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随机过程实验
实验名称:
随机变量的仿真与实验
实验内容:
用MATLAB分别产生服从(二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布、瑞利分布)的随机变量,并分析他们的:
1、分布函数或概率密度函数2、均值、方差
1、服从二项分布的随机变量
理论分析
如果随机变量X的分布律为
0
其期望和方差分别为E(X)=np,D(X)=npq。
随机变量X~B(20,0.4),可以通过matlab计算其期望和方差,绘制分布律和分布函数。
程序如下:
n=20;p=0.4;
[E,D]=binostat(n,p);%计算期望和方差
f=binopdf(1:
21,n,p);%计算分布律
F=binocdf(1:
21,n,p);%计算分布函数
subplot(2,2,1);stem(f);%绘制分布律
title('二项分布理论分布律n=20p=0.4');xlabel('x');ylabel('p');
subplot(2,2,3);stem(F);%绘制分布函数
title('二项分布理论分布函数n=20p=0.4');xlabel('x');ylabel('f');
计算得结果E(X)=8,D(X)=4.800,分布律和分布函数如图1。
图1X~B(20,0.4)的分布律和分布函数
样本分析
利用matlab中binornd函数产生一个X~B(20,0.4)的样本,样本点总数为20000。
计算其均值和方差,计算分布律和分布函数,并与理论结果进行比较。
程序如下:
n=20;p=0.4;
R=binornd(n,p,1,20000);
e=mean(R);%期望
d=var(R);%方差
f=zeros(1,21);
F=zeros(1,21);
forj=1:
21%计算统计分布律
fori=1:
20000
ifj==R(i)
f(1,j)=f(1,j)+1;
end
end
f(1,j)=f(1,j)/20000;
end
subplot(2,2,1);
stem(f);
title('二项分布样本分布律n=20p=0.4');
xlabel('x');
ylabel('p');
forj=1:
21%计算分布函数
fori=1:
j
F(1,j)=F(1,j)+f(1,i);
end
end
subplot(2,2,3);stem(F);
title('二项分布样本分布函数n=20p=0.4');xlabel('x');ylabel('f');
计算结果为e=8.0218,d=4.7760,与理论值(E(X)=8,D(X)=4.8)基本接近。
分布律和分布函数如图2。
与理论值接近。
图2X~B(20,0.4)样本分布律和分布函数
2、服从泊松分布的随机变量
理论分析
如果随机变量X的分布律为
λ>0,k=0,1,2,…n,则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ)。
其期望和方差分别为E(X)=λ,D(X)=λ。
观察参数λ对其分布律和分布函数的影响,令lamuda1=10、lamuda2=20、lamuda3=40可以通过matlab计算其期望和方差,绘制分布律和分布函数。
程序如下:
lamuda1=10;lamuda2=20;lamuda3=40;
[E,D]=poisstat(lamuda1);%计算期望和方差
f1=poisspdf(0:
1:
100,lamuda1);%计算分布律
F1=poisscdf(0:
1:
100,lamuda1);%计算分布函数
f2=poisspdf(0:
1:
100,lamuda2);%计算分布律
F2=poisscdf(0:
1:
100,lamuda2);%计算分布函数
f3=poisspdf(0:
1:
100,lamuda3);%计算分布律
F3=poisscdf(0:
1:
100,lamuda3);%计算分布函数
%绘制分布律
subplot(2,2,1);plot(0:
1:
100,f1,0:
1:
100,f2,'--',0:
1:
100,f3,':
');title('泊松分布理论分布律');xlabel('x');ylabel('f');
%绘制分布函数
subplot(2,2,3);plot(0:
1:
100,F1,0:
1:
100,F2,'--',0:
1:
100,F3,':
');
title('泊松分布理论分布函数');xlabel('x');ylabel('F');
计算得E=10,D=10。
分布律和分布函数如图3。
图3泊松分布的分布律和分布函数
样本分析
利用matlab中poissrnd函数分别产生lamuda1=10,lamuda2=20,lamuda3=40的样本,每个样本点总数为20000。
