工程数学概率统计简明教程 同济大学 高等教育出版社 课后答案.docx
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工程数学概率统计简明教程同济大学高等教育出版社课后答案
习题一解答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件:
A
(1)抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件}{两次出现的面相同.A;
(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件{.A一分钟内呼叫次数不超过次};3
(3)从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件{.A寿命在到小时之间}。
20002500
解
(1))},(),,(),,(),,{(..........,)},(),,{(.....A.
(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数,则
},2,1,0|{......kkX,}3,2,1,0|{...kkXA.
(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位:
小时),则
)},0({.....X,)}2500,2000({..XA.
2.袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设.A{取得球的号码是偶数},.B{取
得球的号码是奇数},{取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
.C
(1);
(2)BA.AB;(3);(4)ACAC;(5)CA;(6)CB.;(7)CA..
解
(1)是必然事件;..BA.
(2)..AB是不可能事件;
(3){取得球的号码是2,4};.AC
(4).AC{取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};
(5).CA{取得球的号码为奇数,且不小于5}.{取得球的号码为5,7,9};
(6)..CBCB..{取得球的号码是不小于5的偶数}.{取得球的号码为6,8,10};
(7)...CACA{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}
3.在区间上任取一数,记]2,0[
BA
...
...
...121xxA,
...
...
...
2341xxB,求下列事件的表达式:
(1);
(2)BA.;(3)BA;(4)BA..
解
(1)
...
...
...
2341xxBA.;
(2).
...
...
.....BxxxBA.21210或
...
...
..
...
...
..
2312141xxxx.;
(3)因为BA.,所以..BA;
(4).
...
...
.....223410xxxABA或..
...
...
......223121410xxxx或或4.用事件
的运算关系式表示下列事件:
CBA,,
(1)出现,都不出现(记为);ACB,1E
(2)都出现,不出现(记为);BA,C2E
(3)所有三个事件都出现(记为);3E
(4)三个事件中至少有一个出现(记为);4E
(5)三个事件都不出现(记为);5E
(6)不多于一个事件出现(记为);6E
(7)不多于两个事件出现(记为);7E
(8)三个事件中至少有两个出现(记为)。
8E
解
(1)CBAE.1;
(2)CABE.2;
(3);(4)ABCE.3CBAE...4;
(5)CBAE.5;(6)CBACBACBACBAE....6;
(7)CBAABCE....7;(8)BCACABE...8.
5.一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设表示事件“第i次iA
抽到废品”,,试用表示下列事件:
3,2,1.i21AA.
21AA..
iA32A2Ak
(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品;
(2)只有第一次抽到废品;
(3)三次都抽到废品;
(4)至少有一次抽到合格品;
(2)只有两次抽到废品。
解
(1);
(2)321AAA;(3);321AAA
(4);(5)321321321AAAAAAAAA...
6.接连进行三次射击,设={第次射击命中},iAi3,2,1.i,.B{三次射击恰好命中二次},
{三次射击至少命中二次};试用表示.CiAB和C。
解321
33121AAAAAC...
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取,样本点总数,记求概率的事件为,则有利于的样本点数
.于是
...
.
...
.
.
350n
...
.
...
.
...
.
...
.
.
15245k
39299!
2484950!
35444535015245)(.
...
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
..
nkAP
2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,
再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。
求
(1)第一次、第二次都取到红球的概率;
(2)第一次取到红球,第二次取到白球的概率;
(3)二次取得的球为红、白各一的概率;
(4)第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式,样本点总数.记
(1)
(2)(3)(4)题求概率的事件分别为
.
27.nDCBA,,,
(ⅰ)有利于的样本点数,故25.A492575)(
2
...
.
..
..AP
(ⅱ)有利于B的样本点数,故25..Bk4910725)(2.
.
.BP
(ⅲ)有利于的样本点数C252...Ck,故
4920)(.CP
(ⅳ)有利于的样本点数,故D57..Dk754935757)(2..
.
.DP.
3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:
(1)最
小号码是3的概率;
(2)最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式,样本点总数56..n.
(ⅰ)最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利
样本点数为,所求概率为32.
515632.
.
.
.
(ⅱ)最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为22.,
所求概率为
1525622.
.
.
.
4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,
每次取1只,试求下列事件的概率:
(1)2只都合格;
(2)1只合格,1只不合格;
(3)至少有1只合格。
解分别记题
(1)、
(2)、(3)涉及的事件为,则CBA,,
522562342624)(.
..
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
.AP
15856224261214)(.
.
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
.BP
注意到,且BAC..A与B互斥,因而由概率的可加性知
151415852)()()(.....BPAPCP
5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1)点数之和为7;
(2)点数之和不超过5;(3)点数之和为偶数。
解分别记题
(1)、
(2)、(3)的事件为,样本点总数CBA,,26.n
(ⅰ)A含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3))2,5(),5,2(
6166)(2...AP
(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
185610)(2...BP
(ⅲ)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),
(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点。
C
213618)(...CP
6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,
试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为,样本点总数为,而有利的样本点数为A35A345..,所以
25125345)(3.
