工程数学作业实验03北工大软件学院.docx
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工程数学作业实验03北工大软件学院
2.非线性优化问题
(1)一家石油公司现有5000桶A类原油,和10000桶B类原油.公司销售两种石油产品:
汽油与民用燃料油。
两种产品是由A类原油和B类原油化合而成。
每种原油的质量指数如下:
A类原油为10,B类原油为5.汽油的质量指数至少为8,民用燃料油少为6。
每种产品的需求量与该产品的广告有关:
10元的广告费可以带来5桶的汽油需求量,或者是10桶民用燃料油的需求量。
汽油的售价是每桶250元,民用燃料油的售价为每桶200元.建立相应的数学模型帮助公司获得最大利润。
(假定没有其它类型的产品可以购买)。
(2)考虑问题
(1),并作如下修正:
假定我们添加称为SQ的化学添加剂来改善汽油和民用燃料油的质量指数。
如果在每桶汽油中添加x量的SQ,则汽油的质量指数将比原指数提高x0.5,如果在每桶民用燃料油中添加x量的SQ,则民用燃料油的质量指数将比原指数提高0.6x0.6。
.加到民用燃料油的SQ不能超过原体积的5%,类似地,加到汽油的SQ也不能超过原体积的5%。
SQ可以在市场上买到,其售价为每桶200元。
(3)考虑问题
(2),并作如下修改:
在购买400桶SQ后,每桶SQ的价格可以折扣100元。
注意:
(1)x桶的A类原油与y桶的B类原油混合,其质量指数为:
(2)汽油(或民用燃料油)的体积将随着SQ的添加而增加。
解:
(1)设x11、x12、x13为汽油加工所需要的A、B类原油与广告费的值,设x21、x22、x23为民用燃油所需要的A、B类原油与广告费的值。
相应的目标函数为总利润
Z=250*x13/10*5+200*x23/10*10-x13-x23=124*x13+199*x23
根据题意,约束条件分别为:
(10x11+5x12)/(x11+x12)≥8;
(10x21+5x22)/(x21+x22)≥6;
x11+x21≤5000;
x12+x22≤10000;
5*x13/10≤x11+x12;
10*x23/10≤x21+x22;
LINGO中程序:
max=124*x13+199*x23;
(10*x11+5*x12)/(x11+x12)>=8;
(10*x21+5*x22)/(x21+x22)>=6;
(10*x21+5*x22)/(x21+x22)<=8;
x11+x21<=5000;
x12+x22<=10000;
x11+x12>=0.5*x13;
x21+x22>=x23;
@GIN(x11);
@GIN(x12);
@GIN(x13);
@GIN(x21);
@GIN(x22);
@GIN(x23);
程序运行结果如下:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3230000.
Extendedsolversteps:
1
Totalsolveriterations:
38
VariableValueReducedCost
X1310000.00-124.0000
X2310000.00-199.0000
X113000.0000.000000
X122000.0000.000000
X212000.0000.000000
X228000.0000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13230000.1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
42.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
Y(11)8.0000000.000000
Y(12)11.000000.000000
Y(13)8.0000000.000000
Y(14)4.0000000.000000
Y(15)6.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
144.78049-1.000000
由以上可得最优的生产方案见下表:
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
总利润/元
汽油/桶
3000
2000
10000
3230000
民用燃油/桶
2000
8000
10000
(2)由题目中条件可令加入汽油中的添加剂SQ为x14桶,可令加入民用燃油中的添加剂SQ为x24桶,则可得新的目标函数为:
Z=250*x13/10*5+200*x23/10*10-x13-x23-200x14-200x24;
约束条件为:
x11+x21≤5000;
x12+x22≤10000;
(10*x11+5*x12)/(x11+x12+x14)+(x14/(x11+x12+x14))^0.5>=8;
(10x21+5x22)/(x21+x22+x24)+0.6*(x24/(x21+x22+x24))^0.6>=6;
x13/10*5≤x11+x12+x14;
x23/10*10≤x21+x22+x24;
x14≤(x11+x12)*5%;
x24≤(x21+x22)*5%;
LINGO中程序:
max=124*x13+199*x23-200*x14-200*x24;
(1+(x14/(x11+x12+x14))^0.5)*(10*x11+5*x12)/(x11+x12)>=8;
(1+0.6*(x24/(x21+x22+x24))^0.6)*(10*x21+5*x22)/(x21+x22)>=6;
x11+x21<=5000;
x12+x22<=10000;
x11+x12+x14>=0.5*x13;
x21+x22+x24>=x23;
0.05*x11+0.05*x12>=x14;
0.05*x21+0.05*x22>=x24;
@GIN(x11);
@GIN(x12);
@GIN(x13);
@GIN(x14);
@GIN(x21);
@GIN(x22);
@GIN(x23);
@GIN(x24);
程序运行结果如下:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3756000.
