最新数列等差数列基础题以及答案.docx
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最新数列等差数列基础题以及答案
数列、等差数列基础题以及答案
、选择题
1.数列{an}满足ai=a2=1-''',若数列{an}的前n项和
为5,则S2013的值为()
A.2013B.671C.-671D.
2.已知数列{an}满足递推关系:
an+1=.-,a1=_,则a2017=()
A._.
B.
2017
C.一
D._
3.数列{an}的前n项和为
Sn,
若Sn=2n-1
(n€N+),贝Va2017的值为(
)
A.2
B.
3
C.2017
D.3033
4.已知正项数列{an}满足■■:
:
,若a1=1,则a10=()
A.27
B.28C.26
D.29
5.若数列{an}满足:
a1=2,an+1=,贝Ua7等于()
A.2
B.C.-1
D.2018
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a3+6,贝USz=()
A.49B.42C.35D.28
7.等差数列{an}中,若a1,a2013为方程x2-10x+16=0两根,则a2+a1007+a2012=()
A.10B.15C.20D.40
8.已知数列{an}的前n项和---,若它的第k项满足2vay5,贝Uk=()
A.2B.3C.4D.5
9.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d工0若ak=a什a2+a3+…+ae,则k=()
A.45B.46C.47D.48
10.已知a1,a2,a3,…,a8为各项都大于零的数列,则"a什a8va4+a5”是"a1,a2,
a3,…,a8不是等比数列”的()
A.充分且必要条件B.充分但非必要条件
C.必要但非充分条件D.既不充分也不必要条件
11.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则2(a1+a3+a5)+3(ag+aw)=36,则Sn=()
A.66B.55C.44D.33
二、填空题
2
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n+n,则该数列的通项公式an=.
2.正项数列{an}中,满足a1=1,a2=/,an+1=」%"”卄*(n€N),那么an=
3.若数列{an}满足a1=-2,且对于任意的m,n€N,都有am+n=am+an,则a3=;数
列{an}前10项的和S10=.
4.数列{an}中,已知a1=1,若af-ati_1=2{n>2HneNr),则an=,若
=2(n>2£Ln,贝卩外=
1
5.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+看!
n€N*,则通项公式an=
6.数列{a*}满足ai=5,)—二=5(n€N+),贝Va*=.
°/I+i
7.等差数列{a*中,a什a4+a7=33,a3+a6+a9=21,则数列{an}前9项的和S9等于
三、解答题
1•已知数列{an}的前n项和为Sn,且二.-.';:
=1(n€N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设、_小'•-(n€N+),求'+•一…一的值.
2.数列{an}是首项为23,第6项为3的等差数列,请回答下列各题:
(I)求此等差数列的公差d;
(n)设此等差数列的前n项和为Sn,求Sn的最大值;
(川)当Sn是正数时,求n的最大值.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n€N*).
(I)求数列{an}的通项公式;
(n)求数列{Sn}的前n项和Tn.
4.已知数列{an}具有性质:
①ai为整数;②对于任意的正整数n,当a.为偶数时,
--;当an为奇数时,一.
(1)若ai=64,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1,a2,a3成等差数列,求a1的值;
(3)设|一「:
(m且m€N),数列{an}的前n项和为Sn,求证:
、二■'.()
14.-6;-110
15.2n-1;2n-1
1
16・-
17・:
.;“.:
!
18.81
19.解:
(1)当n=1,a1=,
当n>1,Sn+an=1,Sn-1+.an-1=1,
31
•\an-_an-1=0,
即an=an-1,
数列{an}为等比数列,公比为,首项为,
(2)Sn=1--an=1-()n,•'bn=n,
ii1I
•,
…+J一_-I,
111
•••1
1I111
3-23
一―!
;
=1-:
+:
_+•..+-=1-,一一——
20.解:
(I)由a1=23,a6=3,所以等差数列的公差d=,
(n)\-=_:
■:
--
因为n€N*,所以当n=6时0有最大值为78;
(川)由■-,解得0vnv_.
因为n€N*,所以n的最大值为12.
21.解:
(I)列{an}的前n项和为Si,且Sn=2an-2①.则:
Sn+1=2an+1-2②,
②-①得:
an+i=2an,
即:
—■(常数),
nn
当n=1时,ai=Si=2ai-2,
解得:
ai=2,
所以数列的通项公式为1-'
(n)由于:
•,
=二,
n+1
=2-2.
'1-2-2---2,
cn+2
=2-4-2n.
