将军饮马问题的11个模型与例题.docx
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将军饮马问题的11个模型与例题
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短.
基本模型
1.
已知:
如图,定点A、B分布在定直线l两侧;
要求:
在直线l上找一点P,使PA+PB的值最小
解:
连接AB交直线l于点P,点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由:
在l上任取异于点P的一点P′,连接AP′、BP′,
在△ABP’中,AP′+BP′>AB,即AP′+BP′>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时,PA+PB最小.
2.
已知:
如图,定点A和定点B在定直线l的同侧
要求:
在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小
(或△ABP的周长最小)
解:
作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,
点P即为所求;
理由:
根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线,
由中垂线的性质得:
PA=PA′,要使PA+PB最小,则
需PA′+PB值最小,从而转化为模型1.
3.
已知:
如图,定点A、B分布在定直线l的同侧(A、B两
点到l的距离不相等)
要求:
在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大
解:
连接BA并延长,交直线l于点P,点P即为所求;理由:
此时︱PA-PB︱=AB,在l上任取异于点P的一点P′,
连接AP′、BP′,由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 4. 已知: 如图,定点A、B分布在定直线l的两侧(A、B两 点到l的距离不相等) 要求: 在直线l上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大 解: 作点B关于直线l 的对称点B′,连接B′A并延长交 于点P,点P即为所求; 理由: 根据对称的性质知 l为线段BB′的中垂线,由中垂 线的性质得: PB=PB′,要使︱PA-PB︱最大,则需 ︱PA-PB′︱值最大,从而转化为模型3. 典型例题1-1 如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分 别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时, 点P的坐标为_________,此时PC+PD的最小值为_________. 【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D',连 接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为△CDD'的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;PC+PD的最小值即CD'长,可用勾股定理 (或两点之间的距离公式,实质相同)计算. 【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴 于点P,此时PC+PD值最小.令y=x+4中x=0,则y=4, ∴点B坐标(0,4);令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得: x=﹣6,∴点A的坐标 为(﹣6,0).∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,∴CD为△BAO的中位线, ∴CD∥x轴,且CD=12AO=3, ∵点D′和点D关于x轴对称,∴O为DD′的中点, D′(0,-1),∴OP为△CDD′的中位线,∴OP=12CD=32, ∴点P的坐标为(﹣,0).在Rt△CDD′中, CD′=CD2DD2=3242=5,即PC+PD的最小值为5. 【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标;若题型变 化,C、D不是AB和OB中点时,则先求直线CD′的解析式,再求其与x轴的交点P的坐标. 典型例题1-2 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,1),点B 的坐标为(,﹣2),点P在直线y=﹣x上运动,当|PA﹣PB|最 大时点P的坐标为_________,|PA﹣PB|的最大值是_________. 【分析】符合基本模型4的特征,作A关于直线y=﹣x对称点C, 连接BC,可得直线BC的方程;求得BC与直线y=﹣x的交点P的坐标;此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值, 再用两点之间的距离公式求此最大值. 【解答】作A关于直线y=﹣x对称点C,易得C的坐标为(﹣1,0);连接BC,可得直线BC 的方程为y=﹣54x﹣54,与直线y=﹣x 联立解得交点坐标 P为(4,﹣4);此时|PA ﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值,最大值 BC=(231)2 (2)2 =241; 【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2和4,需作一次对称点,连线得交点. 变式训练1-1 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0), OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短 时,点P的坐标为() A.(0,0)B.(1,)C.(,)D.(,) 变式训练1-2 如图,菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,AC=2, BD=2,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为__________. 变式训练1-3 如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标. 拓展模型 1. 已知: 如图, A为锐角∠MON外一定点; 要求: 在射线 OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使 AP+PQ的值最小. 解: 过点A作AQ⊥ON于点Q,AQ与OM相交于点P,此 时,AP+PQ最小; 理由: AP+PQ≧AQ,当且仅当A、P、Q三点共线时, AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短,当 AQ⊥ON时,AQ最小. 2. 已知: 如图, A为锐角∠MON内一定点; 要求: 在射线 OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使 AP+PQ的值最小. 解: 作点A关于OM的对称点A′,过点A′作AQ⊥ON 于点Q,A′Q交OM于点P,此时AP+PQ最小; 理由: 由轴对称的性质知AP=A′P,要使AP+PQ最小, 只需A′P+PQ最小,从而转化为拓展模型1 3. 已知: 如图, A为锐角∠MON内一定点; 要求: 在射线 OM上找一点P,在射线ON上找一点Q,使 △APQ的周长最小 解: 分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对 称点A2,连接A1A2交OM于点P,交ON于点Q,点 P和点Q即为所求,此时△ APQ周长最小,最小值 即为线段A1A2的长度; 理由: 由轴对称的性质知 AP=AP,AQ=AQ,△APQ的周 1 2 长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q,当A1、P、Q、A2四点共线时,其值最小. 4.已知: 如图,A、B为锐角∠MON内两个定点; 要求: 在OM上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形 APQB的周长最小 解: 作点A关于直线OM的对称点A′,作点B关于直线 ON的对称点B′,连接A′B′交OM于P,交ON于Q, 则点P、点Q即为所求,此时四边形APQB周长的 最小值即为线段AB和A′B′的长度之和; 理由: AB长为定值,由基本模型将PA转化为PA′,将 QB转化为QB′,当A′、P、Q、B′四点共线时, PA′+PQ+QB′的值最小,即PA+PQ+QB的值最小. 