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
27
VariableValueReducedCost
X1331500.00-124.0000
X230.000000-199.0000
X14750.0000200.0000
X240.1426852E-07200.0000
X115000.0000.000000
X1210000.000.000000
X210.2853705E-060.000000
X220.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13756000.1.000000
20.12145260.000000
34.9656500.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.2996390E-060.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
可以得到新的生产方案:
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
SQ/桶
总利润/元
汽油/桶
5000
10000
31494
747
3755856
民用燃油/桶
0
0
0
0
(3)当x14+x24>400后可以得新的LINGO程序
LINGO中程序:
max=124*x13+199*x23-100*x14-100*x24;
(1+(x14/(x11+x12+x14))^0.5)*(10*x11+5*x12)/(x11+x12)>=8;
(1+0.6*(x24/(x21+x22+x24))^0.6)*(10*x21+5*x22)/(x21+x22)>=6;
x14+x24>400;
x11+x21<=5000;
x12+x22<=10000;
x11+x12+x14>=0.5*x13;
x21+x22+x24>=x23;
0.05*x11+0.05*x12>=x14;
0.05*x21+0.05*x22>=x24;
@GIN(x11);
@GIN(x12);
@GIN(x13);
@GIN(x14);
@GIN(x21);
@GIN(x22);
@GIN(x23);
@GIN(x24);
程序运行结果如下:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3831000.
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
29
VariableValueReducedCost
X1331500.00-124.0000
X230.000000-199.0000
X14750.0000100.0000
X240.000000100.0000
X115000.0000.000000
X1210000.000.000000
X210.1352903E-080.000000
X220.1298988E-070.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13831000.1.000000
20.12145260.000000
30.0000000.000000
4350.00000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.1505992E-070.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
由此可以得出新的生产方案:
原油类别
原油A/桶
原油B/桶
广告费/元
SQ/桶
总利润/元
汽油/桶
5000
10000
31500
750
3831000
民用燃油/桶
0
0
0
0
3.毛巾清洗服务问题
(1)某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗。
旅馆每天有600条脏毛巾要洗,清洗店定期上门来取这些脏毛巾,并换成洗好的干净毛巾。
洗衣店每次取送服务收取上门费81元,外加每条毛巾清洗费0.60元。
旅店每天存放一条脏毛巾的费用为0.02元,存放每条干净毛巾每天的费用是0.01元。
旅店该如何使用清洗店的送货上门服务呢?
(提示:
本题有两种物品,随着脏毛巾增多,干净毛巾以同样的速率减少。
)
(2)清洗一条脏毛巾的正常收费是0.60元,但如果旅馆给清洗店至少2500条大批毛巾清洗的话,清洗店清洗每条毛巾只收取0.50元.旅馆应该利用这项打折服务吗?
