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完整版二次函数知识点复习可编辑修改word版
一、二次函数概念:
二次函数知识点
1.二次函数的概念:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a何b何c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a≠0,而b何
2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征:
c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a何b何c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
y=ax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2.
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0何0)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y
随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0.
a<0
向下
(0何0)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y
随x的增大而增大;x=0时,y有最大值0.
y=ax2+c
下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0何c)
y轴
x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y
随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c.
a<0
向下
(0何c)
y轴
x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y
随x的增大而增大;x=0时,y有最大值c.
的性质:
左加右减。
的性质:
上加
3.
y=a(x-h)2
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h何0)
X=h
x>h时,y随x的增大而增大;x 随x的增大而减小;x=h时,y有最小值0. a<0 向下 (h何0) X=h x>h时,y随x的增大而减小;x 随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0. 4. y=a(x-h)2+k的性质: a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a>0 向上 (h何k) X=h x>h时,y随x的增大而增大;x 随x的增大而减小;x=h时,y有最小值k. a<0 向下 (h何k) X=h x>h时,y随x的增大而减小;x 随x的增大而增大;x=h时,y有最大值k. 三、二 次函 数图象的平移 1.平移步骤: 方法一: ⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h何 k); ⑵保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h何k)处,具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移: 向上(下)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m) ⑵y=ax2+bx+c沿轴平移: 向左(右)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c (或y=a(x-m)2+b(x-m)+c) 四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看,y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 ⎛b⎫24ac-b2 b4ac-b2 y=açx+⎪+ ⎝⎭4a ,其中h=-何k=. 2a4a 五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法: 利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y轴的交点 (0何 c)、以及(0何 c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1何 0),(x2何 0)(若与x轴没有交点, 则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点: 开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b⎛b4ac-b2⎫ 1. 当a>0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-2a,顶点坐标为ç-2a何 4a⎪. 当x<-b 2a . 时,y随x的增大而减小;当x>-b 2a ⎝⎭ 时,y随x的增大而增大;当x=-b 2a 时,y有最小值 4ac-b2 4a b⎛b4ac-b2⎫b 2. 当a<0时,抛物线开口向下,对称轴为x=-2a,顶点坐标为ç-2a何4a⎪.当x<-2a时,y随x的 增大而增大;当x>-b 2a 时,y随x的增大而减小;当x=-b 2a ⎝⎭ 4ac-b2 时,y有最大值. 4a 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); 2.顶点式: y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0); 3.两根式: y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a≠0. ⑴当a>0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; ⑵当a<0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大. 总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小. 2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴在a>0的前提下,当b>0时,-b 2a <0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b=0时,-b 2a =0,即抛 物线的对称轴就是y轴;当b<0时,-b 2a > 0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. ⑵在a<0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b>0时,-b 2a > 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 当b=0时,-b 2a =0,即抛物线的对称轴就是y轴;当b<0时,-b 2a <0,即抛物线对称轴在y轴的左侧. 总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置. b ab的符号的判定: 对称轴x=- 2a 在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则ab<0 3.常数项c⑴当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置. 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 十、二次函数与一元二次方程: 1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数: ①当∆=b2-4ac>0时,图象与x轴交于两点A(x,0),B(x,0)(x≠x),其中的x,x是一元二次方程 121212 ax2 + bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=x2-x1=. ②当∆=0时,图象与x轴只有一个交点;③当∆<0时,图象与x轴没有交点. 1'当a>0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y>0; 2'当a<0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y<0. 2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 3.二次函数常用解题方法总结: ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断 图象的位置,要数形结合; ⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 下面以a>0时为例,揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系: ∆>0 抛物线与x轴有两个交点 一元二次方程有两个不相等实根 ∆=0 抛物线与x轴只有一个交点 一元二次方程有两个相等的实数根 ∆<0 抛物线与x轴无交点 一元二次方程无实数根. 十一、函数的应用 ⎧何何何何 ⎪ 二次函数应用⎨何何何何何何何何 ⎩ ⎪何何何何何何何 二次函数考查重点与常见题型 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2的图像经过原点,则m的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数y=kx2+bx-1的图像大致是() y 0-1xD 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x= 5 ,求这条抛物线的解析式。 3 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 3 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是- 2 (1)确定抛物线的解析式; (2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1 ①aO;③4a+c A1个B.2个C.3个D.4个 答案: D 会用待定系数法求二次函数解析式 例2.已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2) 答案: C 15 例3、已知抛物线y=x2+x-. 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长. 【点评】本题 (1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第 (2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系. 例4、“已知函数y=1x2+bx+c的图象经过点A(c,-2), 2 求证: 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评: 对于第 (1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。 对于第 (2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 (1)小题中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] (1)根据y=1x2+bx+c的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3, 2 ⎪2 ⎧1c2+bc+c=-2, ⎪ - 得⎨b ⎪1 ⎪2⋅ ⎩2 =3, ⎨ ⎧b=-3, 解得 ⎩c=2. 所以所求二次函数解析式为y=1x2-3x+2.图象如图所示。 2 (2)在解析式中令y=0,得1x2-3x+2=0,解得x=3+5,x =3-5. 212 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+ 5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是 (3- 5,0). 令x=3代入解析式,得y=-5, 2 所以抛物线y=1x2-3x+2的顶点坐标为(3,-5), 2 所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,- 2 5) )等等。 2 函数主要关注: 通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例5、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日销售利润是多少元? ⎧15k+b=25, ⎩ 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则⎨2k+b=20解得k=-1,b=40,即一次函数表达式为y=- x+40. (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数; (2)问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 例6、你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) () A.1.5mB.1.625m C.1.66mD.1.67m 分析: 本题考查二次函数的应用答案: B 二次函数单元测评 一、选择题 1. 下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B.C.D. 2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A.(1,-4)B.(-1,2)C.(1,2)D.(0,3) 3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是()A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0D.ab<0,c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第象限() A.一B.二C.三D.四 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是() A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线上的点,且-1 x3<-1,则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1 10. 把抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是() A.B.C.D. 二、填空题 11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是. 12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=. 13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为. 14.抛物线y=x2+bx+c,经过A(-1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析式为. 15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出,在不计空气阻力的情 况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足: (其中g是常数,通常取10m/s2).若v0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面m. 17.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解 析式为 18.已知抛物线y=x2+x+b2经过点,则y1的值是. 三、解答下列各题 19.若二次函数的图象的对称轴方程是,并且图象过A(0,-4)和B(4,0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标; (2)求此二次函数的解析式; 20.在直角坐标平面内,点O为坐标原点,二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)、B(x2,0),且(x1+1)(x2+1)=-8. (1)求二次函数解析式; (2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为P,求△POC的面积. 21.已知: 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB的面积S△MCB. 22.某商店销售一种商品,每件的进价为2.50元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系: 在一段时间内,单价是13.50元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析,销售单价多少时,可以获利最大.
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