换元积分法第二类换元法精选.docx
- 文档编号:10670355
- 上传时间:2023-05-27
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:57.47KB
换元积分法第二类换元法精选.docx
《换元积分法第二类换元法精选.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《换元积分法第二类换元法精选.docx(18页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
换元积分法第二类换元法精选
§4.2换元积分法(第二类)
Ⅰ授课题目(章节):
§4.2换元积分法(第二类换元积分法)
Ⅱ教学目的与要求:
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法
Ⅲ教学重点与难点:
重点:
第二换元法中的三角代换及根式代换难点:
积分后的结果进行反代换
Ⅳ讲授内容:
第一类换元积分法的思想是:
在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[(x)](x)的形
式那么
g(x)dxf[(x)](x)dxf[(x)]d(x)u(x)f(u)du
F(u)CF[(x)]C
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如f[(x)](x)函数来.对于某些
函数第一换元积分法无能为力,例如a2x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要
学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x(t)将无理函数f(x)的积分f(x)dx化为有理式f[(t)](t)的积分f[(t)](t)dt。
即
f(x)dxf[(t)](t)dt
(t)C
若上面的等式右端的被积函数f[(t)](t)有原函数(t),则f[(t)](t)dt
然后再把(t)中的t还原成1(x),所以需要一开始的变量代换x(t)有反函数。
定理2设x(t)是单调、可导的函数,且(t)0,又设f[(t)](t)有原函数(t),则
1
f(x)dxf[(t)](t)dt(t)C[1(x)]C
分析要证明f(x)dx[1(x)]C,只要证明[1(x)]的导数为f(x),
d1ddt
[(x)]dxdtdx
证明x(t)单调、可导,
dt?
dx
x(t)存在反函数t
(x),且dx
1
dx
dt
1
(t)
d
dx
1
[1(x)]
ddt
dtdx
f[(t)]
(t)1
(t)
f(x)
11[1(x)]是f(x)是一个原函数f(x)dx[1(x)]C.
第二换元法,常用于如下基本类型
类型1:
被积函数中含有a2x2(a0),可令xasint(并约定t(,))则22
22a2x2acost,dxacostdx,可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1求a2x2dx
(a0)
22
解令xasint,t(,),则a2x2
acostdxacostdt
a2x2dx
acostacostdt
2a
2a
t
sin2tC
2
4
a2(11cos2t)dt
22
2
a
t
2
2
a
sintcost
2
2
axx22
arcsinaxC.
2a2
借助下面的辅助三角形把sint,cost用x表示.
x2
例2求dx
4x2
解令x2sint,t
(,),则4x2
22
2cost,dx2costdt
2
4sin2t
2cost
2costdt=41cos2tdt
2
(22cos2t)dt2t
sin2tC
2t
2sintcostC
2arcsinx
2
类型
2:
被积函数中含有
2x2(a0)可令xatant并约定t(2,2),则
22ax
asect;
2
dxasectdt
;可将原积分化为三角有理函数的积分
dx
x2a2
(a0)
解令xatant,t
),则x2a2asect,dxasec2tdt
22
dxsectdt
22
xa
lnsecttantC
C
ln
a
a
4
解令x
2tant
则
(
1
22
2sec2t
dxx24
x2a2x
x22sect,
例4求
dx
x24x2
2dt
4tan2t2sect
sec2tdt
tan2t
2
dx2sectdt
1cos2tdtsin2tcos2t
1cost
2dt
4sin2t
12dsintsin2t
4sint
4x
4x2C
dx
例5求(x2dx9)2
分母是二次质因式的平方
22
解令x3tant,则x299sec2t,dx
2
3sec2tdt
练习:
1
求212dx(第二换元积分法分)
(x22x5)2
解(x22x5)2
[22(x1)2]2,令x12tant
t(2,2)则
dx
22(x22x5)2
2
2sect
44
24sec4t
dt
1(1cos2t)dtt
1616
sintcostC
16
dx
3sec2
t
dt
1
cos2tdt
(x2
281sec4
9)
t
27
1
(1
cos2t)dt
t
1
t1
cos2tdtcos2td2t
54
54
54
54254
t
1sin2t
t
1
sintcostC
54
2
54
54
54
1
x1
3x
C
arctan
2
54
354x
29
1
x11x1
arctan2
C
16
28x22x
5
类型
3被积分函数中含有
x2a2(a0),当
x
a时,可令xasect,并约定
t(0,),则x2a2atant,dxasecttantdt,当xa时,可令ux,则ua,可将原积分化为三角有理函数的积分。
dx
(a0)
解被积函数的定义域为(
a)(a,),
当x(a,)时,令xasect,t(0,),
2
则x2a2atant,dxasecttantdt有
dx
x2a2
asecttantdtatant
sectdt
xln(secttant)Cln(
a
ln(x
a2)C1.
