初二代数方程教案.docx
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初二代数方程教案.docx
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初二代数方程教案
学生辅导教案
科目
数学
年级
七年级
学员
课题
课时
授课时间
教学目标
知识目标:
1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念,知道一元整式方程的一般形式。
理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念,掌握它们的基本解法。
2、理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义,了解高次方程求解的基本方法是降次,会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程;学会判断双二次方程的根的个数。
3、会用“换元法”解特殊的分式方程(组)。
4、理解无理方程的概念,会识别无理方程,知道有理方程及代数方程的概念,领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程(方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式)。
5、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
6、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组;掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
能力目标:
掌握换元法、代入法、因式分解法来解方程;
情感与技能目标:
能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义,检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型,让学生形成良好思维习惯,学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题,发展应用意识,体会数学的情感与价值。
【知识网络】
教学重点
一元一次方程、一元二次方程的概念和基本解法;
无理方程的概念和解法;
掌握换元法、代入法和因式分解法。
教学难点
无理方程有理化;因式分解法解由两个二元二次方程组的概念。
易错点
高次方程降次;二次方程根的个数;无理方程的增根。
教具准备
教学设计
课程导入
新课教学
【要点梳理】
要点一:
整式方程
1、一元整式方程:
如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整
式,这个方程叫做一元整式方程;
2、一元n次方程:
一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),
这个方程叫做一元次方程.
2、一元高次方程:
一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是,若次数
是大于2的正整数,这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释:
一元高次方程应具备:
整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数
大于2次.
4.二项方程概念:
如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的
常数项,另一边是零,那么这样的方程就叫做二项方程.
要点诠释:
注 :
①ax
=0(a≠0)是非常特殊的n次方程,它的根是0.②这里所涉
及的二项方程的次数不超过6次.
5、解的情况
当n为奇数时,方程有且只有一个实数根,x=
;
当n为偶数时,如果ab<0,那么方程有两个实数根,且这两个根互为相
反数;如果ab>0,那么方程没有实数根。
6、双二次方程概念:
只含有偶数次项的一元四次方程。
要点诠释:
当常数项不是0时,规定它的次数为0。
7、解双二次方程的常用方法:
因式分解法与换元法(目的是降次,使它转
化为一元一次方程或一元二次方程)通过换元,把双二次方程转化为一元方程
体现了“降次”的策略。
要点诠释:
解高于一次的方程,基本思想就是“降次”,对有些高次方程,可以用因式
分解的方法降次。
用因式分解的方法要注意:
一定要使方程的一边为零,另一
边可以因式分解。
要点二:
分式方程
1、分式方程的定义:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
要点诠释:
(1)分式方程的重要特征:
①是等式;②方程里含有分母;③分母中含
有未知数;
(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的
字母系数)。
分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方
程是整式方程。
(3)分式方程和整式方程看联系:
分式方程可以转化为整式方程。
2、分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思想:
将分式方程转化为整式方程,转化方法是方
程两边都乘以最简公分母,去掉分母,在去分母这一步变形时,有时可能产生
使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产
生增根,所以解分式方程时必须验根。
(2)解分式方程的一般步骤:
①方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:
当分母
是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母);
②解这个整式方程,求出整式方程的解;
③检验:
将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解
是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原
分式方程无解;
要点诠释:
①熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.
②了解用“换元法”解特殊的分式方程(组).
③领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.
3、解分式方程产生增根的原因
方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因:
去分母时,方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子,
这个式子有可能为零,对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程
来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释:
(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解
原理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得方程是原方程的
同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解方
程,这时求得的根就是原方程的增根.
(2)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方
程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错
误的前提下进行的.
要点三、无理方程
1.无理方程:
方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样
的方程叫做无理方程.
要点诠释:
简单说,根号下含有未知数的方程,就是无理方程.
2.有理方程 :
整式方程和分式方程统称为有理方程.
3.代数方程:
有理方程和无理方程统称为代数方程.
要点诠释:
代数方程的共同点是:
其中对未知数所涉及的运算是加、减、
乘、除、乘方、开方等基本运算.
4.含有一个根式(根式内有未知数的)的无理方程的解题步骤:
①移项,使方程左边是含未知数的根式,其余都移到另一边;
②两边同时乘方(若二次根式就平方,三次根式就立方)得整式方程;
③解整式方程;
④验根;
⑤写答案。
要点诠释:
解简单无理方程的一般步骤,用流程图表示为:
5、含有两个根式(根式内含有未知数)的无理方程的解题步骤:
①移项,使方程等式的左边只含有一个根式,其余移到另一边;
②两边同时平方,得到只含有一个根式的无理方程;
以下与1步骤相同。
要点诠释:
解无理方程的关键在于把它转化为有理方程,转化的基本方法
是对方程两边同时乘方从而去掉根号,对于简单的无理方程,可通过“方程两
边平方”来实施。
要点四:
二元二次方程组
1、二元二次方程定义:
仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次
数是2的整式方程,叫做二元二次方程;
要点诠释:
ax
+bxy+cy²+dx+ey+f=0(a、b、c、d、e、f都是常数,且a、
b、c中至少有一个不为零),其中ax²,bxy,cy²叫做这个方程的二次项,a、
b、c分别叫做二次项系数,dx、ey叫做这个方程的一次项,d、e分别叫做一
次性系数,f叫做这个方程的常数项。
2、二元二次方程的解
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方
程的解。
要点诠释:
二元二次方程有无数个解;二元二次方程的实数解的个数有多种情况.
3.二元二次方程组概念:
仅含有两个未知数,各方程都是整式方程,并且
含有未知数的项的最高次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组.
要点诠释:
不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组,由一个
二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,也是二元二次方程组.
4、二元二次方程组的解:
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.
1、代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤:
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示;
②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程;
③解这个一元二次方程,求得未知数的值;
④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是
原方程组的解;
⑥写出原方程组的解.
要点诠释:
(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解
“二·一”型方程组;
(2)“二·一”型方程组最多有两个解,要防止漏解和增解的错误.
2、因式分解法
(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解
得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个
“二·一”型方程组,解得这两个“二·一”型方程组,所得的解都是原方程
组的解.
(2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第
一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分
解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,
解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程组的解.
5、方程(组)的应用
应用二元二次方程组解应用题的一般步骤:
(1)审题;
(2)设未知数(2个);(3)列二元二次方程组;
(4)解方程组;(5)检验是否是方程的解以及是否符合实际;(6)写出答案.
要点诠释:
一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.
课堂小结
课堂作业设计
四、应用题
1、某校办工厂生产一种产品,第一季度产量为25件,通过技术革新,二、三季度产量都比前一季度增长一个相同的百分率,这样到第三季度时三个季度共生产91件产品,求增长的百分率.
2、A、B两地相距900千米,甲、乙两车分别由A、B两地同时出发相向而行,它们在途中C处相遇,相遇后甲再过4小时到达B地,乙再过16小时到达A地,求A、B距离及两车速度.
3、某项工程,若甲单独做2天后,剩下部分由乙去做,则乙还需要做的天数等于甲单独做完此项工程的天数;若乙单独做2天后,剩余的工程由甲去做,则甲还需3天完成.问甲、乙单独完成此工程各需多少天?
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- 初二 代数方程 教案