完整版导数压轴题.docx
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完整版导数压轴题
导数压轴题
1+ax22
>0,
4
(1)当a=3时,求f(x)的极值点.
13
(2)若f(x)为2,2上的单调函数,求a的取值范围.
ax—2ax+1e
[解析]行’(x)二丹
1+ax
413
(1)当a=3时,若f'(x)=0,则4x2—8x+3=0?
x1=㊁,x2—
x
1
——oo
,2
1
2
13
2,2
3
2
3
2,+o
f'(x)
+
0
一
0
+
f(x)
r/
极大值
极小值
rz1
13
:
X1—是极大值点,x2—2是极小值点.
(2)记g(x)—ax2—2ax+1,则
2
g(x)—a(x—1)+1—a,
13
••g(x)>0或g(x)<0对x€2,2恒成立,
1
又g(x)的对称轴为x—1,故g(x)的最小值为g
(1),最大值为g2.
14
由g
(1)>0或g2W0?
03,
4
•的取值范围是03.
10.(能力挑战题)函数f(x)—xlnx—ax2—x(a€R).
⑴若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值.
(2)若函数f(x)的图象在直线y=—x图象的下方,求a的取值范围.
⑶求证:
2013012<20122013
[解析]⑴函数定义域为(0,+%),F(x)=Inx—2ax,
■-'f(x)在x=1处取得极值,
.•.f'
(1)=0,即一2a=0,.°.a=0.
•••f'(x)=Inx,
当x€(0,1)时,f'(x)<0,
当x€(1,+x)时,f'(x)>0,
•■•f(x)在x=1处取得极值.
⑵由题意,得xlnx—ax2—x<—x,
•'•xlnx—a点<0.
(0,+^),
Inx
a>v
Inx
设h(x)=—,
1—Inx
则h'(x)=—x—
入
令h'(x)>0,得0 •••h(x)在(0,e)上为增函数; 令h'(x)<0,得x>e, •■•h(x)在(e,+x)上为减函数. 1 •■•h(x)max= D Inx ⑶由 (2)知h(x)=p在(e,+^)上为减函数,入 •••h(x)>h(x+1), Inxlnx+ .•—> xx+1' -■.(x+1)lnx>xln(x+1), •nxx+1>ln(x+1)x, •••xx+1>(x+1)x. 令x=2012,得20122013>20132012 ax 11.已知函数f(x)=ln(1+x)—(a€R). 1 —x 2' 1a 当a<0时,注意到>0,产0, 1+x1—x 2 x—2+ax+1—a a+2—、/a2+8aa+2+、/a2+8a 此方程的两根X1=2,X2=2,其中一1 -1 f'(X)<0? X1 即函数f(x)的增区间为(-1,X1),(X2,+x),减区间为(X1,1),(1,X2). 综上,当a<0时,函数f(X)的增区间为(一1,1)(1,+x),无减区间; 当a>0时,函数f(x)的增区间为(-1,X1),(X2,+X),减区间为(X1,1),(1, X2), a+2-、/a2+8a 其中X1二2 a+2+a2+8ax2=2 x ⑵当a=1时,由 (1)知,函数f(x)=ln(1+x)-在(0,1)上为减函数, 1-x x 则当0 1-x X 即ln(1+x)< 1-x 令*^013^加N*),则 1+ ln2013X2m+1<2013X2m, 丄严才丄 2013X2"+1)'2"T X2 12.已知函数f(x)=+a3ln(x—a—a2),a€R且a^0. (1)讨论函数f(x)的单调性; ⑵当a<0时,若a2+a 2 fx2—fxia <石—a. x2—xi2 a3 [解析] (1)由题意,f'(X)=X+2 x—a—a x2—a+a2x+a3 x—a—a2 2 x—ax—a =2 x—a—a 令f'(x)>0,因为x—a—a2>0,故(x—a)(x—a2)>0. 当a>0时,因a+a2>a且a+a2>a2, 所以上面不等式的解集为(a+a2,+x), 从而此时函数f(x)在(a+a2,+^)上单调递增. 当a<0时,因a 函数f(x)在(a2,+x)上单调递增,同理此时f(x)在(a+a2,a2]上单调递减. ⑵证法一: 要证原不等式成立,只需证明 2 a f(x2)—f(xi)<(x2—xi)——a, 22aa 只需证明f(x2)———ax2 在x€(a+a,a2—a)内单调递减. 3 a +2 x—a—a 2 a 由 (1)知h'(x)=x—2—a 43 232aa2 x—护x+2+—a x—a—a2 因为x—a—a2>0, 我们考察函数g(x)=x2—|a2x+庁+亍—a2,x€(a2+a,a2—a). 因a+a+a_a=a2>x对称轴=警,且f 所以g(x) 从而知h'(x)<0在x€(a2+a,a2—a)上恒成立, 2 a22 所以函数h(x)=f(x)——ax在x€(a+a,a—a)内单调递减. 从而原命题成立. 