辅助线在中考中的应用专题.ppt
- 文档编号:10464248
- 上传时间:2023-05-26
- 格式:PPT
- 页数:74
- 大小:1.10MB
辅助线在中考中的应用专题.ppt
《辅助线在中考中的应用专题.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《辅助线在中考中的应用专题.ppt(74页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
辅助线在中考中的应用专题,三角形中的辅助线,三角形一章是同学们学习几何证明的基础.在学习过程中,有些同学常常对几何证明题辅助线的添加方法显得束手无策,下面我们就来一起探究三角形中常见辅助线的作法.,人说几何很困难,难点就在辅助线.辅助线,如何添?
把握定理和概念.还要刻苦加钻研,找出规律凭经验.图中有角平分线,可向两边作垂线.也可将图对折看,对称以后关系现.,角平分线平行线,等腰三角形来添.角平分线加垂线,三线合一试试看.线段垂直平分线,常向两端把线连.要证线段倍与半,延长缩短可试验.三角形中有中线,延长中线等中线.,1.三角形中的性质:
(1)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
(2)三角形的三内角之和为180度;(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.,2.三角形中的线:
中线;高线;角平分线;中垂线.,
(1)等腰三角形;
(2)等边三角形;(3)直角三角形;(4)等腰直角三角形.,3.特殊的三角形:
1.中线倍长法,2.截长补短法,3.角平分线构造全等法,4.垂直平分线,5.补形法,常用辅助线,连接已知点,构造全等三角形,典例1:
如图,AB=AD,BC=DC,求证:
B=D.,A,C,B,D,1.连结AC,构造全等三角形,2.连结BD,构造两个等腰三角形,典例2:
如图,AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,求证:
点M是CD的中点.,A,C,B,D,连结AC、AD,构造全等三角形,E,M,连接已知点,构造全等三角形,连接已知点,构造全等三角形,典例3:
如图,AB=AC,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点,求证:
AMBANC,A,C,B,D,连结AD,构造全等三角形,N,M,典例4:
如图,AB与CD交于O,且AB=CD,AD=BC,OB=5cm,求OD的长.,A,C,B,D,连结BD,构造全等三角形,O,连接已知点,构造全等三角形,典例1:
如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB,构造了:
全等的直角三角形且距离相等,A,C,D,B,E,角平分线上向两边作垂线段,典例2:
如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分BAC,求证:
AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:
全等的直角三角形且距离相等,B,E,角平分线上向两边作垂线段,典例3:
如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:
BC=AB+CD.,过点E作EFBC,构造了:
全等的直角三角形且距离相等,思考:
你从本题中还能得到哪些结论?
A,C,D,B,F,E,角平分线上向两边作垂线段,2.如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:
BC=AB+CD.,延长BE和CD交于点F,构造了:
全等的直角三角形,F,思考:
你从本题中还能得到哪些结论?
A,C,D,B,E,角平分线上向两边作垂线段,1,2,1,2,典例4:
如图,OC平分AOB,DOE+DPE=180o,求证:
PD=PE.,A,C,D,过点P作PFOA,PGOB,构造了:
全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:
你从本题中还能得到哪些结论?
