中考数学复习专题等腰三角形的性质考点解答题专练三解析版.docx
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中考数学复习专题等腰三角形的性质考点解答题专练三解析版
2021年中考数学复习专题-【等腰三角形的性质】
考点解答题专练(三)
1.问题:
如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:
∠DAC=45°.
思考:
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?
说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连结AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:
FB=FE.
2.如图,在△ABC中,AC<AB<BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:
∠APC=2∠B.
(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
4.数学课上,张老师举了下面的例题:
例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:
35°)
例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数,(答案:
40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解
(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
5.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:
过点A、F的直线垂直平分线段BC.
6.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:
AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:
AE=2
CM+
BN.
7.求证:
等腰三角形的两个底角相等
(请根据图用符号表示已知和求证,并写出证明过程)
已知:
求证:
证明:
8.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O
(1)求证:
OB=OC;
(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,点E在AD上,请写出图中两对全等三角形,并选择其中的一对加以证明.
10.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:
∠C=2∠D.
参考答案
1.解:
(1)∠DAC的度数不会改变;
∵EA=EC,
∴∠EAC=∠C,①,
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠BAE=90°,
∴∠B=90°﹣∠AED=90°﹣2∠C,
∴∠BAD=
(180°﹣∠B)=
[180°﹣(90°﹣2∠C)]=45°+∠C,
∴∠DAE=90°﹣∠BAD=90°﹣(45°+∠C)=45°﹣∠C,②
由①,②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°﹣∠C+∠C=45°;
(2)设∠ABC=m°,
则∠BAD=
(180°﹣m°)=90°﹣
m°,∠AEB=180°﹣n°﹣m°,
∴∠DAE=n°﹣∠BAD=n°﹣90°+
m°,
∵EA=EC,
∴∠CAE=
AEB=90°﹣
n°﹣
m°,
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°﹣90°+
m°+90°﹣
n°﹣
m°=
n°.
2.
(1)解:
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵∠C=36°,
∴∠ABC=36°,
∵BD=CD,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°﹣36°=54°.
(2)证明:
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=
∠ABC,
∵EF∥BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴FB=FE.
3.解:
(1)证明:
∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,
∴PA=PB,
∴∠B=∠BAP,
∵∠APC=∠B+∠BAP,
∴∠APC=2∠B;
(2)根据题意可知BA=BQ,
∴∠BAQ=∠BQA,
∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,
∴∠BQA=2∠B,
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°.
4.解:
(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°﹣∠A)÷2=50°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°﹣2×80°=20°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°;
故∠B=50°或20°或80°;
(2)分两种情况:
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,
∴∠B的度数只有一个;
②当0<x<90时,
若∠A为顶角,则∠B=(
)°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180﹣2x)°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.
当
≠180﹣2x且180﹣2x≠x且
≠x,
即x≠60时,∠B有三个不同的度数.
综上所述,可知当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
5.解:
(1)∠ABE=∠ACD;
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD;
(2)连接AF.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
由
(1)可知∠ABE=∠ACD,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC,
∵AB=AC,
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,
即直线AF垂直平分线段BC.
6.
(1)①证明:
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ACD和△BCE中,有
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
②解:
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.
(2)证明:
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,
∴∠CDM=∠CEM=
×(180°﹣120°)=30°.
∵CM⊥DE,
∴∠CMD=90°,DM=EM.
在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,
∴DE=2DM=2×
=2
CM.
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,
∴∠BEN=180°﹣120°=60°.
在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,
∴BE=
=
BN.
∵AD=BE,AE=AD+DE,
∴AE=BE+DE=
BN+2
CM.
7.解:
已知:
△ABC中,AB=AC,
求证:
∠B=∠C;
证明:
如图,过D作BC⊥AD,垂足为点D,
∵AB=AC,AD=AD,
在Rt△ABD与Rt△ACD中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴∠B=∠C.
8.
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵BD、CE是△ABC的两条高线,
∴∠BEC=∠BDC=90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC=∠ECB,BE=CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE=∠COD,BE=CD,∠BEC=∠BDE=90°
∴△BOE≌△COD,
∴OB=OC;
(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,
∴∠A=180°﹣2×50°=80°,
∴∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°.
9.解:
△ABE≌△ACE,△EBD≌△ECD,△ABD≌△ACD.
以△ABE≌△ACE为例,证明如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
在△ABE和△ACE中,
,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
10.证明:
∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,
∴∠ABC=∠CBD+∠D,
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠D,
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,
又∵∠C=∠ABC,
∴∠C=2∠D.
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