精选浙江专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96双曲线教师用书.docx
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精选浙江专用版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96双曲线教师用书
(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书
1.双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:
坐标轴对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为+=1(mn<0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ )
(5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
1.(教材改编)若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.B.5
C.D.2
答案 A
解析 由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2.
∴e2==5,∴e=.
2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A.B.2C.4D.8
答案 C
解析 设C:
-=1.
∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4,得A(-4,),B(-4,-),
∴|AB|=2=4,
∴a=2,∴2a=4.
∴C的实轴长为4.
3.(2015·安徽)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-=1B.-y2=1
C.-x2=1D.y2-=1
答案 C
解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D项双曲线焦点均在y轴上,但D项渐近线为y=±x,只有C符合,故选C.
4.(2016·浙江)设双曲线x2-=1的左,右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.
答案 (2,8)
解析 由已知a=1,b=,c=2,则e==2,
设P(x,y)是双曲线上任一点,
由对称性不妨设P在右支上,
则1 又∠F1PF2为锐角,则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2, 即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>, 所以 题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程 例1 已知圆C1: (x+3)2+y2=1和圆C2: (x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________. 答案 x2-=1(x≤-1) 解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|= |MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)虚轴长为12,离心率为; (2)焦距为26,且经过点M(0,12); (3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 -=1或-=1(a>0,b>0). 由题意知,2b=12,e==. ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为-=1或-=1. (2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12. 又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. ∴双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0). ∴解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 命题点3 利用定义解决焦点三角形问题 例3 已知F1,F2为双曲线C: x2-y2=2的左,右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________. 答案 解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2| =|PF2|=2a=2, ∴|PF1|=2|PF2|=4, 则cos∠F1PF2= ==. 引申探究 1.本例中若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2, 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= =,所以|PF1|·|PF2|=8, 所以 =|PF1|·|PF2|sin60°=2. 2.本例中若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“·=0”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2, 由于·=0,所以⊥, 所以在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2=16, 所以|PF1|·|PF2|=4, 所以 =|PF1|·|PF2|=2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程; (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可. (1)已知F1,F2为双曲线-=1的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为( ) A.+4B.-4 C.-2D.+2 (2)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A.B. C.D.3 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由题意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a, 要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值, 当A,P,F1三点共线时,取得最小值, 则|AP|+|AF1|=|PF1|=, ∴|AP|+|AF2|的最小值为|AP|+|AF1|-2a=-2. 故选C. (2)不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.根据双曲线的定义,得r1-r2=2a, 又r1+r2=3b,故r1=,r2=. 又r1·r2=ab,所以·=ab, 解得=(负值舍去), 故e====, 故选B. 题型二 双曲线的几何性质 例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2: -y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( ) A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1 C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1 (2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1: -=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2: x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________. 答案 (1)A (2) 解析 (1)由题意可得m2-1=n2+1,即m2=n2+2, 又∵m>0,n>0,故m>n. 又∵e·e=·=·==1+>1,∴e1·e2>1. (2)由题意,不妨设直线OA的方程为y=x,直线OB的方程为y=-x. 由得x2=2p·x, ∴x=,y=,∴A. 设抛物线C2的焦点为F,则F, ∴kAF=. ∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1, ∴·=-1,∴=. 设C1的离心率为e,则e2===1+=. ∴e=. 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2. (2016·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线E: -=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( ) A.B.C.D.2 答案 A 解析 离心率e=,由正弦定理得e====.故选A. 题型三 直线与双曲线的综合问题 例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点. (1)求双曲线C2的方程; (2)若直线l: y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围. 解 (1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0), 则a2=4-1=3,c2=4, 再由a2+b2=c2,得b2=1. 故C2的方程为-y2=1. (2)将y=kx+代入-y2=1, 得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 ∴k2≠且k2<1.