证法二: 要证原不等式成立, 2 a 只需证明f(X2)—f(X1)V(X2—xi)—a, g'(x)二f'(x)—冷—a 32 aa —x+2—2—a x—a—a2 3 2.a —x—a—a+2+a+ x—a—a 因为a<0,所以y=x—a—a2+ a3 2在(a2+a,a2—a)上为增函数,x—a—a 3 —a2—a—a—a2+a 所以g'(x)wg'(a2—a) 22+a+a2—f—a=0. a—a—a—a2 从而知g'(x)<0在x€(a2+a,a2—a)上恒成立, 2 所以函数g(x)—f(x)—卡—ax在x€(a2+a,a2—a)内单调递减. 从而原命题成立. 13.已知函数f(x)=exsinx. (1)求函数f(x)的单调区间; 冗 (2) 如果对于任意的x€1,,f(x)>kx总成立,求实数k的取值范围; 数F(x)图象的所有切线,令各切点的横坐标构成数列之和S的值. [解析] (1)由于f(x)=exsinx,所以 f'(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx) =2exsinx+. 3n n—n3n 当x+4^(2kn2kn+n,即卩x€2kn-4,2kn+^时,f'(x)>0; 当x+(2kn+n,2kn+2n,)即x€2kn+手2kn+于时,f'(x)<0. n3n 所以f(x)的单调递增区间为2kn-4,2kn+才化€Z), 3n7n 单调递减区间为2kn+j,2kn+*(k€Z). .n ⑵令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,要使f(x)>kx总成立,只需x€0,2时 g(x)min》0. g'(x)=e<(sinx+cosx)—k, n 令h(x)=ex(sinx+cosx),贝Uh'(x)=2excosx>0,x€0,2, n 所以h(x)在o,2上为增函数, 所以h(x)€[1,e']. 对k分类讨论: n 1当k<1时,g'(x)>0恒成立,所以g(x)在0,2上为增函数,所以g(x)min =g(0)=0,即卩g(x)>0恒成立; n 2当1 数,所以当x€(0,xo)时,g'(x)<0,所以g(xo)vg(0)=0,不符合题意; ▼n 3当k>e时,g'(x)<0恒成立,所以g(x)在0,2上为减函数,则g(x) =0,不符合题意; 综合①②③可得,所求的实数k的取值范围是(―%,1]. (3)因为F(x)=f(x)+excosx=ex(sinx+cosx), 所以F'(x)=2excosx, 设切点坐标为(x0,ex0(sinX0+cosx。 )), 则斜率为F'(X0)=2ex0cosX0, 切线方程为y—exo(sinxo+cosxo) =2exocosxo(x—xo), n——1 将M—o的坐标代入切线方程,得 —exo(sinxo+cosxo) =2exocosxo- n—1 整理得—tanxo—1=—2 n—1 (3)证明: f'(x)= 1—px n tanxo=2xo—2, nn 令y1=tanx,y2=2x—2,则这两个函数的图象均关于点2,。 对称, nn 它们交点的横坐标也关于2对称且成对出现,方程tanx=2x—? x€ 当p<0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+x)上无极值点; 当p>0时,令f'(x)=0, 1 •■•x=p€(0,+x), f'(x),f(x)随x的变化情况如下表: x 1 0,-,p 1p 1 +oo p, f'(x) + 0 一 f(x) 递增 极大值 递减 1 从上表可以看出: 当p>0时,f(x)有唯一的极大值,当x=p时,f(x)=—Inp;p 1 即函数f(x)的极值点是一p,—Inp. 111 (2)当p>0时,在x=p处取得极大值fp=Inp此极大值也是最大值, 11 要使f(x)<0恒成立,只需fp=Inp<0; •••p>1,「.p的取值范围为[1,+x). ⑶令p=1,由⑵知,Inx—x+1<0, •'•Inx '•n€N,n》2,Inn2 Inn2 •2< Inn 1In_22宜Inn2 2牙+亍+…+〒 1—2+1—32+…+1—n2 1丄1丄 二2n—1—22+32+…+n2 1411 <2(n-1)—22X3+3X4+…+ 1 nn+1 1彳12n2—n—1 P(n—1)1—2n+1二4n+1(门'N,心2),得证. ax+b 10.(2014银川模拟)已知函数f(x)=x^R在点M(1,f (1))处的切线方程为x —y—1=0. (1)求f(x)的解析式. (2)设函数g(x)=lnx,证明: g(x)>f(x)对x€[1,+g)恒成立. [解析] (1)将x=1代入切线方程得f (1)=0, a+b 又f (1)—~2,化简得a+b=0•① f'(x)— 2 ax+1—ax+b2x 1+x22 由①②解得: a=2,b=—2, 2x—2 所以f(x)=— x2+1 2x—2 ⑵要证Inx>2十〔在[1,+%)上恒成立, 即证(x2+1)lnx>2x—2在[1,+x)上恒成立, 即证x2lnx+Inx—2x+2>0在[1,+g)上恒成立. 