E,P,G,O,角平分线上向两边作垂线段,1.AD是ABC的中线,,A,B,C,D,E,延长AD到点E,使DE=AE,连结CE.,中线倍长,已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。
已知ABC中,AB=8,AC=6,连BC上的中线AD=5,求BC的长,如图,ABC中,A=90o,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,B,A,C,D,E,AD+AE+DE=,BD+CE+DE=,BC,垂直平分线两边连,3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1A2=6cm,求ABC的周长.,B,A,C,O,M,AB+AC+BC=,A1B+A2C+BC=,A1A2,A1,A2,N,垂直平分线两边连,4.如图,ABC中,MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,ABM周长为13cm,求ABC的周长.,B,A,C,M,AB+BC+AC=,AB+BM+MC+6=,N,AB+BM+AM+6=,13+6=19,垂直平分线两边连,5.如图,ABC中,BP、CP是ABC的角平分线,MN/BC.若BC=6cm,AMN周长为13cm,求ABC的周长.,B,A,C,P,AB+AC+BC=,AM+BM+AN+NC+6=,N,AM+MP+AN+NP+6=,13+6=19,M,AM+AN+MN+6=,等腰三角形性质,例4.如图,BCAB,BD平分ABC,且AD=DC,求证AC=180.,分析:
我们要证AC=180.设法将A和C“搬”到一块,拼成一个平角,现有以下几种方式.,又BEDDEC=180,故AC=180.,证法1:
如图在BC上截取BE=AB,连DE,可证ABDEBD.,得到DE=AD=DC,A=DEB,C=DEC,证法2:
如图延长BA至F,使BF=BC连接DF.则有BDFBDC,得CD=DF=AD,C=F.由BAF为平角可证结论成立.,证法3:
如图,过D分别作ABC的两边的垂线,E、F为垂足,则DE=DF,易证ADFCDE,有C=DAF,故BADC=180.,证法4:
如图,过A作BD垂线交BC于G,交BD于H,连DC,易证ABHGBH,则AB=BG,AH=HG,根据等腰三角形的“三线合一”,知DG=AD=DC.ABDGBD,,BAD=BGD,故BADC=180.,点评:
1.四种证法都利用了“拼”的方法,所不同的是有截取、延长、作垂线等方法.2.前三种方法是利用构造全等三角形和等腰三角形作转化,第四种方法是反复运用等腰三角形的性质进行转化,这些方法具有代表性.3.几何证题中要学会转化思想,它是一种常用的数学思想方法,必须熟练掌握.,1.已知:
BC平分EBD,AFBC,F是ED的中点.求证:
EG=AD,分析:
有中线且证明两线段相等,一般延长构造全等三角形.,延长GF到H使FG=HF,连接DH.,证明:
延长GF到H使FG=HF,连接DH.,EG=DH,2.在等腰三角形ABC的底边BC上取任意一点D,过点D作DEAB,DFAC.过点B作AC边上的高BG.求证:
等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.,分析:
如图所示要证两线段之和等于第三边要么截长要么补短两种方法都行.由题意三条线段都是高线也可用面积相等来做.,DE+DF=BG,方法一:
(截长法),H,过D做DHBG交BG于H.,则DF=GH,BDEDBH得BH=DE,DE+DF=BG,方法二:
(补短法),延长FD,过B做BHFD交FD于H.,则HF=GB,BDEDBH得DH=DE,H,方法三:
(等积法)连接AD,3.已知如下图示:
D、E为ABC内两点,求证:
ABACBDDECE.,分析:
本题求证几边之和大于另外几边之和的问题,通常构造三角形,利用两边之和大于第三边,从而求解.有两种方法.,证明:
(法一)将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在AMN中,AMANMDDENE;
(1),在BDM中,MBMDBD;
(2),在CEN中,CNNECE;(3),由
(1)
(2)(3)得:
AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE,ABACBDDEEC,法二:
如右图,延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在ABF和GFC和GDE中有:
ABAFBDDGGF(三角形两边之和大于第三边)
(1),GFFCGECE(同上)
(2),DGGEDE(同上)(3),由
(1)
(2)(3)得:
ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE,ABACBDDEEC.,4.如图:
已知D为ABC内的任一点,求证:
BDCBAC.,分析:
要证明两角的大小,尽量把这两角向一个三角形中转化,利用大角对大边;如果不行可以利用三角形的外角定理;也可以放缩.,同理DECBAC,证法一:
延长BD交AC于点E,这时BDC是EDC的外角,BDCBAC,BDCDEC,即:
BDCBAC.,证法二:
连接AD,并延长交BC于F,BDF是ABD的外角BDFBAD,,同理,CDFCAD,BDFCDFBADCAD,5.已知ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如下图,求证EF2AD.,分析:
本题要证倍半需延长短的线段.,延长AD到G使DG=AD,连接BG,证明:
延长AD到G使DG=AD,连接BG.可证BGDCAD,23,BG=AC,ABE和ACF是等腰直角三角形.BAE=CAF=90,AB=AE,AC=AF.,EAF=360-90-90-(1+2)=180-(1+2),EF=AG=2AD,3,在ABG中ABG=180-(1+3)ABG=EAF,可证EAFABG(SAS),6.如图:
已知ACBD,ADAC于A,BCBD于B,求证:
ADBC,分析:
要证两线段的长相等,需要构造全等三角形,利用全等三角形对应边相等即可.,可分别延长DA,CB,交于E点,证明:
(方法一)分别延长DA,CB,交于E点,ADACBCBD(已知)CAEDBE90(垂直的定义),EDEAECEB即:
ADBC.,在DBE与CAE中,DBECAE(AAS),EDECEBEA(全等三角形对应边相等),证明:
(方法二)在ADC与BCD中ADACBCBD(已知),BD=AC,DC(共用),ADCBCD(HL),ADBC(全等三角形对应边相等),CADDBC90(垂直的定义),7.已知:
如图,AC、BD相交于O点,且ABDC,ACBD,求证:
AD.,分析:
由图知是“又字”形轴对称图形,要证两角相等要么构造等腰三角形;要么构造全等.,AD(全等三角形对应边相等),证明:
连接BC,在ABC和DCB中,ABCDCB(SSS),8.在ABC中,ADBC,CADBAD,求证:
ACAB,分析:
要证ACAB只需利用大边对大角.,方法二:
在DC上截取DE=BD,方法一:
可直接证明BC,证明:
(方法二)在DC上截取DE=BD,连接AE,则可证明ABDADE,ACAB,BAED,AEDC,AECB,AECC,特殊四边形,夯实基础步步为营,四边形,平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形问题巧转换,变为三角或平四。
平移腰,移对角,两腰延长作出高。
如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
特殊四边形,1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.求证:
OE与AD互相平分.,一、与平行四边形有关的辅助线作法,证四边形AODE为平行四边形,特殊四边形,2利用两组对边平行构造平行四边形例2如图,在ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED/AC,FG/AC交BC分别为D,G.求证:
ED+FG=AC.,特殊四边形,3利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图,已知AD是ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:
BF=AC.,特殊四边形,和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线和作高,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图,在ABC中,ACB=90,BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF/BC交AD于点F,求证:
四边形CDEF是菱形.,二、和菱形有关的辅助线的作法,对角线互相垂直且平分,特殊四边形,例5如图,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证:
EF+BF的最小值等于DE长.,二、和菱形有关的辅助线的作法,特殊四边形,和矩形有关的题型一般有两种:
(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;
(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.,三、与矩形有辅助线作法,例6如图,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长.,特殊四边形,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图,过正方形ABCD的顶点B作BE/AC,且AE=AC,又CF/AE.求证:
BCF=AEB,四、与正方形有关辅助线的作法,AHBO为正方形,AEB=30O,BCF=15O,旋转,例正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求EAF的度数,特殊四边形,和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:
(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;
(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;(4)延长两腰构成三角形;(5)作两腰的平行线等.,五、与梯形有关的辅助线的作法,特殊四边形,例8已知,如图,在梯形ABCD中,AD/BC,AB=AC,BAC=90,BD=BC,BD交AC于点0.求证:
CO=CD.,作双高,BDC=COD=75O,作高,特殊四边形,例9如图,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,ACBD,AD+BC=10,DEBC于E.求DE的长.,平移一条对角线,5,利用三角形中位线,特殊四边形,例10如图,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0,AC=BD,E、F分别是AB、CD中点,EF分别交AC、BD于点H、G.求证:
OG=OH.,平移一腰例如图所示,在直角梯形ABCD中,A90,ABDC,AD15,AB16,BC17.求CD的长。
平移两腰,如图,在梯形ABCD中,AD/BC,BC=90,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。
分析:
利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。
已知:
梯形ABCD中,AD/BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。
分析:
通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。
在梯形ABCD中,AD为上底,ABCD,求证:
BDAC。
分析:
作梯形双高利用勾股定理关系可得。
(1)如图,在梯形ABCD中,AD/BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:
EF/AD,分析:
联DF并延长,利用全等即得中位线。
(2)在梯形ABCD中,ADBC,BAD=90,E是DC上的中点,连接AE和BE,求证AEB=2CBE。
分析:
在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
丰收园,通过这次课的学习,你又增加了哪些收获?
能与大家一起分享吗?
谢谢大家!
巧求三角形中线段的比值,例1.如图1,在ABC中,BD:
DC1:
3,AE:
ED2:
3,求AF:
FC。
解:
过点D作DG/AC,交BF于点G所以DG:
FCBD:
BC因为BD:
DC1:
3所以BD:
BC1:
4即DG:
FC1:
4,FC4DG因为DG:
AFDE:
AE又因为AE:
ED2:
3所以DG:
AF3:
2,例2.如图2,BCCD,AFFC,求EF:
FD,解:
过点C作CG/DE交AB于点G,则有EF:
GCAF:
AC因为AFFC所以AF:
AC1:
2即EF:
GC1:
2,因为CG:
DEBC:
BD又因为BCCD所以BC:
BD1:
2CG:
DE1:
2即DE2G,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 辅助线 中考 中的 应用 专题
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)