计算其均值和方差,计算分布律和分布函数,并与理论结果进行比较。
程序如下:
lamuda1=10;lamuda2=20;lamuda3=40;
R1=poissrnd(lamuda1,1,20000);%三组随机数产生
R2=poissrnd(lamuda2,1,20000);
R3=poissrnd(lamuda3,1,20000);
e1=mean(R1);%期望
d1=var(R1);%方差
%计算分布律与二项分布中统计方法相同
。
。
。
%计算分布函数与二项分布中统计方法相同
。
。
。
计算得e=9.9913,d=10.1306,与理论值基本接近,分布律和分布函数与理论值比较如图4。
图4泊松分布样本分布律和分布函数与理论值比较
3、服从正态分布的随机变量
理论分析
如果随机变量的概率密度为
则称随机变量服从参数为μ和
2的正态分布,记为X~N(μ,
2)。
其期望和方差分别为E(X)=μ,D(X)=
2。
特别是当μ=0,
2=1是的正态分布称为标准正态分布。
观察参数μ和
2对其概率密度函数和分布函数的影响,令μ1=0,sigmal1=2、μ2=0,sigmal2=4、μ3=5,sigmal3=6可以通过matlab计算其期望和方差,绘制分布律和分布函数。
程序如下:
mu1=0;mu2=0;mu3=5;
sigmal1=2;sigmal2=4;sigmal3=6;r=20;
[E,D]=normstat(mu1,sigmal1);
f1=normpdf(-r:
r,mu1,sigmal1);%概率密度函数
F1=normcdf(-r:
r,mu1,sigmal1);%分布函数
f2=normpdf(-r:
r,mu2,sigmal2);%概率密度函数
F2=normcdf(-r:
r,mu2,sigmal2);%分布函数
f3=normpdf(-r:
r,mu3,sigmal3);%概率密度函数
F3=normcdf(-r:
r,mu3,sigmal3);%分布函数
%绘制概率密度函数
subplot(2,2,1);plot(-r:
r,f1,-r:
r,f2,'--',-r:
r,f3,':
');
title('正态分布理论概率密度函数');xlabel('x');ylabel('f');
%绘制分布函数
subplot(2,2,2);plot(-r:
r,F1,-r:
r,F2,'--',-r:
r,F3,':
');title('正态分布理论分布函数');xlabel('x');ylabel('F');
计算得E=0,D=4,概率密度函数和分布函数如图5。
图5正态分布理论概率密度函数和分布函数
可以看出概率密度函数关于x=μ对称,
2越大分布越分散。
样本分析
利用matlab中normrnd函数产生μ=0,sigmal=4的样本,样本点总数为20000。
计算其均值和方差,并使用capaplot函数和cdfplot函数计算统计分布律和分布函数,并与理论结果进行比较。
程序如下:
mu=0;sigmal=4;r=20;
f1=normpdf(-r:
r,mu,sigmal);%概率密度函数
F1=normcdf(-r:
r,mu,sigmal);%分布函数
subplot(2,2,1);plot(-r:
r,f1);%绘制概率密度函数
title('正态分布理论概率密度函数');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,3);plot(-r:
r,F1);%绘制分布函数
title('正态分布理论分布函数');xlabel('x');ylabel('F');
R1=normrnd(mu,sigmal,1,20000);%随机数产生
e=mean(R1);%期望
d=var(R1);%方差
subplot(2,2,2);capaplot(R1,[-2020]);
title('正态分布样本概率密度函数');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,4);cdfplot(R1);
title('正态分布样本分布函数');xlabel('x');ylabel('F');
计算得e=-0.0064,d=16.1207,与理论值接近。
其统计概率密度和分布如图6。
图6正态分布样本概率密度和分布与理论值比较
4、服从均匀分布的随机变量
理论分析
如果随机变量的概率密度为
则称随机变量在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
其期望和方差分别为E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12。
设随机变量X~U(1,10),可以通过matlab计算其期望和方差,绘制分布律和分布函数。
程序如下:
a=1;b=10;%X~U(a,b)均匀分布
[E,D]=unifstat(a,b);