当x(
a)时,
令x
u
dx
du
x2
2a
22ua
ln
1
C1
ln
x
x2
2a
(
lnx
x2
2a
C1
ln(
2
a
ln(x
x2
a2)
C2
x(
a)
(a,
)时,
例7求
dx
x2x2
1
x
x
解x(1,)时,令
,则u(a,
ln(uu
xsect,t
dt
)有
22
2a2)C1
22xxa
x2a2)(
(C1
ln(
x2a2)
lna2)
x2a2)C1
C1
x2dxa2ln
xa
22xa
(0,)则x2
2
tant,dxsecttantdt,有
dx
则u
secttant
costdtsint
(1,)有
x21C,
uu21
u21C
2
x1
C
x
无论x
1或x1均有
dx
x
注意:
(1)以上三种三角代换,目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分
(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x的函数时,常常用到同角三角函数的关系,一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”
(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候,用第一换元法就使计算更为简洁.
dx
(a0)
例8求dx
22
xxa
解法一(用第一换元法)
dx
xa时xx2
xx
dx
d(ax)
x
x2
2
a
2x
(ax)2
x
1aarccosa
C,x
xa时,令u
x则
dxxx2
du
(u)u2
1
arccos
u
1arccos
a
两式合并
dx
22
xxa
1
arccos
a
解法
第二换元法)
1)当xa时,
asect,t(0,2)则x2
atant,dxasecttantdt
dx
xx2
a2
asecttant
dt
asectatant
11dttaa
1arccosaC.ax
2)当x
a时,
dx
du
du
xx2
uu2
uu2
1arccosau
1arccosax
由
(1)
(2)两种情况可得
dx
xx2
1arccos
a
Ⅴ归纳总结
1、第二类换元积分法的思想
若f(x)dx中的被积函数f(x)为无理函数,可以选择适当的变量代换x(t),将无理函数
f(x)的积分
f(x)dx化为有理式的积分
f[
(t)]
(t)dt.
f(x)dxx
(t)f[(t)](t)dt
(t)
C
[1(x)]C
2、第二类换元积分法适用的被积函数类型
类型1:
被积函数中含有a2x2
(a
0)
可令xasint(并约定t(,))则
22
a2x2acost;dxacostdx可将原积分化作三角有理函数的积分
类型2:
被积函数中含有a2x2(a0)可令xatant并约定t(,),则
22
a2x2asect;dxasec2tdt;可将原积分化为三角有理函数的积分.
类型3
被积分函数中含有
x2
2a
(a0),
当x
a时,
可令x
asect,
并约定
t(0,),则x2a2atant
,dx
asecttantdt,
当x
a时,
可令u
x,则u
a,可
将原积分化为三角有理函数的积分。
Ⅵ课堂练习:
P208习题4-22
(37)
Ⅶ课外作业:
P208习题4-22
(36)
(37)
(38)(40)(
42)
最新文件
仅供参考
已改成word文本
方便更改
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 积分 第二 类换元法 精选