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高等数学理论体系
高等数学体系
第一模块函数
第一章集合
第一节集合的性质
1.无序性、互异性、确定性
2.表示方法:
N={0,1,2,…}N*或N+={1,2,3,…}
Z={0,±1,±2,…}Q={所有整数与分数}
R={数轴上的点}C={直角坐标系上的点}
虚数={a+bi中≠0}纯虚数={虚轴(即y轴)上的点(除原点外)}
3.表示方式:
列举法、描述法
4.运算:
并集、交集、全集、补集
5.关系:
①元素与集合:
∈或¢(不属于)
②集合与集合:
包含或不包含—子集[2n个](ф,…,本身)、相等、真子集【2n-1个】(ф,…,不包含本身){如:
A真包含于B,X∈B,且X¢A
第二章函数
(区别)圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)—多值函数
第一节函数的概念
一、定义:
A,B为非空数集,集合A中任意一个数x,在集合B都有惟一确定的数f(x)与它对应,称f:
A→B是函数。
【注】:
区别:
函数是映射的特殊情况。
映射:
A,B为非空集合f:
A→B(A中任意元素,B中惟一与它对应)[一对一,多对一,A中元素无剩余]
第二节函数的定义域与值域
定义域:
x的取值范围值域:
y的取值范围
注意:
①分式(分母≠0)②根式(偶次方根被开方数≥0)
③真数>0④底数>0且≠1
⑤负(零)指数幂≠0
第三节函数的表示方法
解析法(表示法)、图像法、列表法
第四节分段函数
x的不同取值范围,有不同对应法则
第五节函数的基本性质
一、单调性
⑴增函数:
a.设函数f(x)的定义域为D,区间I∈D.如果对于区间I上任意两X1及X2,当X1<X2时,恒有f(X1) f”(x)≥0c.在分段函数里⑵减函数: 设函数f(x)的定义域为D,区间I∈D.如果对于区间I上任意两X1及X2,当X1 f”(x)≤0c.在分段函数里②奇偶性(对称性)→运用求定积分: ⑴偶函数: a.(前提)设函数f(x)的定义域D关于原点对称。 若任意x∈D,恒有f(-X)=f(X)→变形b.性质: Ⅰ.两个偶函数的和是偶函数Ⅱ.两个偶函数的乘积是偶函数Ⅲ.偶函数与奇函数的乘积是奇函数c.其图像关于y轴对称⑵奇函数: a.(前提)设函数f(x)的定义域D关于原点对称。 若任意x∈D,恒有f(-X)=-f(X)→变形b.性质: Ⅰ.两个奇函数的和是奇函数Ⅱ.两个奇函数的乘积是偶函数c.若在R上为奇函数,则f(0)=0d.其图像关于原点对称③周期性: (三角函数、余割函数、正割函数、余切函数): a.设函数f(x)的定义域为D,如果存在常数T>0,使得对一切x∈D,有(X±T)∈D,且f(X±T)=f(X)b.设函数f(x)是周期为T的周期函数,则函数f(ax+b)的周期为T/a④有界性(对于定义域中某个范围内而言的): 设函数f(x)的定义域为D,数集X包含于D,若存在一个正数M,使得对一切x∈X,恒有|f(x)|≤Md.运算与性质: ⑴定理1⑥最值: a.最小值: Ⅰ.定义: 对于在区间I上有定义的函数f(x),若存在x0∈I,使得对于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)Ⅱ.求导数: 先求极值,在定义域内端点值比较Ⅲ.分段函数b.最小值: 对于在区间I上有定义的函数f(x),若存在∈I,使得对于任一x∈I都有f(x)≥f(x0)Ⅱ.求导数: 先求极值,在定义Ⅲ.分段函数 集合映射圆锥曲线 ↖↑↗ {复数、虚数、实数}数系←函数→方程、数列、不等式 ↓ 基本初等函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数)、幂指函数、初等函数(由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合)、复合函数、多值函数(圆锥曲线)、隐函数(由方程F(x,y)=0来确定) 第三章初等函数 第三节指数函数 1.运算性质: ⑴根式: ①an根号n=a,n为奇数/|a|,n为偶数②负数没有偶次方根③0根号n=0④am/n=n根号am(a>0,m,n∈N*且n>1)⑤0的正分数指数幂为0,0的零的指数幂为1,0的负指数幂没有意义⑥Ⅰ.am·an=am+nⅡ.am/an=am-nⅢ.(am)n=am·nⅣ.(a·b)m=am·bmⅤ.(a/b)m=am/bmⅥ.(a+b)2=a2+2ab+b2Ⅶ.(a-b)2=a2-2ab+b2Ⅷ.(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3Ⅸ.(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3Ⅹ.a2-b2=(a+b)(a-b)Ⅺ.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)Ⅻ.