22.解:
(1)由…一门一,可得,一-,:
.,,一,…,',•,:
:
:
一「一I,,
a9=0,…,
即{an}的前7项成等比数列,从第8起数列的项均为0.•••(2分)
(2一匕(1 故数列{an}的通项公式为r,;: _: : .;.,「丁.…(4分) (2)若ai=4k(k€Z)时,“•一,一”,’…—- 由ai,a2,a3成等差数列,可知即2(2k)=k+4k,解得k=0,故ai=0; 卄fll-1,fl2 右ai=4k+1(k€Z)时,,「一一-匚,…一一] 由ai,a2,a3成等差数列,可知2(2k)=(4k+1)+k,解得k=-1,故ai=-3;•••(7分) 若ai=4k+2(k€Z)时,‘;: 一一>+】,、.一-- 由ai,a2,a3成等差数列,可知2(2k+1)=(4k+2)+k,解得k=0,故ai=2; 若ai=4k+3(k€Z)时,‘;.一-「: 「】,•: ■-- 由ai,a2,a3成等差数列,可知2(2k+1)=(4k+3)+k,解得k=-1,故ai=-i; •a的值为-3,-1,0,2.•••(10分) (3) 由^1=2tn—3(m>3,可得^2~~2~~2,^^^^=2m~2—l, 又: ——I-",am+2=0,… 故当n舸时,an>0;当n>n+1时,an=0.•••(15分 故对于给定的m,Sn的最大值为ai+a2+…+am=(2m-3)+(2m-1-2)+(2m-2-1)+(2m-3-1) 1mm-1m-21m+1 +…+(2-1)=(2+2+2+…+2)-m-3=2-m-5, 故\-.■'.•••(18分) 【解析】 1.解: ••数列{an}满足a1=a2=1,匚+.! •「.,.■l, ••从第一项开始,3个一组,则第n组的第一个数为a3n-2 a3n-2+a3n-1+a3n 2jue =cos— =cos(2nn) 4jt =cos(-) 斗rr =cos— IT =-C0S7 1 =-二, ••2013-3=671,即S2013正好是前671组的和, 1671 •*S2013=^;泊71=-. 故选D. 由数列{an}满足a1=a2=1,订..+丄.: +宀■_i,: 、、知从第一项开始,3个 一组,则第n组的第一个数为a3n-2,由a3n-2+a3n-1+a3n=C0S=-二,能求出S2013. 本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用,解题时要认真审题,注意三角函数 的性质的合理运用. 亠111 2.解: ■/an+1=-,a1=_,•-=1. ••数列'是等差数列,首项为2,公差为1. •盂=2+2016=2018. 1 则a2017=_. 故选: C. an+1=■,a1=,可得云--=1.再利用等差数列的通项公式即可得出. 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 3.解: ••Sn=2n-1(n€N+), •'a2017=S2017-S2016=2X2017-1-22016+1=2 故选: A 由a2017=S2017-S2016,代值计算即可. 本题考查了数列的递推公式,属于基础题. _22 4.解: _111,「an+i-2anan+i+an=9, --(an+i-an)=9, -an+i-an=3,或an+i-an=-3, '•{an}是正项数列,ai=i, ••an+i-an=3,即{an}是以1为首项,以3为公差的等差数列, •ao=1+9X3=28. 故选B. 由递推式化简即可得出{an}是公差为3的等差数列,从而得出aio. 本题考查了等差数列的判断,属于中档题. 你一12-11 5.解: 数列{an}满足: ai=2,an+i=,则a2=_=_, f-1 a3=t=-i -l-i a4=_]=2 2-11 a5=_=二, I-1 a6=j=-i. -i-i a7==2. 故选: A. 利用数列的递推关系式,逐步求解即可. 本题考查数列的递推关系式的应用,考查计算能力. 6.解: ••等差数列{an}的前n项和为Sn,2a6=a3+6, •'2(ai+5d)=ai+7d+6, •a+3d=6,-'a4=6, 7 ■-■.;.=42. 故选: B. 由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4,由此利用等差数列的前n项和公式能求 出S7. 本题考查等差数列的前7项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的 通项公式和前n项和公式的合理运用. 、2 7.解: Tai,a20i3为方程x-i0x+16=0的两根 •°a计a2oi3=i0 由等差数列的性质知: ai+a2oi3=a2+a2oi2=2aio07 .■a2+ai007+a2oi2=i5 故选: B 由方程的韦达定理求得a什a2oi3,再由等差数列的性质求解. 本题主要考查韦达定理和等差数列的性质,确定ai+a2oi3=i0是关键. 8.解: 已知数列{an}的前n项和•一,n=i可得Si=ai=i-3=-2, 22 /an=Sn-Sn-i=n-3n-[(n-i)-3(n-i)]=2n-4, n=i满足an, •'an=2n-4, ••它的第k项满足2vay5,即2v2k-4v5,解得3vkv4.5,因为n€N, •k=4, 故选C; (齢伍=1) 先利用公式an=求出an=「、■■_: ■,再由第k项满足4vakV7建立不等式,求 出k的值. 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式an=「.、■■_: ■的合理运用, 属于基础题. 9.解: ・.ak=ai+a2+a3+…+aio, •'a计(k-1)d=10ai+45d ■•'ai=0,公差d^O, (k-1)d=45d •'k=46 故选B 由已知ak=ai+a2+a3+…+aio,结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 10.