f=unifpdf(a:
b,a,b);%概率密度函数
F=unifcdf(a:
b,a,b);%分布函数
subplot(2,2,1);plot([a:
b],f);%绘制概率密度函数
title('均匀分布概率密度函数a=1,b=10');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,3);plot([a:
b],F);%绘制分布函数
title('均匀分布分布函数a=1,b=10');xlabel('x');ylabel('F');
计算得E(X)=5.5000,D(X)=6.7500,其概率密度函数和分布函数如图7。
图7均匀分布概率密度和分布函数
样本分析
利用matlab中unifrnd函数产生在服从在区间(1,10)上均匀分布的样本,样本点总数为20000。
计算其均值和方差,并使用hist函数和cdfplot函数计算统计分布律和分布函数,并与理论结果进行比较。
程序如下:
a=1;b=10;
[E,D]=unifstat(a,b);
f=unifpdf(a:
b,a,b);%概率密度函数
F=unifcdf(a:
b,a,b);%分布函数
subplot(2,2,1);plot(a:
b,f);%绘制概率密度函数
title('均匀分布理论概率密度函数a=1b=10');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,3);plot(a:
b,F);%绘制分布函数
title('均匀分布理论分布函数a=1b=10');xlabel('x');ylabel('F');
R1=unifrnd(a,b,1,20000);%随机数产生
e=mean(R1);%期望
d=var(R1);%方差
[bb,aa]=hist(R1,10);%分区间统计,这里分10个区间,应适当调整%bb为落在这个区间的数的个数,aa为区间中点坐标
subplot(2,2,2);plot(aa,bb/20000);
title('均匀分布样本统计概率密度');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,4);cdfplot(R1);
title('均匀分布样本统计分布');xlabel('x');ylabel('F');
计算得e=5.4858,d=6.7168,与理论值接近。
其统计概率密度和分布与理论值比较如图8。
这里使用hist对频数分区间统计,选择不同的区间个数对该区间的频率计算有很多影响,可适当调整区间个数。
图8均匀分布统计概率密度和分布与理论值比较
5、服从指数分布的随机变量
理论分析
如果随机变量的概率密度为
则称随机变量服从参数为λ的指数分布,λ>0。
其期望和方差分布为E(X)=1/λ,D(X)=1/λ2。
观察参数λ对其分布律和分布函数的影响,令lamuda1=5、lamuda2=10、lamuda3=15可以通过matlab计算其期望和方差,绘制分布律和分布函数。
程序如下:
lamuda1=5;lamuda2=10;lamuda3=15;
[E,D]=expstat(lamuda1);
f1=exppdf(0:
100,lamuda1);%概率密度函数
F1=expcdf(0:
100,lamuda1);%分布函数
f2=exppdf(0:
100,lamuda2);%概率密度函数
F2=expcdf(0:
100,lamuda2);%分布函数
f3=exppdf(0:
100,lamuda3);%概率密度函数
F3=expcdf(0:
100,lamuda3);%分布函数
%绘制概率密度函数
subplot(2,2,1);plot(0:
100,f1,0:
100,f2,'--',0:
100,f3,':
');
title('指数分布理论概率密度函数');xlabel('x');ylabel('f');
%绘制分布函数
subplot(2,2,3);plot(0:
100,F1,0:
100,F2,'--',0:
100,F3,':
');
title('指数分布理论分布函数');xlabel('x');ylabel('p');
程序中lamuda与公式中λ互为倒数关系,计算得E(X)=5,D(X)=25。
其概率密度函数和分布函数如图9。
图9指数分布概率密度函数和分布函数
样本分析
利用matlab中exprnd函数产生服从参数lamuda1=5指数分布的样本,样本点总数为20000。
计算其均值和方差,并使用hist函数和cdfplot函数计算统计分布律和分布函数,并与理论结果进行比较。
程序如下:
lamuda1=5;lamuda2=10;lamuda3=15;
[E,D]=expstat(lamuda1);
f1=exppdf(0:
60,lamuda1);%概率密度函数
F1=expcdf(0:
60,lamuda1);%分布函数
subplot(2,2,1);plot(0:
60,f1);%绘制概率密度函数
title('指数分布理论概率密度函数lamuda=5');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,3);plot(0:
60,F1);%绘制分布函数
title('指数分布理论分布函数lamuda=5');xlabel('x');ylabel('F');
R1=exprnd(lamuda1,1,20000);%随机数产生
e=mean(R1);%期望
d=var(R1);%方差
[bb,aa]=hist(R1,48);%将数据分区间统计,这里分10个区间,应适当调整
%bb为落在这个区间的数的个数,aa为区间中点坐标subplot(2,2,2);plot(aa,bb/20000);
title('指数分布样本统计概率密度');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,4);cdfplot(R1);
title('指数分布样本统计分布');xlabel('x');ylabel('F');
计算结果e=5.0022,d=24.9130,与理论值接近。
其统计概率密度和分布如图10。
图10指数分布样本统计概率密度和分布与理论值比较
6、服从瑞利分布的随机变量
理论分析
如果随机变量的概率密度函数
则称随机变量服从参数为
的瑞利分布,期望和方差为
观察参数λ对其分布律和分布函数的影响,令sigma1=10,sigma2=15,sigma3=20可以通过matlab计算其期望和方差,绘制分布律和分布函数。
程序如下:
sigma1=10;sigma2=15;sigma3=20;
[E,D]=raylstat(sigma1);
f1=raylpdf(0:
100,sigma1);%概率密度函数
p1=raylcdf(0:
100,sigma1);%分布函数
f2=raylpdf(0:
100,sigma2);%概率密度函数
p2=raylcdf(0:
100,sigma2);%分布函数
f3=raylpdf(0:
100,sigma3);%概率密度函数
p3=raylcdf(0:
100,sigma3);%分布函数
%绘制概率密度函数
subplot(2,2,1);plot(0:
100,f1,0:
100,f2,'--',0:
100,f3,':
');
title('瑞利分布理论概率密度函数');xlabel('x');ylabel('f');
%绘制分布函数
subplot(2,2,2);plot(0:
100,p1,0:
100,p2,'--',0:
100,p3,':
');
title('瑞利分布理论分布函数');xlabel('x');ylabel('p');
计算得E(X)=12.5331,D(X)=42.9204。
其概率密度函数和分布函数如图11。
图11瑞利分布理论概率密度和分布函数
样本分析
利用matlab中exprnd函数产生服从参数sigma=10的瑞利分布的样本,样本点总数为100000。
计算其均值和方差,并使用hist函数和cdfplot函数计算统计分布律和分布函数,并与理论结果进行比较。
程序如下:
sigma=10;
[E,D]=raylstat(sigma);
f1=raylpdf(0:
45,sigma);%概率密度函数
F1=raylcdf(0:
45,sigma);%分布函数
subplot(2,2,1);plot(0:
45,f1);%绘制概率密度函数
title('瑞利分布理论概率密度函数sigma=10');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,3);plot(0:
45,F1);%绘制分布函数
title('瑞利分布理论分布函数');xlabel('x');ylabel('F');
R1=raylrnd(sigma,1,100000);%随机数产生
e=mean(R1);%期望
d=var(R1);%方差
[bb,aa]=hist(R1,49);%将数据分区间统计,这里分49个区间,应适当调整%bb为落在这个区间的数的个数,aa为区间中点坐标
subplot(2,2,2);plot(aa,bb/100000);
title('瑞利分布样本统计概率密度');xlabel('x');ylabel('f');
subplot(2,2,4);cdfplot(R1);
title('瑞利分布样本统计分布');xlabel('x');ylabel('F');
计算得e=12.5513,d=42.6960,与理论值接近。
其统计概率密度和分布如图12。
图12瑞利分布样本统计概率密度和分布与理论值比较
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