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)XIII.an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-1) 指数函数y=ax(a>0且a≠1) (0 (a>1) x∈Ry∈(0,+∞) 过定点(0,1) 在R上是减函数 在R上是增函数 四、对数函数 1、运算: ⑴常用对数: 以10为底,记为lgN⑵自然对数: 以e=2.71828…为底,记为lnN⑶负数和零没有对数⑷loga1=0logaa=1logaab=balogaN=N⑸重点: ①loga(MN)=logaM+logaN②loga(M/N)=logaM-logaN③logaMn=nlogaM (前提: a>0,且a≠1,M>0,N>0才适用) ⑹换底公式: logab=(logcb)/(logca) 对数函数y=logax(a>0且a≠1) (0 (a>1) x∈(0,+∞)y∈R 过定点(1,0) 在x∈(0,+∞)上是减函数 在x∈(0,+∞)上是增函数 五、幂函数—y=kxα(k=1,α为常数) 探究的定义域,值域,奇偶性,单调性,公共点(见世纪金榜P23~24) 六、幂指函数: 函数f(x)=u(x)v(x)(u(x)>0)既不是幂函数,也不是指数函数 七、函数与方程 ⒈方程是函数图像上的某一点(如一次二元方程、二元一次方程) ⒉零点(即令f(x)=0时,x的取值)概念: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,函数在区间(a,b)内有零点。 求零点的程序框图: (理解记忆! ) 八、三角函数—(周期函数)—f(x+T)=f(x)(T为常数) ⒈任意角: ⑴正角: 按逆时针旋转⑵负角: 按顺时针旋转⑶零角: 一条射线没有旋转⑷所有与角α终点相同的角构成集合s={β|β=α+360。 k,k∈Z} ⒉弧度制: 角α的弧度数的绝对值为|α|=l/r(l是圆心角所对弧长) 1rad=(180/ )。 ≈57.30。 求扇形公式: ⑴l=α·R⑵s=1/2α·R2⑶s=(1/2)l·R 十一、极限(研究变量的变化趋势的基本工具)→连续、导数、定积分、无穷级数 ㈠极限概念的引入: 刘利用圆内接正多边形来推算圆的面积的方法—割圆术 ㈡数列极限(函数极限的特殊情况—自变量为正整数n的函数an=f(n)) ⒈数列: ⑴按一定次序排列的无穷多个数x1,x2,x3,…,xn,…⑵求通项公式的方法: ①遇到含sn与n的关系式: an={sn-sn-1(n≥2)或s1(n=1)} ②遇到递推公式: an与an-1(即前一项与后一项)的关系式 a.化归法: 递推关系为an+1=qan+b转化为an+1+a=q(an+a)看成等比数列 b.累加法: 形式: an-an-1=f(n) c.累乘法: 形式: an/an-1=f(n) d.先猜想通项公式,然后用数学归纳法证明 ⑶等差数列及其求和 1通项公式: an=am+(m-n)d(m为常数)→关于n的一次函数 2性质: am+an=ap+aq(m+n=p+q)2an-1=an+an-2 2.数列的极限: ⑴定义1: 设有数列{xn}与常数a,如果当n无限增大时,xn无限接近于a,则称常数a为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a(收敛数列),记为lim(n→∞)xn=a或xn→a(n→∞).[注: 如果一个数列没有极限,就称该数列是发散的。 ] ⑵定义2: 设有数列{xn}与常数a,若对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xn,不等式|xn-a|<ε都成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a(收敛数列),记为lim(n→∞)=a或xn→a(n→∞) ⑶收敛数列的有界性: 对数列{xn},若存在正数M,使对一切自然数n,恒有|xn|≤M,则称数列{xn}有界。 定理1收敛的数列必定有界。 推论1(逆否命题)无界数列必定发散。 ⑷极限的唯一性: 定理2收敛数列的极限是唯一的。 证明: (反证法)设lim(n→∞)xn=a,lim(n→∞)xn=b(a≠b),由定义,,使得当n>N1时,恒有|xn-a|<ε; 当n>N2时,恒有|xn-b|<ε.取N=max{N1,N2},则当n>N时有|a-b|=|(xn-b)-(xn-a)|≤|xn-b|+|xn-a|<ε+ε=2ε(与a≠b相矛盾)上式仅当a=b时才能成立,从而证得结论。 【注】: 有界数列不一定收敛。 【例】证明数列xn=(-1)n+1是发散的。 证明设lim(n→∞)xn=a,由定义,对于ε=1/2,∃N,使得当n>N时,恒有|xn-a|<1/2, 即当n>N时,xn∈{a-1/2,a+1/2},区间长度为1.而xn无休止地反复取1、-1两个数,不可能同时位于长度为1的区间内,矛盾。 因此,该数列是发散的。 ⑸收敛数列的保号性: 定理3若lim(n→∞)xn=a,且a>0(或a<0),则存在正整数N,使得当n>N时,恒有xn>0(或xn<0) 证明(证a>0的情形)由定义,对ε=(a/2)>0,存在正整数N,当n>N时,有|xn-a|a-a/2=a/2>0 推论2若数列{xn}从某一项起有xn≥0(或xn≤0),且lim(n→∞)xn=a,则a≥0(或a≤0) 证明证数列{xn}从第N1项起有xn≥0情形.