解: 若八个正数,成等比数列公比q>0, (ai+a8)-(a4+a5) =a1[(1+q)-(q+q)] 34 =a1[(q-1)(q-1)] 当0vqv1,时 (q-1)v0,(q-1)v0 34 •a[(q-1)(q-1)]>0 当q>1,时 (q-1)>0,(q-1)>0 34 •a[(q-1)(q-1)]>0 所以a什a8>a4+a5, 故若a1+a8va4+a5,则a1,a2,a3,…,a8不是等比数列, 若a1,a2,a3,…,不是等比数列,a1+a8 故"a1+a8 a3,…,不是等比数列”的充分非必要条件. 故选B 先假设八个整数成等比数列且1利用等比数列的通项公式表示出(a1+a8)-(a4+a5), 分别对q>1和qv1分类讨论,可推断出a什a8>a4+a5一定成立,反之若a1+a8 a3,…,不是等比数列,a什a8 本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件,必要条件充分必要条件的判定.考查了 学生分析问题和基本的推理能力. 11.解: 由等差数列的性质可得: 2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,•'6a3+6a9=36,即a1+an=6. 11(^1+on) 则Sn==11X3=33. 故选: D. 利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出. 本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 2 12.解: 由Sn=n+n,得 ai=Si=2, 当n》2时, 22 an=Sn-Sn-i=(n+n)-[(n-1)+(n-1)]=2n. 当n=1时上式成立, •'an=2n. 故答案为: 2n. 由数列的前n项和求得首项,再由an=Sn-Sn-1(n>2求得an,验证首项后得答案.本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式,是基础题. 13・解: 由 >11*2 (MN),可得an+1=an? an+2, ••数列{an}为等比数列, a1=1,a2「, 1flL-*o 由=(nON),可得a2n+1=an? an+2,即可得到数列为等比数列,求出公 比,即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式,属于基础题. 14.解: ••对于任意的m,n€N,都有am+n=am+an, ••取m=1,贝Van+1-an=a1=-2, ••数列{an}是等差数列,首项为-2,公差为-2, •'an=-2-2(n-1)=-2n. •,a3=-6, 10XC-2-20) •数列{an}前10项的和S10=_=-110. 故答案分别为: -6;-110. 对于任意的m,n€N,都有am+n=am+an,取m=1,则an+1-an=a1=-2,可得数列{an}是等差数列,首项为-2,公差为-2,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出. 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 15.解: 在数列{an}中,由%-叫_1=2(71之2且 可知数列是公差为2的等差数列,又印=1, 「an=1+2(n-1)=2n-1; 由一'■■■■, 叫一1 可知数列是公比为2的等比数列,又a1=1, 故答案为: 2n-1;2n-1. 由已知递推式an-an-i=2,可得数列是公差为2的等差数列,由二,可知数列是公比 为2的等比数列,然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案. 本题考查数列递推式,考查了等差数列和等比数列的通项公式,是基础题. 16.解: 由题意,an+1-an=-「 利用叠加法可得an-ai=1-=, •.ai=-l, ••an=-, 故答案为-I 由题意,an+1-an=-―..|,利用叠加法可得结论. 本题考查数列的通项,考查叠加法的运用,属于基础题. 11+、 17.解: 数列{an}满足ai=5,—--=5(n€N), 可知数列{匸}是等差数列,首项为,公差为: 5. 可得二=+5(n-1), 解得%=: : .._: : . 故答案为: 古_..: : 判断数列{}是等差数列,然后求解即可. 本题考查数列的递推关系式的应用,通项公式的求法,考查计算能力. 18.解: 等差数列{an}中,a1+a4+a7=33,a3+ae+a9=21, .*3a4=33,3a6=21; •a4=11,a6=7; 数列{an}前9项的和: +佝)+nJ 、,一__X】. 故答案为: 81. 根据等差数列项的性质与前n项和公式,进行解答即可. 本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题,是基础题目. 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式,考查了数列的函数特性,是基础的运 算题. 21.(I)直接利用递推关系式求出数列的通项公式. (n)利用数列的通项公式,直接利用等比数列的前n项和公式求出结果. 本题考查的知识要点: 数列的通项公式的求法,等比数列前n项和的公式的应用. 22. (1)由…一门一,可得{an}的前7项成等比数列,从第8起数列的项均为0, 从而利用分段函数的形式写出数列{an}的通项公式即可; (2)对ai进行分类讨论: 若ai=4k(k€Z)时;若ai=4k+1(k€Z)时;若ai=4k+2(k®)时;若ai=4k+3(k巳)时,结合等差数列的性质即可求出ai的值; (3)由=2fti-3(m>3,可得a2,a3,•若%=2‘一l(tEN*),贝Vak是奇数,可得当3 : .一厂八•成立,又当nEm时,an>0;当n初+i时,an=0.故对于给定的m,Sn的最大值为2m+i-m-5,即可证出结论. 本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识,考 查分析问题、解决问题的能力.
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