60个数的和为:
(7+243)×60÷2
=250×60÷2
=7500
25.解答:
我们发现:
1、2、3、4、5、6、7、……中,从1开始每三个数一组,每组前2个不能被3除尽,2个一组,100个就有100÷2=50组,每组3个数,共有50×3=150,那么第100个不能被3除尽的数就是150-1=149.
26.解答:
28个偶数成14组,对称的2个数是一组,即最小数和最大数是一组,每组和为:
1988÷14=142,最小数与最大数相差28-1=27个公差,即相差2×27=54,这样转化为和差问题,最大数为(142+54)÷2=98。
27.解答:
因为34×28+28=35×28=980<1000,所以只有以下几个数:
34×29+29=35×29
34×30+30=35×30
34×31+31=35×31
34×32+32=35×32
34×33+33=35×33
以上数的和为35×(29+30+31+32+33)=5425
28.解答:
因为每次若干个数,进行了若干次,所以比较难把握,不妨从整体考虑,之前先退到简单的情况分析:
假设有2个数20和30,它们的和除以17得到黄卡片数为16,如果分开算分别为3和13,再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16,也就是说不管几个数相加,总和除以17的余数不变,回到题目1+2+3+……+134+135=136×135÷2=9180,9180÷17=540,135个数的和除以17的余数为0,而19+97=116,116÷17=6……14,所以黄卡片的数是17-14=3。
29.解答:
先找出规律:
每个式子由2个数相加,第一个数是1、2、3、4的循环,第二个数是从1开始的连续奇数。
因为1992是偶数,2个加数中第二个一定是奇数,所以第一个必为奇数,所以是1或3,如果是1:
那么第二个数为1992-1=1991,1991是第(1991+1)÷2=996项,而数字1始终是奇数项,两者不符,所以这个算式是3+1989=1992,是(1989+1)÷2=995个算式。
30.解答:
易知第一个这样的数为5,注意在第一个数列中,公差为3,第二个数列中公差为4,也就是说,第二对数减5即是3的倍数又是4的倍数,这样所求转换为求以5为首项,公差为12的等差数的项数,5、17、29、……,由于第一个数列最大为2+(200-1)×3=599;第二数列最大为5+(200-1)×4=801。
新数列最大不能超过599,又因为5+12×49=593,5+12×50=605,所以共有50对。
31.解答:
11月份有30天。
由题意可知,总厂人数每天在减少,最后为240人,且每天人数构成等差数列,由等差数列的性质可知,第一天和最后一天人数的总和相当于8070÷15=538也就是说第一天有工人538-240=298人,每天派出(298-240)÷(30-1)=2人,所以全月共派出2*30=60人。
32.解答:
第一方案:
35、40、45、50、55、……35第二方案:
45、50、55、60、65、……40二次方案调整如下:
第一方案:
40、45、50、55、……35+35(第一天放到最后;第二方案:
40、45、50、55、……(最后一天放到第一天)这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70,共385页。
33.解答:
由已知得,其它6个小队共种了100-18=82棵,为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫?
敲戳?
个应该越多越好,有:
17+16+15+14+13=75棵,所以最少的小队最少要种82-75=7棵。
34.解答:
最大与最小数的和为170-150=20,所以最大数最大为20-1=19,当最大为19时,有19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+1=170,当最大为18时,有18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+2=158,所以最大数为19时,有第2个数为7。
35.提示:
仔细观察这列数可以发现,后项与其相邻的前项之差等于3,所以这是一个以2为首项,以公差为3的等差数列,求80是这列数中第几个数,实际上是求该数列的项数。
解:
这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1。
即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。
36.解答:
785是第88个数。
37.解:
即求首项是2,公差是3,项数是61的等差数列的和,根据末项公式:
末项=2+(61-1)×3=182根据求和公式:
和=(2+182)×61÷2=5612
答:
5612
38.15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少?
解:
由中项定理,中间的数即第8个数为:
199515133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是:
1332158147
答:
147。
39.解:
由题可知:
由210拆成的7个数必构成等差数列,则中间一个数为210÷7=30,所以,40.一把钥匙和一把锁配着,现在有10把钥匙和10把锁混着了,最多要打多少次才能把钥匙和锁都配好?
这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15,第6个数是40。
答:
第1个数:
15;第6个数:
40。
40.解:
公差=19-15=4项数=(443-15)÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为:
15,23,31„„439,公差为8,和为(15+439)×54÷2=12258偶数项组成的数列为:
19,27,35„„443,公差为8,和为(19+443)×54÷2=12474差为12474-12258=216
答案:
216
41.解:
每9个连续数中必有一个数是9的倍数,在1~100中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9*1,最大的数是99=9*11,这些数构成公差为9的等差数列,这个数列一共有:
11+1-1=11项,所以,所求数的和是:
9+18+27+…+99=(9+99)*11/2=594.也可以从找规律角度分析.
答案:
594
42.解:
根据中项定理,这个数列一共有9项,各项的和等于中间项乘以项数,即为:
20×9=180
答案:
180
43.解:
即求首项是11,末项是99的奇数数列的和为多少,和=(11+99)×45÷2=2475
答案:
2475
44.解:
首项是1,公差是4,项数是91,根据重要公式,可得:
末项=1+(91-1)×4=361,和=(1+361)×91÷2=16471
答案:
16471
45.解:
根据中项定理知:
2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008*7,所以原式=2008*7/2008=7。
答案:
7
46.解:
公差为2的递增等差数列。
平均数:
248÷8=31,第4个数:
31-1=30;首项:
30-6=24;末项:
24+(8-1)×2=38。
即:
最大的数为38。
答案:
38
47.答案:
第48项是286,508是第85项。
48.提示:
所有的三位数就是从100~999共900个数,观察100、101、102、……、998、999这一数列,发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解:
(100+999)*900/2=1099*900/2=494550
答:
全部三位数的和是494550。
49.答案:
1000
50.提示:
在两位数中,被10除余1最小的是11,最大的是91。
从题意可知,本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9,我们可以根据求和公式来计算。
解:
11+21+31+……+91=(11+91)*9/2=459
51.答案:
52人
52.答案:
625种
53.答案:
900
54.解答:
总和=(首项+末项)×项数÷2
(1+2008)×2008÷2=2017036
55.解答:
第几项(末项)=首项+(项数-1)×公差=1076
总和=(首项+末项)×项数÷2=185450
57.解答:
末项:
4.9+49×9.8=485.1
总和=(4.9+485.1)×50÷2=12250
58.解答:
项数=(末项-首项)÷公差+1
16=(47-2)÷3+1
59.解:
第几项(末项)=首项+(项数-1)×公差
总和=(首项+末项)×项数÷2
答:
20400
60.解:
项数=(末项-首项)÷公差+1
第几项(末项)=首项+(项数-1)×公差
答:
197
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- 40第四十章 等差数列 40 第四十