完整word版全等三角形总复习知识点+基础应用+能力提高docx.docx
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全等三角形
知识点梳理
(一)、基本概念
1、“全等”的理解
全等的图形必须满足:
(1)形状相同的图形;
(2)大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;
(2)全等三角形对应角相等;
(3)全等三角形的对应边上的高、中线对应相等。
(4)全等三角形对应角的角平分线相等;
(5)全等三角形的周长和面积相等;
3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
4、角平分线的性质及判定
性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定:
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全
等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边对应相等,可找:
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
1/10
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找:
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边
相等(SAS)
找夹角SAS
已知两边找第三边SSS
找直角HL
边为角的对边找任一角AAS
找夹角的另一边
已知一边一角
边为角的邻边找夹边的另一角
找边的对角AAS
SAS
ASA
找夹边ASA
已知两角
找任一对边AAS
注意:
判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的,边边角(SSA)和角角角(AAA)
不能作为判定两个三角形全等的方法。
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:
1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);
2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么;
3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。
常见考法:
(1)利用全等三角形的性质:
①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等;
(2)利用判定公理来证明两个三角形全等;
(3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。
老师误区提醒:
(1)忽略题目中的隐含条件;
(2)不能正确使用判定公理。
2/10
全等三角形常见题型分类练习
全等三角形性质的应用
类型一.全等三角形的基本性质应用
1.下列命题正确的是()
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相同的两个三角形
C.两个周长相等的三角形是全等三角形D.全等三角形的对应边相等、对应角相等
2.如图1,ABD≌ΔCDB,且AB、CD是对应边;下面四个结论中不正确的是:
()
A.ABD和CDB的面积相等B.ABD和CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD//BC,且AD=BC
3.(2009海南)如图所示,已知图中的两个三角形全等,则∠度数是()
A.72°B.60°C.58°D.50°
第2题
第3题
4.(2009陕西)如图,
△ACB≌△ACB,
BCB=30°,则
ACA的度数为(
)
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
5.如图,△≌△
,
和
,
和
AF
是对应边,那么∠
等于()
ABCAEF
AB
AE
AC
BAE
A.∠
ACB
B.∠
BAF
C.∠
F
D.∠.
CAF
6.已知△ABC≌△EFG,有∠B=70°,∠E=60°,则∠C=(
)
A.60°B
.70°C
.50°D
.65°
7.(2009清远)如图,若
△ABC≌△ABC,且
A110°,
B
,则
C1
=
.
1
11
40°
8.△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶2,且△ABC≌△DEF,则∠E=
______.
AA
A
A
B
B
CB
C
B
C
第4题
第5题
第7题
9.(2009邵阳)如图,将
Rt△ABC(其中∠B=34
0
,∠C=90
0
)绕A点按顺时针方向旋转到△
1
1
的位
ABC
置,使得点C、A、B在同一条直线上,那么旋转角最小等于(
)
1
A.56
0
B.68
0
C.124
0
D.180
0
3/10
B
34
C
0
C
A
B
第9题
第12
题
10.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为
y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=__________.
11.已知△≌△
,△
的周长为
32cm,=9cm,=12cm则
=________,=______,=_______.
ABC
DEF
DEF
DE
EF
AB
BC
AC
12.如图,在正方形网格上有一个△
ABC.⑴在网格中作一个与它全等的三角形;⑵如每一个小正方形的
边长为1,则△ABC的面积是
.