5.搭桥模型已知: 如图,直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定 点,(直线AB不与m垂直) 要求: 在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小. 分析: PQ为定值,只需AP+BQ最小,可通过平移,使 P、Q“接头”,转化为基本模型 解: 如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至 点A′,使得AA′=PQ,连接A′B交直线n于点 Q,过点Q作PQ⊥n,交直线m于点P,线段PQ即 为所求,此时AP+PQ+BQ最小. 理由: 易知四边形QPAA′为平行四边形,则QA′=PA, 当B、Q、A′三点共线时,QA′+BQ最小,即 AP+BQ最小,PQ长为定值,此时AP+PQ+BQ最小. 6.已知: 如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a (a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边) 要求: 确定PQ的位置,使得AP+PQ+QB最小 分析: PQ为定值,只需AP+QB的值最小,可通过平移, 使P、Q“接头”,转化为基本模型 解: 将点A沿着平行于l的方向,向右移至A′,使 AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q,在l上截取 PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时 AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ,即A′B+a 理由: 易知四边形APQA′为平行四边形,则PA=QA′, 当A′、Q、B三点共线时,QA′+QB最小,即PA+QB 最小,又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小. 7.已知: 如图,定点A、B分布于直线l的同侧,长度a (a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边) 要求: 确定PQ的位置,使得四边形APQB周长最小 分析: AB长度确定,只需AP+PQ+QB最小,通过作A点 关于l的对称点,转化为上述模型3 解: 作A点关于l的对称点A′,将点A′沿着平行于l 的方向,向右移至A′′,使A′A′′=PQ=a,连接A′B 交l于Q,在l上截取QP=a(P在Q左边),线段 PQ即为所求,此时四边形APQB周长的最小值为 A′B+AB+PQ,即A′′B+AB+a 典型例题2-1 如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,若点M、N分别是线段AC、 AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为. 【分析】符合拓展模型2的特征,作点B关于AC的对称点E,再过 点E作AB的垂线段,该垂线段的长即BM+MN的最小值,借 助等面积法和相似可求其长度. 【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作EN⊥AB于N,则BM+MN=EM+MN, 其最小值即EN长;∵AB=10,BC=5, ∴AC=AB2BC2=55, 等面积法求得AC边上的高为105=25,∴BE=45, 55 易知△ABC∽△ENB,∴,代入数据解得EN=8. 即BM+MN的最小值为8. 【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;可作 定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的对称点易解. 典型例题2-2 如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=,点M、N分别 是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是() A.B.C.6D.3 【分析】符合拓展模型3的特征;作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交 OA、OB于 M、N,此时△ PMN周长最小,其值为 CD长;根据对称性连接 OC、OD, 分析条件知△ OCD是顶角为 120°的等腰三角形,作底边上高,易求底边 CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图, 则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC, ∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于H, 则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=OC=, CH=OH=,∴CD=2CH=3. 即△PMN周长的最小值是3; 故选: D. 【小结】根据对称的性质,发现△OCD是顶角为120°的 等腰三角形,是解题的关键,也是难点. 典型例题2-3 如图,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线 为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′关于x轴对称,连接BP、E′M. (1)请直接写出点A坐标为,点B坐标为; (2)当BP+PM+ME′的长度最小时,请求出点P的坐标. 【分析】 (1)解直角三角形求出OD,BD的长即可解决; (2)符合“搭桥模型”的特征;首先证明四边形OPME′是平行四边形,可得OP=EM,PM是定值,PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,此时P点为 直线 OB与 EF的交点,结合 OB的解析式可得 P点坐标; 【解答】 (1)在Rt△ADO中,∵∠A=60°,AD=2, ∴OD=2? tan60°=2,∴A(﹣2,2), ∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB=OC=6, DB=62=4B42 (2)如图,连接OP.∵EF垂直平分线段OD,PM⊥OC, ∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,∴四边形OMPE是矩形,∴PM=OE=,∵OE=OE′,∴PM=OE′,PM∥OE′,∴四边形OPME′是平行四边形, ∴OP=EM,∵PM是定值,∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小, ∴当O、P、B共线时,BP+PM+ME′的长度最小,∵直线OB的解析式为y=x, ∴P(2,). 【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值,一般通过作对称和平移(构造平行四边 形)的方法,转化为基本模型. 典型例题2-4 如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(﹣2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD. (1)求C、D两点的坐标; (2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式; (3)在 (2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F 的上方),且EF=1,使四边形ACEF的周长最小,求出E、 F两点的坐标. 【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的 解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标. 