(反证法) 若lim(n→∞)xn=a<0,则由定理3,∃正整数N2>0,当n>N2时,有xn<0.取N=max{N1,N2},当n>N时,有xn<0,但按假定有xn≤0矛盾。 故必有a≥0 ㈢函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限: 定义1设当|x|大于某一正数时函数f(x)有定义.如果对任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于满足不等式|x|>X的一切x,总有|f(x)-A|<ε,则称常数a为函数f(x)当x→∞时的极限,记作lim(x→∞)=A或A(x→∞). 定理1lim(x→∞)f(x)=A的充要条件是lim(x→+∞)f(x)=lim(x→-∞)f(x)=A 二、自变量趋向有限值时函数的极限: 定义2设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.若对任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得对于满足不等式0<|x-x0|<δ的一切x,恒有|f(x)-A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限.记作lim(x→x0)=A或f(x)→A(x→x0). 三、左、右极限: 当自变量x从x0的左侧(或右侧)趋于x0时,函数f(x)趋于常数A,则称A为f(x)在点x0处的左极限(或右极限),记为lim(x→x0-)f(x)=A(或lim(x→x0+)f(x)=A有时也记为lim(x→x0-0)f(x)=A(或lim(x→x0+0)f(x)=A,与f(x0-0)=A(或f(x0+0)=A. 定理2lim(x→x0)=A的充分必要条件为lim(x→x0-)f(x)=lim(x→x0+)f(x)=A 【例】设f(x)=(1-21/x)/(1+21/x),求lim(x→0)f(x) 解f(x)在x=0处没有定义,而(解法一)lim(x→x0+)f(x)=lim(x→0+)(2-1/x-1)/(2-1/x+1)=-1,lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(1-21/x)/(1+21/x)=1 (解法二)(运用洛必达法则)lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)-(ln2/x3)/(ln2/x3)=-1,lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)-(ln2/x3)/(ln2/x3)=1因为lim(x→0-)f(x)≠lim(x→0+)f(x),故lim(x→0)f(x)不存在. 四、函数极限的性质: 性质1(唯一性)若lim(x→x0)f(x)存在,则其极限是唯一的. 性质2(有界性)若lim(x→x0)f(x)=A,则存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)|≤M. 性质3(保号性)若lim(x→x0)f(x)=A,且A>0(或A<0),则存在常数δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0). 推论1(逆否命题)若lim(x→x0)f(x)=A,且在x0的某去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),则A≥0(或A≤0). *五、子序列的收敛性: 定义3设在过程x→a(a可以是x0,x0+或x0-)中有数列{xn}(xn≠a),使得n→∞时xn→a,则称数列{f(xn)}为函数f(x)当x→a时的子序列. 定理3若lim(x→x0)f(x)=A,数列{f(xn)}是f(x)当x→x0时的一个子序列,则有lim(n→∞)f(xn)=A(相当于求复合函数的极限). 证明因为lim(x→x0)f(x)=A,所以对任意ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,恒有 |f(x)-A|<ε.又因为lim(n→∞)xn=x0且xn≠x0,所以对上述δ>0,存在N>0,使当n>N时,恒有0<|xn-x0|<δ.从而有|f(xn)-A|<ε,故lim(n→∞)f(xn)=A 定理4函数极限存在的充要条件是它的任何子序列的极限都存在且相等. 【例】证明lim(x→0)sin(1/x)不存在. 证明取{xn}={1/(n∏)},{xn’}={1/[(4n+1)/2]},则 ㈣无穷小与无穷大 一、无穷小: 定义1极限为零的变量(函数)称为无穷小. 【注】: ⑴无穷小本质上是一个变量(函数): 在某过程(如x→x0或x→∞)中,该变量的绝对值能小于任意给定的正数ε.无穷小不能与很小的数(如千分之一)混淆.但零可以作为无穷小的唯一常数. ⑵无穷小是相对于x的某个变化过程而言的.