全等三角形的证明
【基础应用】
1.(2009年江苏省)如图,给出下列四组条件:
①ABDE,BCEF,ACDF;②ABDE,BE,BCEF;
③BE,BCEF,CF;④ABDE,ACDF,BE.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()
A.1组B.2组C.3组D.4组
2.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组
条件是()
A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF,AC=DFC.∠A=∠D,∠B=∠ED.∠A=∠D,BC=EF
3.(2009广西)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,AC、BD交于点O,则图中全等三角形共有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
AD
O
BC
第1、2题第3题
4.如图:
AB=DC,BE=CF,AF=DE。
求证:
△ABE≌△DCF。
CD
E
F
AB
(图19)
4/10
5.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
A
EF
BMC
6.如图,∠1=∠2,∠ABC=∠DCB。
求证:
AB=DC。
AD
12
BC
7.已知BE=ED,∠1=∠2,求证:
△ABE≌△CDE
8.如图;AB=AC,BF=CF。
求证:
∠B=∠C。
A
DE
F
C
B
9.如图:
在△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,CD=DE,E是AD上一点,连结BE并延长交AC于点F。
A
求证:
(1)BE=AC,
(2)BF⊥AC。
F
E
BC
D
(图17)
5/10
【能力提高】
类型一、平行线性质的应用
CF
1.如图:
AC∥EF,AC=EF,AE=BD。
求证:
△ABC≌△EDF。
A
E(图2)B
D
2.如图(8)A、B、C、D四点在同一直线上,AC=DB,BE∥CF,AE∥DF。
求证:
△ABE≌△DCF。
3.(2009武汉)如图,已知点E、C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证:
△ABC≌△DEF.
AD
BECF
4.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD求.证DC∥AB.
DC
O
AB
5.如图,点B,E,C,F在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.A
BFCE
6/10
6.(2009黄石)如图,C、F在BE上,∠A=∠D,AC∥DF,BF=EC.求证:
AB=DE.
A
BCF
7.如图(16)AD∥BC,AD=BC,AE=CF。
求证:
(1)DE=DF,
(2)AB∥CD。
D
F
E
E
D
C
A(图16)B
类型三、角平分线性质应用
1.如图,△
中,∠
C
=90°,
=
,
是∠
的平分线,DE⊥AB于E,
ABC
AC
BCAD
BAC
若AC=10cm,则BD+DE=(
)
A.10cm
B
.8cm
C
.6cm
D
.9cm
2.尺规作图作∠AOB的平分线方法:
以为
O圆心,任意长为半径画弧交
OA、OB于C、D,再分别以点
C、D
为圆心,以大于
1
CD
长为半径画弧,两弧交于点
P,作射线OP由作法得
△OCP≌△ODP
的根据是(
)
2
A.SAS
B
.ASA
C
.AAS
D.SSS
3.如图,
∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为(
)
A.5cm
B.3cm
C.2cm
D.
不能确定
C
A
D
C
D
B
A
E
B
第2题
第3题
第1题
4.如图,
平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB垂足分别为
,.下列结论中不一定成立的是(
)
OP
A
B
A.PA=PB
B
.PO平分∠APBC.OA=OB
D.AB垂直平分OP
5.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延长线于F,E为垂足.则结
论:
①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE,其中正确结论的个数是()
A.1
B.2
C
.3
D
.4
7/10
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为
A
B
E
P
D
A
O
C
B
第4题
第5题
第6题
7.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
A
求证:
DE=DF.
E
BD
8.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:
∠OAB=∠OBA
9.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
10.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
A
C
D
__
F
C
B
8/10
类型四、垂直平分线性质应用
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10°,
则∠C的度数为()
A.30
B.40
C.50
D.60
2.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,若AB=5,AC=3,则AD的取值范围是
。
A
D
BC
E
第1题第2题
3.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
4.如图:
A、E、F、B四点在一条直线上,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD。
求证:
△ACF≌△BDE
D
F
AEB
C
类型五、添加辅助线
(一)连接四边形的对角线
1.如图,AB//CD,AD//BC,求证:
AB=CD。
(二)作垂线,利用角平分线的知识
1.如图,AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P。
求证:
BP为∠MBN的平分线。
9/10
2.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:
∠A+∠C=180°
AD
C
B
3.如图,ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
A
C
B
D
(三)“截长补短”构造全等三角形
1.如图,AD∥BC,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BC
AD
E
B
2.如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
C
A
12
P
BDC
3.已知△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数
量关系,并加以证明.
A
E
OD
BC
10/10
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