【解答】 (1)由旋转的性质可知: OC=OA=2,OD=OB=4,∴C点的坐 标是(0,2),D点的坐标是(4,0), (2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 4a-2b+c=0 由题意,得16a+4b+c=0 c=4 解得a=-,b=1,c=4, ∴所求抛物线的解析式为y=-2; (3)只需AF+CE最短,抛物线y=-2的对称轴为x=1, 将点A向上平移至A1(﹣2,1),则AF=A1E,作A1关于对称轴x=1的对称点 A2(4,1),连接A2C,A2C与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2C的解析式 为y=-,当x=1时,y=,∴点E的坐标为(1,),点F的坐标为(1,). 【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;其中,作对称和平移的顺序可互换. 变式训练2-1 几何模型: 条件: 如图1,A,B是直线l同旁的两个定点. 问题: 在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小. 方法: 作点A关于直线l的对称点A’,连接A’B交l于点P,即为所求.(不必证明) 模型应用: (1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,﹣1)和B(2,﹣1),P为x轴上一动 点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB=. (2)如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小 值是. (3)如图4,在菱形ABCD中,AB=10,∠DAB=60°,P是对角线AC上一动点,E,F分别 是线段 AB和 BC上的动点,则 PE+PF的最小值是 . (4)如图5,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点 AG,AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是 G是边 . CD边的中点,点 E.F分别是 变式训练2-2 如图,矩形ABCD中,AD=15,AB=10,E为AB边上一点,且DE=2AE,连接CE与对角线BD交于F;若P、Q分别为AB边 和BC边上的动点,连接EP、PQ和QF;则四边形EPQF周长的最小值是___________. 变式训练2-3 如图,已知直线l ∥l ,l、l 2 之间的距离为 8,点P到直线l 的 1 2 1 1 距 离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ=. 变式训练2-4 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在 x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺 时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F. (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)当BE经过 (1)中抛物线的顶点时,求CF的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标. 中考真题 1.要在街道旁建奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、B到它的 距离之和最短? 小聪以街道为x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,A点坐标为(0, 3),B点坐标为(6,5),则A、B两点到奶站距离之和的最小值是. 2.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(﹣4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ ADE的周长最小时,点E的坐标是() A.(0, ) B.(0, ) C.(0,2) D.(0, ) 3.如图,在矩形 ABCD中,AB=5,AD=3,动点 P满足 S△PAB=1S矩形ABCD,则点 P到 A、B两点距 3 离之和 PA+PB的最小值为( ) A. B. C.5 D. 4.已知抛物线 y= x2+1具有如下性质: 该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等,如图,点 M的坐标为( ,3),P是抛物线 y= x2+1上一个动点, 则△PMF周长的最小值是( ) A.3B.4 C.5 D.6 5.如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=上,点C,D,分别是x轴,y轴上的动点, 则四边形ABCD周长的最小值为() A.B.C. D. 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点,则AE+DE 的最小值为() A.B.C.5D. 7.如图,Rt△ABC中,∠ BAC=90°,AB=3,AC=6 ,点 D,E分别是边 BC,AC上的动点, 则DA+DE的最小值为 . 8.如图,等腰△ABC的底边BC=20,面积为120,点F在边BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的 垂直平分线,若点D在 EG上运动,则△ CDF周长的最小值为 . 9.如图,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是 上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是( BC边的一个三等分点, ) P是对角线 AC A.B.C.D. 10. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点,E,F分 别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为( ) A. B. C. D.6 11. 如图,在平面直角坐标系中, 反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB,BC分别相交于M,N两点.△OMN的面积为 10.若动点P在x轴上,则PM+PN 的最小值是( ) A.6B.10C.2D.2 12.如图,△ABC中,AC=BC=2,AB=1,将它沿AB翻折得到△ABD,则四边形ADBC 的形状是形,P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点,则PE+PF 的最小值是. 13.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点, 连接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0). (1)求此抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出这个最大值; (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴 于点Q,问: 是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC 相似? 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说 明理由. 14.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD. (1)用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在 (1)的条件下, ①证明: AE⊥DE; ②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值. 15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标; (2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限,当 (3)在 (2)问的条件下,过点C作直线l∥x轴,动点 S△NBC=S△ABC时,求N点的坐标; P(m,3)在直线l上,动点Q(m, 0)在x轴上,连接PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小,并求出P
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