山西省临汾市侯马市502中学学年高二上学期期中考试数学试题.docx
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山西省临汾市侯马市502中学学年高二上学期期中考试数学试题
2017-2018学年第一学期高二期中考试试题(卷)
一、选择题(本大题共12小题,共48分)
1.直线x+
y-1=0的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
2.给出下列四个命题:
(1)平行于同一直线的两个平面平行;
(2)平行于同一平面的两条直线平行;
(3)垂直于同一直线的两条直线平行;
(4)垂直于同一平面的两条直线平行.
其中正确命题的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如果两个球的体积之比为8:
27,那么两个球的表面积之比为( )
A.8:
27
B.2:
3
C.4:
9
D.2:
9
4.若
三点共线则m的值为( )
A.
B.
C.-2
D.2
5.圆x2+y2+2x=0和x2+y2-4y=0的公共弦所在直线方程为( )
A.x-2y=0
B.x+2y=0
C.2x-y=0
D.2x+y=0
6.经过点M(2,-1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为( )
A.
x+y=5
B.
x+y+5=0
C.2x-y-5=0
D.2x+y+5=0
7.直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则( )
A.a=2,b=5
B.a=2,b=-5
C.a=-2,b=5
D.a=-2,b=-5
8.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
9.已知直线l1:
x+2ay-1=0,l2:
(a+1)x-ay=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )
A.
B.0
C.
或0
D.2
10.在空间直角坐标系中,若A(0,2,5),B(-1,3,3),则|AB|=( )
A.
B.3
C.
D.
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.π
B.2π
C.4π
D.8π
12.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,1,-4)
D.(2,-1,4)
二、填空题(本大题共4小题,共16分)
13.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为______.
14.若点(2,2)到直线3x-4y+a=0的距离为a,则a=______.
15.已知圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,则a=______.
16.过点(-1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______.
三、解答题(本大题共3小题,共36.0分)
17.已知平面内两点A(4,0),B(0,2)
(1)求过P(2,3)点且与直线AB平行的直线l的方程;
(2)设O(0,0),求△OAB外接圆方程.
18.已知△ABC中∠ACB=90°,SA⊥面ABC,AD⊥SC,求证:
AD⊥面SBC.
19.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=BC,D、E、F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(1)证明:
EF∥平面A1CD;
(2)证明:
平面A1CD⊥平面ABB1A1.
2017-2018学年第一学期高二期中考试试题(卷)
答案和解析
【答案】
1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.C 10.D 11.A 12.B
13.2x+3y-2=0
14.
15.
16.2x+y=0或x+y-1=0
17.解:
(1)由已知得
.
由点斜式
∴直线l的方程x+2y-8=0.
(2)OA⊥OB,可得△AOB的外接圆是以AB为直径的圆
∵AB中点为C(2,1),|AB|=2
.∴圆的圆心为C(2,1),半径为r=
.
可得△AOB的外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
18.证明:
∵∠ACB=90°∴BC⊥AC(1分)
又SA⊥面ABC∴SA⊥BC(4分)
∴BC⊥面SAC(7分)
∴BC⊥AD(10分)
又SC⊥AD,SC∩BC=C∴AD⊥面SBC(12分)
19.证明:
(1)连结DE,
∵D,E分别是AB,BC的中点
∴DE∥AC,DE=
AC,
∵F为棱A1C1的中点.
∴A1F=
A1C1,
∴A1F∥
AC,
即DE∥A1F,DE=A1F,
∴四边形A1DEF为平行四边形,
∴A1D∥EF
又∵EF⊄平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,
∴EF∥平面A1CD.
(2)∵A1A⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,
∴AA1⊥CD,
∵AC=BC,D为AB的中点,
∴AB⊥CD,
∵A1A∩AB=A
∴CD⊥平面ABB1A1
∵CD⊂平面A1CD,
∴平面A1CD⊥平面ABB1A1.
【解析】
1.解:
设直线x+
y-1=0的倾斜角为α.
直线x+
y-1=0化为
.
∴tanα=-
.
∵α∈[0°,180°),
∴α=150°.
故选:
D.
利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出.
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题.
2.解:
对于命题
(1),平行于同一直线的两个平面有可能相交;故是假命题;
对于命题
(2)平行于同一平面的两条直线有相交、平行、异面三种可能;故是假命题;
对于命题(3)垂直于同一直线的两条直线有相交、平行和异面三种可能;故是假命题;
对于命题(4)垂直于同一平面的两条直线平行,根据线面垂直的性质可以判断两直线平行;故是真命题.
故选A.
对四个选项逐一分析,找出正确的命题.
本题考查了空间线性关系以及线面关系,关键是熟练掌握相关的性质定理和判定定理,属于基础题.
3.解:
两个球的体积之比为8:
27,根据体积比等于相似比的立方,表面积之比等于相似比的平方,
可知两球的半径比为2:
3,
从而这两个球的表面积之比为4:
9.
故选C.
据体积比等于相似比的立方,求出两个球的半径的比,表面积之比等于相似比的平方,即可求出结论.
本题是基础题,考查相似比的知识,考查计算能力,常考题.
4.解:
,
∵三点共线
∴
共线
∴5(m-3)=-
解得m=
故选项为A
利用向量坐标公式求出两个向量的坐标,据三点共线得两个向量共线,利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m
本题考查向量的坐标的求法、两个向量共线的充要条件.
5.解:
经过圆x2+y2+2x=0和x2+y2-4y=0的公共点的圆系方程为:
x2+y2+2x+λ(x2+y2-4y)=0
令λ=-1,可得公共弦所在直线方程:
x+2y=0
故选B
写出过两个圆的方程圆系方程,令λ=-1即可求出公共弦所在直线方程.