例如,当x→∞时,1/x是无穷小;当x→2时,1/x不是无穷小. 定理1lim(x→x0)f(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+α,(α是当x→x0时的无穷小) 二、无穷小的运算性质: 定理2有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小. 三、无穷大: 定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),使得满足不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X)的一切x所对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小,记作lim(x→x0)f(x)=∞(或lim(x→∞)f(x)=∞) 【注】: (整体趋势)无穷大是无界函数,反之不一定成立。 例如,y=xsinx,当x=k∏时,y=0 四、无穷小与无穷大的关系: 定理4在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证明设lim(x→x0)f(x)=∞,则对任意给定的ε>0,使得当0<|x-x0|<δ时,恒有|f(x)|>1/ε,即|1/f(x)|<ε.所以当x→x0时,1/f(x)为无穷小. 反之,设im(x→x0)f(x)=0,且f(x)≠0,则对于任意给定的M>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,恒有|f(x)|>1/M,即|1/f(x)| ㈤极限运算法则: 定理1设limf(x)=A,limg(x)=B,则 ⑴lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x) ⑵limf(x)·g(x)]=A·B=limf(x)·limg(x) ⑶lim[f(x)/g(x)]=A/B=limf(x)/limg(x)(B≠0) 推论1如果limf(x)存在,而C为常数,则lim[Cf(x)]=Climf(x). 推论2如果imf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n. 定理2(复合函数的极限运算法则)⑴设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若lim(x→x0)g(x)=u0,lim(u→u0)f(u)=A,且存在δ0>0,当x∈U0(x0,δ0)时,有g(x)≠u0,则lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A. ⑵若lim(x→x0)φ(x)=a,u=φ(x),函数f(u)在点a处连续,则有lim(x→x0)f[φ(x)]=f(a)=f[lim(x→x0)φ(x)]. ㈥极限存在准则两个重要极限 一、夹逼准则: 准则Ⅰ如果数列{xn},{yn}及{zn}满足下列条件: ⑴yn≤xn≤zn(n=1,2,3,…), ⑵lim(n→∞)yn=a,lim(n→∞)zn=a,那么数列{xn}的极限存在,且lim(n→∞)xn=a. 准则Ⅰ’如果⑴当0<|x-x0|<δ(或|x|>M)时,有g(x)≤f(x)≤h(x); ⑵lim(x→x0)(x→∞)g(x)=A,lim(x→x0)(x→∞)g(x)=A. 那么,极限lim(x→x0)(x→∞)f(x)存在,且等于A. 二、单调有界准则: 定义1如果数列{xn}满足条件x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…, 则称数列{xn}是单调增加的;如果数列{xn}满足条件x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…, 准则Ⅱ单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限: 1.lim(x→0)sinx/x=1 证明由于sinx/x是偶函数,故只需讨论x→0+的情况. 作单位圆,设∠AOB=x(0 sinx=CB,x=弧AB,tanx=AD, 易见,三角形AOB的面积<扇形AOB的面积<三角形AOD的面积, 所以,(1/2)sinx<(1/2)x<(1/2)tanx,即sinx 由lim(x→0)cosx=1及准则Ⅰ,,即得lim(x→0)sinx/x=1 2.lim(x→∞)(1+1/x)x=e(未定式1∞)或lim(x→0)(1+x)1/x=e ㈦无穷小的比较 一、无穷小比较的概念: 定义1设α、β是在自变量变化的同一过程中的两个无穷小,且α≠0. ⑴如果limβ/α=0,则称β是比α高阶的无穷小,记作β=0(α). ⑵如果limβ/α=∞,则称β是比α低阶的无穷小. ⑶如果limβ/α=C(C≠0),则称β是比α同阶的无穷小;特别地,如果limβ/α=1,则称β是比α等价的无穷小,记作α~β. ⑷如果limβ/αk=C(C≠0,k>0),则称β是比α的k阶无穷小. 