① 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+) =(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2 =. 又∵·>2,得x1x2+y1y2>2, ∴>2,即>0, 解得 由①②得 故k的取值范围为(-1,-)∪(,1). 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法: 将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ) A.B. C.2D.3 答案 B 解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0). ∵直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直, ∴直线l的方程为x=c或x=-c. 将其代入-=1, 求得y2=b2(-1)=,∴y=±, ∴|AB|=.依题意,得=4a, ∴=2,即e2-1=2,∴e=. 11.直线与圆锥曲线的交点 典例 已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点? 错解展示 现场纠错 解 设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0), 若直线l的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1), 即y=kx+1-k. 由 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).① ∴x0==. 由题意,得=1,解得k=2. 当k=2时,方程①可化为2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解. ∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题,要考虑变形的条件. (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法. 1.(2016·广州联考)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 A 解析 依题意解得∴双曲线C的方程为-=1. 2.(2016·全国乙卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3)D.(0,) 答案 A 解析 ∵方程-=1表示双曲线, ∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2 ∴焦距2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,∴-1 3.(2016·佛山模拟)已知双曲线-=1的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与该双曲线的右支交于A,B两点,若|AB|=5,则△ABF1的周长为( ) A.16B.20C.21D.26 答案 D 解析 由双曲线-=1,知a=4. 由双曲线定义|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a=8, ∴|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+16=21, ∴△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26.故选D. 4.(2016·江西联考)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得(+)·=0(其中O为坐标原点),且||=||,则双曲线的离心率为( ) A.-1B. C.D.+1 答案 D 解析 ∵=-, ∴(+)·=(+)·(-)=0, 即2-2=0,∴||=||=c, 在△MF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得⊥. ∵||=||, ∴可设||=λ(λ>0),||=λ, 得(λ)2+λ2=4c2,解得λ=c, ∴||=c,||=c, ∴根据双曲线定义得2a=||-||=(-1)c, ∴双曲线的离心率e==+1. 5.(2016·绍兴质量检测二)已知直线l与双曲线C: x2-y2=2的两条渐近线分别交于A,B两点.若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则△AOB的面积为( ) A.B.1 C.2D.4 答案 C 解析 由题意,得双曲线的两条渐近线方程为y=±x. 设A(x1,x1),B(x2,-x2), ∴AB的中点为(,), ∴()2-()2=2⇒x1x2=2, ∴S△AOB=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=x1x2=2. 6.(2016·安徽庐江第二中学月考)已知椭圆+=1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为e1;双曲线-=1(a2>0,b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为e2,则e1e2等于( ) A.B.1C.D.2 答案 B 解析 由b=a1c1,得a-c=a1c1,∴e1==. 由b=a2c2,得c-a=a2c2,∴e2==. ∴e1e2=×=1. 7.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 A 解析 由题意知a=,b=1,c=, ∴F1(-,0),F2(,0), ∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0). ∵·<0,∴(--x0)(-x0)+y<0, 即x-3+y<0.∵点M(x0,y0)在双曲线上, ∴-y=1,即x=2+2y, ∴2+2y-3+y<0,∴- 8.已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.(1,2) C.(1,1+)D.(2,1+) 答案 B 解析 由题意易知点F的坐标为(-c,0),A(-c,),B(-c,-),E(a,0), ∵△ABE是锐角三角形,∴·>0, 即·=(-c-a,)·(-c-a,-)>0, 整理得3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0,解得e∈(0,2),又e>1, ∴e∈(1,2),故选B. 9.(2016·北京)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________. 答案 1 2 解析 由2x+y=0,得y=-2x,所以=2. 又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2. 10.(2016·杭州模拟)已知点A,B分别是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左,右顶点,点P是双曲线C上异于A,B的另外一点,且△ABP是顶点为120°的等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程为________. 答案 x±y=0 解析 如图所示,过点P作PC⊥x轴, 因为|AB|=|BP|=2a, 所以∠PBC=60°,BC=a, yP=|PC|=a,点P(2a,a), 将P(2a,a)代入-=1,得a=b, 所以其渐近线方程为x±y=0. 11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为________. 答案 解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a. 在△PF1F2中,由余弦定理, 得cos∠F1PF2==-e2. 要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值, ∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=, 即e的最大值为. 12.(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C: x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF的周长最小时,该三角形的面积为________. 答案 12 解析 设左焦点为F1,|PF|-|PF1|=2a=2, ∴|PF|=2+|PF1|,△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当A、P、F1在一条直线时最小,过AF1的直线方程为+=1,与x2-=1联立,解得P点坐标为(-2,2),此时S△APF= - =12. 13.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值. 解 (1)由已知c=,设椭圆长半轴长,短半轴长分别为a,b, 双曲线实半轴长,虚半轴长分别为m,n, 则 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴椭圆方程为+=1, 双曲线方程为-=1. (2)不妨设F1,F2分别为左,右焦点,P是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6, ∴|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2, ∴cos∠F1PF2= ==.
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