设h(x)=x2lnx+Inx—2x+2, 1 h'(x)=2xlnx+x+~—2. Zx 1'•x>1,.°.2xlnx>0,x+2,即卩h'(x)>0. X •••h(x)在[1,+x)上单调递增,h(x)>h (1)=0, ••g(x)>f(x)在x€[1,+x)上恒成立. 11.(2014河北质检)已知函数f(x)=2lnx-x+ax(a€R). ⑴当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程; 1 (2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在e,e上有两个零点,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(X1,0),B(X2,0),且0 x1+x2求证: f'-^<0(其中f'(x)是f(x)的导函数). 22[解析]⑴当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f'(x)=2x+2,切点坐标为入 (1,1), 切线的斜率k=f' (1)=2,则切线方程为y—1=2(x—1),即y=2x—1. 2—2x+1x—1 (2)g(x)=2lnx—x2+m,贝Ug'(x)=2x=厂 11 ■•x€e,e,•当g'(x)=0时,x=1•当e 当1 故g(x)在x=1处取得极大值g (1)=m—1. F11 又ge=m—2—e2, 2121 g(e)=m+2—e2,g(e)—g? =4—e2+誉<0, …1 则g(e) g1=m—1>0, 11解得1 ge=m—2—訐0, g(x)在e,e上有两个零点的条件是 1 +e, 1 •••实数m的取值范围是1,2+孑. (3)vf(x)的图象与x轴交于两个不同的点 A(x1,0),B(x2,0), 2lnx1—x2+ax1=0, •方程2lnx—x2+ax=0的两个根为x1,x2,贝U2两式 2lnX2—x2+ax2=0, 2InX1—Inx222 相减得a=(X1+X2)—•又f(x)=2lnx—x2+ax,f'(x)—2x+a,则 x1—X2x 21—t •'0 t+1 —2t+1—21—t ••d(t)= 七T,又0 t+1211+12 故(*)式成立,即f' X1+X2 2 <0成立. 12.(2014潍坊模拟)已知函数f(x)=ax2+x,g(x)=In(x+1). (1)若a=1,求F(x)=g(x)—f(x)在(—1,+^)上的最大值. 34n+1 (2)利用⑴的结论证明: 对任意的正整数n,不等式2+3+£+•••+齐厂>1n(n +1)都成立. 2gxii (3)是否存在实数a(a>0),使得方程一二f'(x)_(4a_1)在区间e,e内 xe 有且只有两个不相等的实数根? 若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说 明理由. 1x2x+3 [解析] (1)F'(x)=_2x_1二一 x+1x+1 当x€(_1,0)时,F'(x)>0, x€(0,+x)时,f'(x)<0, •••x=0是F(x)在(_1,+x)上唯一的极大值点, 从而当x=0时,F(x)取得最大值F(0)=0. (2)由 (1)知? x€(0,+%),F(x)<0, 即In(x+1) 令x=n得|nn+1 +n, n+1 即ln(n+1)_Inn<_n亍, 3 •・ln2—In1<2,In3—In2<4, n+1 ln(n+1)_Inn<~n^, 34n+1 •n(n+1)_In1<2+4+9+…+~n^, 34n+1 即2+4+9+…+〒>In(n+1)- a«+(1—2a)x—Inx—0. 设H(x)—ax+(1—2a)x—Inx(x>0), 1 原方程在区间e,e内有且只有两个不相等的实数根,即函数H(X)在区间 1 e,e内有且只有两个零点. 12a/+1—2ax—1 H'(x)—2ax+(1—2a)—j—— 2ax+1x—1 —x, 1 令H'(x)—0,因为a>0,解得x—1或x—2a(舍), 当x€(0,1)时,H'(x)<0,H(x)是减函数; 一1一一 当x€(1,+x)时,h'(x)>0,H(x)是增函数,H(x)在-,e内有且只有两 He>0, a—2a 尹=+1 即即H1—a+1—2a—1—a<0, a< 2e—1 a>1, 1—e 值. e2+e 解得1 2e—1 e2+e 所以a的取值范围是,匸1 11 13.(14届衡水中学期中)已知函数f(x)=alnx+(a^0)在0,? 内有极 x—I厶 (1)求实数a的取值范围; 113 ⑵若X1€0,,X2€(2,+x)且a€㊁,2时,求证: f(x2)—f(x1)>In2+才 ••a^0,令g(x)=x2—2+x+1,•'g(0)=1>0. —11 1 令g2<0或 0<1+2a<2, △=2a+12—4a2>0, 1 g2>0,
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