解:
(1)设每x天就有洗衣店来取毛巾,每次送的毛巾就是600x条,同时洗衣店取的也是600x,这样既可以满足正常的需求而且节约费用。
每次送毛巾需要要81元,洗毛巾的费用为600*x*0.6=360x元。
平均每天有脏毛巾600*x/2条,平均每天干净毛巾600*x/2条,所以每天的支出费用为:
Z=(81+600*x*0.6+0.02*600*x*x/2+0.01*600*x*x/2)/x;
LINGO中程序:
min=(81+600*x*0.6+0.02*600*x*x/2+0.01*600*x*x/2)/x;
x>=1;
@GIN(x);
程序运行结果如下:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
414.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
48
VariableValueReducedCost
X3.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1414.0000-1.000000
22.0000000.000000
由以上结果x=3天时,最小支出为每天为414元,酒店的毛巾数量就是3600条。
(2)由题意可知
费用Z1=(81+600*x*0.5+0.02*600*x*x/2+0.01*600*x*x/2)/x;
LINGO中程序:
min=(81+600*x*0.5+0.02*600*x*x/2+0.01*600*x*x/2)/x;
x>=1;
600*x>2500;
@GIN(x);
程序运行结果如下:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
361.2000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
20
VariableValueReducedCost
X5.0000005.759999
RowSlackorSurplusDualPrice
1361.2000-1.000000
24.0000000.000000
3500.00000.000000
第5天时,最低支出为361.2元。
这时,酒店的毛巾为6000条。
由于361.2<414,故应当采取这项打折服务。
4.经济订购与生产存储模型
某公司可自己生产某种产品,也可向某个合同商购买。
假如自产,则每次启动机器的成本为20元,生产速度为每天100个。
如果是向合同商购买,则每次订货费为15元。
不论自产还是购买,每件产品的库存费用都为每天0.02元。
公司对该产品的年使用量为26000个。
假定不允许出现缺货,公司是该购买还是该自己生产呢?
解:
设:
订货费Cd=15元/次
存储费Cp=0.02元/件·天*365天=7.3元/件
需求率:
D=26000件/年
建立最小库存费用模型公式:
TC=1/2*Cp*Q+Cd*D/Q
Q为库存数量,其公式为
Q=SQRT(2*Cd*D/Cp)
LINGO中程序:
D=26000;
C_P=7.3;
C_D=15;
Q=@SQRT(2*C_D*D/C_P);
min=1/2*C_P*Q+C_D*D/Q;
程序运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
2386.210
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
D26000.000.000000
C_P7.3000000.000000
C_D15.000000.000000
Q326.87810.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.000000-0.4588868E-01
20.000000-163.4390
30.000000-79.54038
40.000000-0.2726912E-05
52386.210-1.000000
由上可知,最小库存费2386.21元。
若自行生产,设:
订货费Cd=20元/次
存储费Cp=0.02元/件.天*365=7.3元/件.天
需求率:
D=26000件/年
TC=1/2*Cp*Q+Cd*D/Q
生产率P=36500个/年
LINGO中程序:
D=26000;
C_P=7.3;
C_D=20;
P=36500;
min=@SQRT(2*C_P*C_D*(1-D/p)*D);
程序运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1477.836
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
D26000.000.000000
C_P7.3000000.000000
C_D20.000000.000000
P36500.000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.0000000.4195323E-01
20.000000-101.2208
30.000000-36.94579
40.000000-0.5012882E-01
51477.836-1.000000
自己生产,从程序结果可知,最小库存费1477.836元。
通过比较,可知自行生产比外购合算。
3.3加分实验(选址问题)
某公司有6个建筑工地要开工,每个工地的位置(用平面坐标a,b表示,距离单位:
公里)及水泥日用量d(单位:
吨)由表3.2给出。
目前有两个临时料场位于P(5,1),Q(2,7),日储量各有20吨。
请回答以下两个问题:
表3.2工地的位置(a,b)及水泥日用量d
料场
1
2
3
4
5
6
a
1.25
8.75
0.5
5.75
3
7.25
b
1.25
0.75
4.75
5
6.5
7.75
d
3
5
4
7
6
11
(1)假设从料场到工地之间均有直线道路相连,试制定每天的供应计划,即从A,B两料场分别向各工地运送多少吨水泥,使总的吨公里数最小。
(2)为了进一步减少吨公里数,打算舍弃目前的两个临时料场,改建两个新的料场,日储量仍各为20吨,问应建在何处,与目前相比节省的吨公里数有多大。
解:
(1)令pi为位于P(5,1)的临时料场运到工地i的水泥量/吨,令q为位于Q(5,1)的临时料场运到工地i的水泥量/吨。
由以上题目可以得出下表:
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
P到工地i的距离/公里
3.7583
3.7583
5.8577
4.06971
5.8523
7.1151
Q到工地i的距离/公里
5.7987
9.1992
2.7042
4.25
1.118
5.3033
由P运到工地i的水泥量/吨
p1
p2
p3
p4
p5
p6
由Q运到工地i的水泥量/吨
q1
q2
q3
q4
q5
q6
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
由此可以得出目标函数为;
Z=3.7583p1+3.7583P2+5.8577p3+4.06971p4+5.8523p5+7.1151p5+7.1151p6+5.7987q1+9.1992q2+2.7042q3+4.25q4+1.1180q5+5.3033q6;
P1+p2+p3+p4+p5+p6≤20;
q+q2+q3+q4+q5+q6≤20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
LINGO中程序:
min=3.7583*p1+3.7583*p2+5.8577*p3+4.06971*p4+5.8523*p5+7.1151*p6+5.7987*q1+9.1992*q2+2.7042*q3+4.25*q4+1.118*q5+5.3033*q6;
p1+p2+p3+p4+p5+p6<=20;
q1+q2+q3+q4+q5+q6<=20;
p1+q1=3;
p2+q2=5;
p3+q3=4;
p4+q4=7;
p5+q5=6;
p6+q6=11;
程序运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
136.2273
Totalsolveriterations:
1
VariableValueReducedCost
P13.0000000.000000
P25.0000000.000000
P30.0000001.341700
P47.0000000.000000
P50.0000002.922500
P61.0000000.000000
Q10.0000003.852200
Q20.0000007.252700
Q34.0000000.000000
Q40.0000001.992090
Q56.0000000.000000
Q610.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1136.2273-1.000000
24.0000000.000000
30.0000001.811800
40.000000-3.758300
50.000000-3.758300
60.000000-4.516000
70.000000-4.069710
80.000000-2.929800
90.000000-7.115100
可以得出如下的生产规划:
项目规划
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
i=6
由P运到工地i的水泥量/吨
3
5
0
7
0
1
由Q运到工地i的水泥量/吨
0
0
4
0
6
10
工地i需要的水泥量/吨
3
5
4
7
6
11
总的吨公里为
136.2273
(2)由题目令新的临时料场为P(x1,y1),Q(x2,y2),则可以得到新的目标函数Z1=((x1-1.25)^2+(y1-1.25)^2)^0.5*p1+((x1-8.75)^2+(y1-0.75)^2)^0.5*p2+((x1-0.5)^2+(y1-4.75)^2)^0.5*p3+((x1-5.75)^2+(y1-5)^2)^0.5*p4+((x1-3)^2+(y1-6.5)^2)^0.5*p5+((x1-7.25)^2+(y1-7.75)^2)^0.5*p6+((x2-1.25)^2+(y2-1.25)^2)^0.5*q1+((x2-8.75)^2+(y2-0.75)^2)^0.5*q2+((x2-0.5)^2+(y2-4.75)^2)^0.5*q3+((x2-5.75)^2+(y2-5)^2)^0.5*q4+((x2-3)^2+(y2-6.5)^2)^0.5*q5+((x2-7.25)^2+(y2-7.75)^2)^0.5*q6;
LINGO中程序:
min=((x1-1.25)^2+(y1-1.25)^2)^0.5*p1+((x1-8
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