二、等价无穷小: sinx~xtanx~x arcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)x2 ln(1+x)~xex-1~xax-1~xlna(a>0) (1+x)α-1~αx(α≠0且为常数) 定理1设α,α,,β,β,是同一过程中的无穷小,且α~α,,β~β,,limβ,/ α,存在,则limβ/α=limβ,/α,. 定理2β与α是等价无穷小的充分必要条件是β=α+0(α). ㈧函数的连续与间断 一、函数的连续性: 定义1设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义.当自变量x处Δx(即x在这个领域内从x0变到x0+Δx)时,相应地,函数y=f(x)从f(x0)变到f(x0+Δx),则称Δy=f(x0+Δx)-f(x0)为函数y=f(x)的对应增量. 定义2设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义。 如果当自变量在点x0的增取得增量量Δx趋于零时,函数对应的增量Δy也趋于零,即lim(Δx→0)Δy=0或lim(Δx→0)f[(x0+Δx)-f(x0)]=0 定义3设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义。 如果函数f(x)当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值,即lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续. 二、左连续与右连续: 定理1函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处既左连续又右连续. 三、连续函数与连续区间: 如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点x=a处右连续,在右端点x=a处左连续,则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续. 【注】: 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 四、函数的间断点: 定义4如果函数f(x)在x0的某一空心领域内有定义,且f(x)在点x0处不连续,则称f(x)在点x0处间断,称点x0为f(x)的间断点. ⑴第一类间断点: 设点x0为f(x)的间断点,但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在Ⅰ.跳跃间断点: f(x0-0)≠f(x0+0) Ⅱ.可去间断点: lim(x→x0)f(x)=A≠f(x0)或f(x)在点x0处无定义 ⑵第二类间断点: f(x)在点处的左、右极限至少有一个不存在Ⅰ.无穷间断点: lim(x→x0)f(x)=∞振荡间断点: 在x→x0的过程中,f(x)无限振荡,极限不存在. ㈨连续函数的运算与性质 一、连续函数的算术运算: 定理1若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则Cf(x)(C为常数),f(x)±g(x),f(x)•g(x),f(x)/g(x)(g(x)≠0)在点处也连续. 定理2若lim(x→x0)φ(x)=a,u=φ(x),函数f(u)在点a处连续,则有lim(x→x0)f[φ(x)]=f(a)=f[lim(x→x0)φ(x)]. 定理3设函数u=φ(x)在点x0处连续,且φ(x0)=u0,而函数y=f(u)在点u=u0处连续,则复合函数f[φ(x)]在点处也连续 定理4基本初等函数在其定义域内是连续的 定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定理6(最大最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理7(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理8(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)•f(b)<0),则在区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少存在一点ξ(a<ξ 定理9(介值定理)设函数在闭区间上连续,且在该区间的端点有不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间内(a,b)至少一点ξ,使得f(ξ)=C(a<ξ 推论1在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 第五章导数与微分 第一节导数概念 一、导数的定义 定义1设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx(在点x0+Δ
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