本题是基础题,考查圆系方程的有关知识,公共弦所在直线方程,考查计算能力.
6.解:
由圆x2+y2=5,得到圆心A的坐标为(0,0),圆的半径r=
,
而|AM|=
=
=r,所以M在圆上,则过M作圆的切线与AM所在的直线垂直,
又M(2,-1),得到AM所在直线的斜率为-
,所以切线的斜率为2,
则切线方程为:
y+1=2(x-2)即2x-y-5=0.
故选C
由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径,然后求出M与圆心的距离判断出M在圆上即M为切点,根据圆的切线垂直于过切点的直径,由圆心和M的坐标求出OM确定直线方程的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为-1,求出切线的斜率,根据M坐标和求出的斜率写出切线方程即可.
此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系,掌握两直线垂直时斜率所满足的关系,会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程,是一道综合题.
7.解:
令y=0,得到5x-10=0,解得x=2,所以a=2;令x=0,得到-2y-10=0,解得y=-5,所以b=-5.
故选B
根据截距的定义可知,在x轴的截距即令y=0求出的x的值,在y轴上的截距即令x=0求出y的值,分别求出即可.
此题考查学生理解直线截距的定义,是一道基础题.
8.解:
由题意可知:
A、结合实物:
教室的门面与地面垂直,门面的上棱对应的直线就与地面平行,故此命题成立;
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β,根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立;
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线,再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行,进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行,又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面,故命题成立;
D、举反例:
教室内侧墙面与地面垂直,而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题错误.
故选D.
本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答时:
A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答;B反证法即可获得解答;C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线,然后用线面垂直的判定定理即可获得解答;D结合实物举反例即可.
本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思.
9.解:
∵直线l1:
x+2ay-1=0,l2:
(a+1)x-ay=0,l1∥l2,
∴-a=2a(a+1),
∴a=-
或0,
故选:
C.
利用两条直线平行的条件,即可得出结论.
本题考查两条直线平行的条件,考查学生的计算能力,比较基础.
10.解:
空间直角坐标系中,A(0,2,5),B(-1,3,3),
所以
=(-1-0,3-2,3-5)=(-1,1,-2),
所以|
|=
=
.
故选:
D.
根据空间向量的坐标运算与模长公式,进行计算即可.
本题考查了空间向量的坐标运算与模长公式的应用问题,是基础题目.
11.解:
由三视图可知,该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱,底面半径直径为2,高为2.
体积V=
=π.
故选:
A.
由三视图可知,该几何体为底面半径直径为2,高为2的圆柱的一半,求出体积即可.
本题的考点是由三视图求几何体的体积,需要由三视图判断空间几何体的结构特征,并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度,代入对应的体积公式分别求解,考查了空间想象能力.
12.解:
∵在空间直角坐标系中,
点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为:
(x,-y,-z),
∴点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为:
(-2,-1,-4).
故选B.
先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标.
本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
13.解:
联立
,解之可得
,
故可得交点的坐标为(-2,2),
又可得直线3x-2y+4=0的斜率为
,
故所求直线的斜率为-
,
故可得直线的方程为:
y-2=-
(x+2),
化为一般式可得2x+3y-2=0.
故答案为:
2x+3y-2=0.
联立直线的方程可得交点的坐标,由垂直关系可得所求直线的斜率,由此可得直线的点斜式方程,化为一般式即可.
本题考查直线的交点坐标,涉及直线的一般式方程和垂直关系,属中档题.
14.解:
∵点(2,2)到直线3x-4y+a=0的距离为a,
∴
=a
∴a=
,
故答案为:
.
利用点到直线的距离公式建立方程,即可求出a.
本题考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.
15.解:
圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心C(1,4),
∵圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,
∴d=
=1,
解得a=
.
故答案为:
.
由圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,利用点到直线距离公式能求出a的值.
本题考查实数值的求法,考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是基础题.
16.解:
当直线过原点时,方程为y=-2x,即2x+y=0.
当直线不过原点时,设直线的方程为x+y-k=0,把点(-1,2)代入直线的方程可得k=-1,
故直线方程是x+y-1=0.
综上,所求的直线方程为2x+y=0,或x+y-1=0,
故答案为:
2x+y=0,或x+y-1=0.
当直线过原点时,用点斜式求得直线方程.当直线不过原点时,设直线的方程为x+y-k=0,把点(-1,2)代入直线的方程可得k值,从而求得所求的直线方程,综合可得结论.
本题考查用待定系数法求直线方程,体现了分类讨论的数学思想,注意当直线过原点时的情况,这是解题的易错点,属于基础题.
17.
(1)求出直线的斜率,利用点斜式求出直线方程;
(2)根据题意,△AOB是以AB为斜边的直角三角形,因此外接圆是以AB为直径的圆.由此算出AB中点C的坐标和AB长度,结合圆的标准方程形式,即可求出△AOB的外接圆的方程.
本题着重考查了直线方程,考查圆的方程、中点坐标公式和三角形形状的判断等知识,属于基础题.
18.要证线面垂直,关键要找到两条相交直线与之都垂直,先由线面垂直得线线垂直,然后利用线面垂直的判定得线面垂直继而得到线线垂直AD⊥BC,问题从而得证.
本题考查了线面垂直的判定和线面垂直的定义的应用,考查了学生灵活进行垂直关系的转化,是个基础题.
19.
(1)根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD;
(2)根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1.
本题主要考查空间直线和平面平行以及平面和平面垂直的判定,要求熟练掌握相应的判定定理.
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