运筹学ABC-2线性规划建模课.ppt
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运筹学ABC-2线性规划建模课.ppt
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线性规划在经济管理中的应用线性规划建模,应用1:
生产计划问题,问题1,试列出下述产品规划问题的线性规划模型:
某工厂生产A、B、C三种产品,每吨利润分别为2000元、3000元、1000元;生产单位产品所需的工时及原材料如表所示。
若供应的原材料每天不超过3吨,所能利用的劳动力日总工时是固定的,问如何制定日生产计划,使三种产品总利润最大?
解:
第一步确定决策变量,为产品A的日产量,为产品B的日产量,为产品C的日产量,第二步明确约束条件,劳动力的约束条件为:
原材料的约束条件为:
第三步明确目标,总利润为:
此产品规划问题的线性规划模型为:
问题2,某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品。
已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗,如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利2元,每生产一件产品II可获利3元。
问I、II两种产品的产量各为多少时,使该工厂获取最大利润?
约束条件x12x284x1164x212x1,x20,该生产计划问题可用数学模型表示为:
目标函数maxz2x13x2,问题3,某制造企业有A、B、C、D四种主要产品,所有产品均需四道工序生产:
第一阶段是冲压,第二阶段是成型,第三阶段是装配,第四阶段是喷漆。
根据工艺要求及成本核算,单位产品所需的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示。
这四种产品每天要各生产多少件才能使获得的利润最大?
请就这一问题,以利润最大为目标,建立求解的线性规划模型。
解答:
maxZ=9x1+6x2+11x3+8x4约束条件:
x1+x2+x3+x44804x1+8x2+2x3+5x424004x1+2x2+5x3+5x420006x1+4x2+8x3+4x43000x10,x20,x30,x40,应用2:
配料问题,某工厂要用四种合金T1,T2,T3和T4为原料,经熔炼成为一种新的不锈钢G。
这四种原料含元素铬(Cr),锰(Mn)和镍(Ni)的含量(%),四种原料的单价以及新的不锈钢材料G所要求的Cr,Mn和Ni的最低含量(%)如下表所示:
假设熔炼时重量没有损耗,要熔炼成100公斤不锈钢G,应选用原料T1,T2,T3和T4各多少公斤,才能使新产品的原材料成本最小。
问题1,解:
设选用原料T1,T2,T3和T4分别为x1,x2,x3,x4公斤,根据条件,可建立相应的线性规划模型如下:
这是一个典型的成本最小化的问题。
这个线性规划问题的最优解是:
x1=26.58,x2=31.57,x3=41.84,x4=0(公斤)最低成本为:
z=9549.87(元),问题2,某养猪场的猪每天至少需要700g蛋白质,30g矿物质,100mg维生素。
现有五种饲料可选,每种饲料每kg营养成分含量及单价如表所示。
要求确定既满足动物生长应用需要,又使费用最省的选用饲料方案。
设xi为第i种饲料的数量(公斤),则Minz=0.2x1+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.8x5St.3x1+2x2+1X3+6X4+18X5=7001x1+0.5x2+0.2X3+2X4+0.5X5=300.5x1+1x2+0.2X3+2X4+0.8X5=100,应用3:
背包及配送问题,一个物料箱最大装载重量为50公斤。
现有三种物品,每种物品数量无限。
每种物品每件的重量、价值如下表所示:
问:
要在物料箱中装入这三种物品各多少件,使箱中的物品价值最高?
问题1:
物料装箱,这个问题的最优解是:
x1=1(件),x2=0(件),x3=2(件),最高价值为:
z=87(元),解:
设装入物品1,物品2和物品3各为x1,x2,x3件,由于物品的件数必须是整数,因此物料箱问题的线性规划模型是一个整数规划问题:
Maxz=17x1+41x2+35x3,s.t10x1+41x2+20x3=50,xi0(i=1,2,3)且为整数,问题2,设某种物资从两个供应地A1,A2运往三个需求地B1,B2,B3。
各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供应地到每个需求地的单位物资运价如下表所示。
问如何安排运输计划,从而使总运费最小?
设xij为从供应地Ai运往需求地Bj的物资数量(i=1,2;j=1,2,3),z为总运费,则总运费最小的线性规划模型为:
以上约束条件
(1)、
(2)称为供应地约束,(3)、(4)、(5)称为需求地约束。
这个问题的最优解为:
x11=0,x12=30,x13=5(吨);x21=10,x22=0,x23=15(吨),最小运费为:
z=275元。
应用4:
优化下料问题,问题1线材优化现要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m和1.5m的元钢各一根。
已知原料长7.4m,问应如何下料,使用的原材料最省。
为了得到100套钢架,需要混合使用各种下料方案。
设第i种方案下料的原材料根数为xi,(i1,2,3,4,5)得数学模型为:
minz=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5,x1+2x2+x4100,x2+2x3+2x4+x5100,3x1+x2+2x3+3x5100,xi0(i=1,2,3,4,5)且为整数,问题2板材优化要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少。
解:
设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则,2x+y15,目标函数为minz=x+y,应用5:
值班调度问题,问题1某个中型的百货商场对售货人员的需求经过统计分析如下表所示,为了保证销售人员充分休息,售货人员每周工作五天,休息两天,并要求休息的两天是连续的,问应该如何安排售货人员的作息,既能满足工作需要,又使配备的售货人员的人数最少?
问题2,某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如下表所示。
每班护士值班开始时向病房报到,试决定:
若护士上班后连续工作8h,该医院最少需多少名护士,以满足轮班需要?
解:
在本例中,每一时段上班的工作人员,既包括本时段开始上班的人,又包括上一个时段开始上班的人。
因此,设xi为第i个时段开始上班的人员数,得到数学模型为:
Minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6x6+x1=60X1+x2=70X2+x3=60x3+x4=50X4+x5=20X5+x6=30Xj=0,j=1,2,6,应用6:
投资组合问题,问题1宏银公司承诺为某建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下数额贷款:
2003年100万,2004年150万,2005年120万,2006年110万元。
以上贷款资金均需于2002年底前筹集齐。
但为了充分发挥这笔资金的作用,在满足每年贷款额情况下,可将多余资金分别用于下列投资项目
(1)于2003年初购买A种债券,期限3年,到期后本息合计为投资额的140%,但限购60万元;
(2)于2003年初购买B种债券,期限2年,到期后本息合计为投资额的125%,且限购90万元;(3)于2004年初购买C种债券,期限2年,到期后本息合计为投资额的130%,但限购50万元;(4)于每年初将任意数额的资金存放于银行,年息4%,于每年底取出。
问宏银公司应如何运用好这笔筹集到的资金,使2002年底需筹集到的资金数额最少?
解:
设x为2002年底宏银公司需筹集到的资金额,y1,y2,y3为分别与2003、2004、2005年初存放到银行的资金数,WA、wB、WC、为分别购买A、B、C债券的数额(单位均为万元),则可列出minz=xx-y1-WA-WB=1001.04y1-y2-WC=1501.04y2+1.25wB-y3=1201.04y3+1.40wA+1.30wC=110X=0,yi=0(i=1,2,3)wj=0(j=A,B,C),
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