..
.AP.
7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:
(1)事件:
“其中恰有一位精通英语”;A
(2)事件B:
“其中恰有二位精通英语”;
(3)事件:
“其中有人精通英语”。
C
解样本点总数为...
.
...
.
35
(1)
53106345!
332352312)(..
..
..
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
.AP;
(2)
103345!
33351322)(.
..
.
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
.BP;
(3)因,且与BAC..AB互斥,因而
10910353)()()(.....BPAPCP.
8.设一质点一定落在平面内由xOyx轴、y轴及直线1..yxA
所围成的三角形内,而落在这三
角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线3/1.x的左边的概率。
1S
解记求概率的事件为,则AAS
为图中阴影部分,而,2/1||..
1859521322121||
2
.....
.
..
...AS
最后由几何概型的概率计算公式可得
952/118/5||
||)(..
.
.ASAP.
9.(见前面问答题2.3)
10.已知BA.,,4.0)(.AP6.0)(.BP,求
(1))(AP,)(BP;
(2);(3);(4))(BAP.)(ABP)(),(BAPABP;(5))(BAP.
解
(1)6.04.01)
(1)(.....APAP,4.06.01)
(1)(.....BPBP;
(2)6.0)()()()()()()()(........BPAPBPAPABPBPAPBAP.;
(3);4.0)()(..APABP
(4)0)()()(.....PBAPABP,4.06.01)
(1)()(......BAPBAPBAP..;
(5).2.04.06.0)()(.....ABPBAP
11.设是两个事件,已知,BA,5.0)(.AP7.0)(.BP,8.0)(.BAP.,试求及)(BAP.).(ABP.
解注意到)()()()(ABPBPAPBAP....
4)()(ABAPBAP...
3.04.07.0)(...ABP,因而)()()(BPAPABP..
)1.04.05.0...
)(BAP..
)(..ABP.08.07.05.0....
)()(...BPABBP.于是,()(ABPAP..;
.
习题三解答
1.已知随机事件的概率,随机事件A5.0)(.APB的概率6.0)(.BP,条件概率8.0)|(.ABP,
试求及)(ABP)(BAP.
解4.08.05.0)|()()(....ABPAPABP
)()()
(1)
(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP.........
3.04.06.05.01.....
2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正
品的概率。
解
10789989981989910090910.
.
.
..
..
.p.
3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概
率为0.19
(1)已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少?
(2)已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?
解记.A{基金},.B{股票},则19.0)(,28.0)(,58.0)(...ABPBPAP
y
x
1/3
1
.
图2.3
.327.058.019.0)(
)()|(...
APABPABP
(1)
678.028.019.0)(
(2))(BAP5.0)(.AP3.0)(.BP15.0)(.ABP
),()|(),()|(APBAPAPBAP..)()|(BPABP.).()|(BPABP.
给定
)(
213.015.0)(
)()|(APBPABPBAP....
解
)(5.07.035.07.015.05.0)
(1)()(
)(
)()|(APBPABPAPBPBAPBAP...
.
.
.
.
..
)(3.05.015.0)(
)()|(BPAPABPABP....
)(
5.015.05.015.03.0)
(1)()(
)(
)()|(PAPABPBPAPBAPABP..
.
.
.
.
..
5.有朋自远方来,他坐火车
的概率0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟
解B.1A,.2A,.A.A.41.
.
iiBAB
3425.0)|(1.ABP3.0)|(2.ABP1.0)|(3.ABP0)|(4.ABP
且按题意
........
4145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(ABPAPBP
.
.
1iii
6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8
(1)随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球;
.B,所以
.1A.2A10/6)|(1.ABP14/8)|(2.ABP
70411482110621)|()()|()()
(1ABP
(2)
1272414)(..BP
7.某
,各
0140.0.
解02.04.004.035.005.025.0......
%45.30345.0008.00125.0....
8.发报台分别以概率0.6,0.4发出"".
".
和"".,于通信受到"".
"
"
""."".
"."的概率;"时,发出".
.8和0.2收"".和"".,同样,当发出信号".
.B"".}.A".
)收
)|()()|()()(ABPAPABPAPBP..
解记"
52.004.048.01.04.08.06.0.......
(1)
(2)
131252.08.06.0)(
)|)|(.
.
..
BPABPBAP.
9.设某工厂有ACB,,
,各个车间成品中次品的比分5%,4%,2%,如从该厂品中抽取一件,
CBA,,
记事件
)|PAD.
35.005.
014.0.
)(
)|(
DADP)(
)|(
DBDP)(
)
DP
独立,且PPAP.)(
CBA,,CBA,,.D
)|()()|()(()(CDPCPBDPBPAP.
解为
02.04.004.0.025.0.....
)(DP.
0345.0008.00125.0...
362.00345.005.025.0
40
6232.00345.002.04.0
|()(|(.CDPCDCP
ABqBPpA..)(,)()(BAP.)(BAP.,)(BAP..
pqpBPAPBBAP.....)()()()(.
10.设,
解q
ppPAPAP...1()((.
BA,)()(,9/1)(BAPBAPBAP..)(),BPAP
BPAPP..)()(1(
)()(BAPBAP.
(
)()()()(BPAPBPAP.
解
)())()(BPAPAPAP.)((BPAP.
从而()()(PBPB..)
3/.3/2)()(..APBP
9/1)(.BAP,有2))(1())
(1))((1()()(9/1APBPAPBPAP......
所以1)(1..AP
12.甲、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,目标
.1A.2A.3A{.31.
.
iiAB
.9
8111121)()()(11)(32131
............
.
...
.
..
.
APAPAPAPBPii.
p
13.设六同的元件
.A
.iAi6,5,4,3,2,1.i
654321AAAAAA..
)()()()(654321AAPAAPAAPAP...
则A.
)()()()(654321652165434321AAAAAAPAAAAPAAAAPAAAAP....
642)1()1(3)1(3ppp......
14.假故
解0512.0)8.0()2.0(
3523....
.
...
.
.p.
15.灯
)2
解104.0096.0008.0.0(8.023)2.0(
3323........
.
...
.
....
.
...
.
.p.
AA)(AP
16.设在三次独立试验中,事件A出现等
线
每
1
2
路中,
安置
个元
.iA{Ai.3,2,1.i)(APp.
332131)1
(1)(12719pAAAPAPii.......
.
,
27)1(..p,此即3/1.p.
17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道
道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。
解注意.iA{i.3,2,1.i
097.090307.0195.097.098.01)()()(1
3211
...
...
.
APAPAPAPii.
18.三
率。
.A.iAi.3,2,1.i
7075.02925.016.065.075.01.......
19.将一枚均匀硬币
256632151010
...
.
..
.
...
.
...
.
106
42
..
..
..
..
.kk2T
(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;
(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率
(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。
256255)25.0
(1)75.01(144.....
1282741436)25.0()75.0(
242222...
.
..
....
.
..
......
.
...
.
2568143)75.0(
44...
.
..
..
习题四解答
1.下列随
5,4,3,2,1,0,15
..iipi
..3,2,1,0,652
.
.
.iipi
5,4,3,2,41..ipi
(4)5,4,3,2,1,25
..ipi。
解要说数列,是否是随的分ip
.,2,1,0..ipi,其二条件为1..iip。
依据上面的说明可得
(1)中的数列为随机变量的分布律;
(2)中的数列不是随机变量的分布律,
0646953
.
.125i
....4,3,2,1,0,2
...iciXPi..2.XP
.
.2ic21240
...
iic3116.c
解
.....210....XPXPXP
(2)...2...XP3128412113116...
.
..
....
....2122
......
..
..XPXPXP314231
...
..
..。
3.一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。
从这袋
布函数。
....
612,21
.XP
.3.
P
1.
X
21
61
3X的分布函数
3..x
....xXPxF..
3113...x
2.x
651.
12.x
4.一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3
中最大号码,写出X的分布律和分布函数。
解依题意X可能取到的值为3.X101.;事件
号球中任选,此时
.3.表示随机取出的3个球的最大号码为3,
..
..
103352314.
...
.
...
.
...
.
...
.
.
..XP
..
106
3...
...
101
103
106
X的分布函数为
3.x
0
...xF43..x
10
..x
10
54
15.x
5.在相同
布律。
6.0,5..pn
..5,,1,0,4.06.055.....
.
...
.
...kkkXPkk
312562562562562531256.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。
设每次抽取时,各件产
到的可能性相等。
在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所
(1)每次取出的产品立即放回这批产品中再取
(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;
(3)每次取出一件产品后总是放回一件正品。
.,2,1,.iAii..,,,1nAA
...,2,1,1310..iAPi
.............,2,1,131013311111...
.
..
.....
.
..kAPAPAPAAAPkXPkkkkk
13
....
.....286110111213101234,14351112
1
265
1435
2861
概率
13
....
.....219761313131234,219772
131313..
131********97
由于三种抽样方式不同,导致X
..pBX,6~....51...XPXPp..2.XP
解由于,因此。
.pBX,6~....6,,1,0,1666......
.
...
.
...kppkXPkk
由此可算得........,165,16155ppXPppXP......
即解得...,161655pppp...
21.p;
此时,..
641521!
25621212626262
...
.
..
..
.
...
.
..
.
..
.
..
.
...
.
...
.
..
.
XP。
8.掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X表示出现国徽的次数,求X的分布函数。
解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为
21,因此X服从
21,4..pn的二项分布,即
..4,3,2,1,0,212144
...
.
..
.
..
.
..
.
...
.
...
.
..
.
kkkXPkk
由此可得X的分布函数
0,0.x
161,
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